Formes bilineals

En aquest capítol introduïm el concepte de forma bilineal i estudiarem les primeres propietats. Les formes bilineals ens ajudaran a descriure nocions com la de mòdul d’un vector, angle entre vectors o la condició d’ortogonalitat. Per tant, podem pensar les formes bilineals com una ferramenta per a introduir nocions de mesura.

Definició 7.1 (Forma bilineal) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial. Una forma bilineal sobre $V$ és una aplicació del tipus \[ f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K} \] que satisfà, per a tot $u_{1},u_{2},w_{1},w_{2},v\in V$ i tot $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, les següents equacions

$f(\lambda u_{1}+\mu u_{2},v)=\lambda f(u_{1},v)+\mu f(u_{2},v)$;
$f(v,\lambda w_{1}+\mu w_{2})=\lambda f(v,w_{1})+\mu f(v,w_{2})$.

Exemple 7.1 Per a l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{2}$, es considera l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &((x,y),(z,t))&\longmapsto& xz-yt \end{array} \]

Anem a comprovar la linealitat en la primera component. Per a tot $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(z,t)\in\mathbb{R}^{2}$ i tot parell d’escalars $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, la següent cadena d’igualtats es compleix \[ \begin{aligned} f(\lambda (x_{1},y_{1})+\mu(x_{2},y_{2}),(z,t))&= f((\lambda x_{1}+\mu x_{2}, \lambda y_{1}+\mu y_{2}),(z,t))\\ &=(\lambda x_{1}+\mu x_{2})z-(\lambda y_{1}+\mu y_{2})t\\ &=\lambda x_{1}z +\mu x_{2} z-\lambda y_{1}t-\mu y_{2}t\\ &=\lambda (x_{1}z-y_{1}t) + \mu (x_{2}z-y_{2}t)\\ &=\lambda f((x_{1},y_{1}),(z,t)) +\mu f((x_{2},y_{2}),(z,t)). \end{aligned} \]

Per a la linealitat en la segona component, fem igual. Per a tot $(x,y),(z_{1},t_{1}),(z_{2},t_{2})\in\mathbb{R}^{2}$ i tot parell d’escalars $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$, la següent cadena d’igualtats es compleix \[ \begin{aligned} f((x,y),\lambda(z_{1},t_{1})+\mu (z_{2},t_{2}))&= f((x,y),(\lambda z_{1}+\mu z_{2}, \lambda t_{1}+\mu t_{2}))\\ &=x(\lambda z_{1}+\mu z_{2})-y(\lambda t_{1}+\mu t_{2})\\ &=\lambda x z_{1}+\mu xz_{2}-\lambda yt_{1}-\mu yt_{2}\\ &=\lambda (xz_{1}-yt_{1})+\mu (xz_{2}-yt_{2})\\ &=\lambda f((x,y),(z_{1},t_{1}))+\mu f((x,y),(z_{2},t_{2})). \end{aligned} \]

Proposició 7.1 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial, $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal, $u,w$ vectors en $V$ i $\lambda$ un escalar en $\mathbb{K}$, aleshores

$f(0,w)=f(u,0)=0$;
$f(\lambda u,w)=f(u,\lambda w)=\lambda f(u,w)$.

Demostració. Per al primer ítem, notem la següent cadena d’igualtats \[ f(0,w)=f(0+0,w) = f(0,w)+f(0,w). \] La primera igualtat és conseqüència de que $0+0=0$; la segona igualtat és conseqüència de la definició de forma bilineal.

En l’anterior expressió, si passem restant un dels escalars $f(0,w)$ a l’altra banda obtenim que $f(0,w)=0$. La demostració per a $f(u,0)=0$ és anàloga.

El segon ítem és conseqüència directa de la definició de forma bilineal.

Anem a explorar com es relaciona una forma bilineal amb l’expressió coordenada dels vectors sobre els quals actua.

Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, siga $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$, siga $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal i siguen $u,w$ dos vectors en $V$. Suposem que l’expressió coordenada dels vectors $u$ i $w$ en la base $\mathcal{B}$ ve donada per \[ u=\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n}e_{n}; \qquad\qquad w=\mu_{1}e_{1}+\cdots +\mu_{n}e_{n}; \] per a alguns escalars $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}$, $\mu_{1},\cdots,\mu_{n}\in\mathbb{K}$.

Aleshores, com $f$ és una forma bilineal, s’obté la següent cadena d’igualtats \[ f(u,w)=f\left( \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}e_{i}, \sum_{j=1}^{n}\mu_{j}e_{j} \right) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}f\left(e_{i},\sum_{j=1}^{n}\mu_{j}e_{j}\right) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\lambda_{i}\mu_{j}f(e_{i},e_{j}). \]

Ens adonem que la imatge d’un parell $(u,w)\in V\times V$ mitjançant una forma bilineal només depén de les imatges dels vectors $(e_{i},e_{j})\in\mathcal{B}\times\mathcal{B}$, amb $1\leq i,j\leq n$, i de les coordenades dels vectors $u$ i $w$ en la base $\mathcal{B}$.

Açò ens motiva a considerar la següent definició.

Definició 7.2 (Matriu coordenada d’una forma bilineal) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, siga $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal i siga $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$. Anomenem matriu coordenada d’$f$ en la base $\mathcal{B}$ a la matriu \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} f(e_{1},e_{1})&f(e_{1},e_{2})&\cdots&f(e_{1},e_{n})\\ f(e_{2},e_{1})&f(e_{2},e_{2})&\cdots&f(e_{2},e_{n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(e_{n},e_{1})&f(e_{n},e_{2})&\cdots&f(e_{n},e_{n}) \end{bmatrix}. \]

És a dir, $\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ tal que per a tot $1\leq i,j\leq n$, $\alpha_{ij}=f(e_{i},e_{j})$.

Proposició 7.2 (Existència i unicitat de la matriu coordenada d’una forma bilineal) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, siga $f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{K}$ una forma bilineal i siga $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$. Aleshores la matriu coordenada d’$f$ en $\mathcal{B}$ és l’única matriu en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ que, per a tot $u,w\in V$, amb

$\mathsf{X}$ les coordenades d’$u$ en $\mathcal{B}$;
$\mathsf{Y}$ les coordenades de $w$ en $\mathcal{B}$;

satisfà l’equació $\mathsf{X}^{\mathsf{t}} \mathsf{AY} = \begin{bmatrix} f(u,w) \end{bmatrix}$.

Demostració. Si $u,w$ són vectors en $V$ i anomenem \[ \mathsf{X}= \begin{bmatrix} \lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{n} \end{bmatrix} \quad\mbox{les coordenades d'}u \mbox{ en }\mathcal{B}; \qquad\qquad \mathsf{Y}= \begin{bmatrix} \mu_{1}\\ \vdots\\ \mu_{n} \end{bmatrix} \quad\mbox{les coordenades de }w \mbox{ en }\mathcal{B}; \] aleshores es dóna la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} \mathsf{X}^{\mathsf{t}}\mathsf{AY}&= \begin{bmatrix} \lambda_{1}&\cdots&\lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(e_{1},e_{1})&f(e_{1},e_{2})&\cdots&f(e_{1},e_{n})\\ f(e_{2},e_{1})&f(e_{2},e_{2})&\cdots&f(e_{2},e_{n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(e_{n},e_{1})&f(e_{n},e_{2})&\cdots&f(e_{n},e_{n}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mu_{1}\\ \vdots\\ \mu_{n} \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} \sum\limits_{i,j=1}^{n}\lambda_{i}\mu_{j} f(e_{i},e_{j}) \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} f(u,w) \end{bmatrix}. \end{aligned} \]

Per a la unicitat, suposem que $f$ admet dues matrius coordenades $\mathsf{A}=(\alpha_{ij})$ i $\mathsf{B}=(\beta_{ij})$ en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ tals que, per a tot $u,w\in V$, amb $\mathsf{X}$ les coordenades d’$u$ en $\mathcal{B}$ i $\mathsf{Y}$ les coordenades de $w$ en $\mathcal{B}$, satisfan que \[ \mathsf{X}^{\mathsf{t}} \mathsf{AY}= \begin{bmatrix} f(u,w) \end{bmatrix} = \mathsf{X}^{\mathsf{t}} \mathsf{BY}. \]

Així, en particular, l’anterior expressió serà certa per als vectors $e_{i},e_{j}\in\mathcal{B}$, amb $1\leq i,j\leq n$. En aquest cas, si anomenem $\mathsf{X}_{i}$ les coordenades d’$e_{i}$ en $\mathcal{B}$ i $\mathsf{Y}_{j}$ les coordenades d’$e_{j}$ en $\mathcal{B}$, notem que $\mathsf{X}_{i}$ és una matriu columna tota zero a excepció de la posició $i$, on hi ha un $1$, i que $\mathsf{Y}_{j}$ és una matriu columna tota zero a excepció de la posició $j$, on hi ha un $1$.

Aleshores, obtenim que \[ \begin{bmatrix} \alpha_{ij} \end{bmatrix} = \mathsf{X}^{\mathsf{t}}_{i} \mathsf{AY}_{j} = \begin{bmatrix} f(e_{i},e_{j}) \end{bmatrix} = \mathsf{X}^{\mathsf{t}}_{i} \mathsf{BY}_{j} = \begin{bmatrix} \beta_{ij} \end{bmatrix}. \]

És a dir, per a tot $1\leq i,j\leq n$, les components $(i,j)$ d’$\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són iguals, és a dir, $\alpha_{ij}=\beta_{ij}$. Concloem que $\mathsf{A}=\mathsf{B}$.

Proposició 7.3 (Tota matriu quadrada és la matriu coordenada d’una forma bilineal) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$ i $\mathsf{A}$ una matriu quadrada en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$, aleshores existeix una forma bilineal $f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{K}$ de forma que $\mathsf{A}$ és la matriu coordenada d’$f$ en la base $\mathcal{B}$.

Demostració. Considerem l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} f\colon&V\times V&\longrightarrow&\mathbb{K}\\ &(u,w)&\longmapsto&\mathsf{X}^{\mathsf{t}}\mathsf{AY} \end{array} \qquad\mbox{on }\quad \begin{array}{cl} \mathsf{X}&\mbox{són les coordenades d'} u \mbox{ en }\mathcal{B},\\ \mathsf{Y}&\mbox{són les coordenades de } w \mbox{ en }\mathcal{B}. \end{array} \] (En aquesta definició estem identificant $\mathrm{M}_{1}(\mathbb{K})$ amb $\mathbb{K}$.)

Caldrà demostrar que aquesta aplicació és una forma bilineal i que la seua matriu coordenada en $\mathcal{B}$ és la matriu $\mathsf{A}$. Per a comprovar que és forma bilineal, considerem vectors $u_{1},u_{2},w_{1},w_{2},v$ en $V$ i escalars $\lambda$, $\mu$ en $\mathbb{K}$. Anomenem

$\mathsf{X}_{1}$, $\mathsf{X}_{2}$ les coordenades d’$u_{1}$ i $u_{2}$ en $\mathcal{B}$, respectivament; així $\lambda \mathsf{X}_{1}+\mu \mathsf{X}_{2}$ són les coordenades de $\lambda u_{1}+\mu u_{2}$ en $\mathcal{B}$;
$\mathsf{Y}_{1}$, $\mathsf{Y}_{2}$ les coordenades de $w_{1}$ i $w_{2}$ en $\mathcal{B}$, respectivament; així $\lambda \mathsf{Y}_{1}+\mu \mathsf{Y}_{2}$ són les coordenades de $\lambda w_{1}+\mu w_{2}$ en $\mathcal{B}$;
$\mathsf{Z}$ les coordenades de $v$ en $\mathcal{B}$.

Així, es donen les següents cadenes d’igualtats \[ \begin{aligned} f(\lambda u_{1}+\mu u_{2},v)&= \left( \lambda \mathsf{X}_{1}+\mu \mathsf{X}_{2}\right)^{\mathsf{t}}\mathsf{A}\mathsf{Z} \\ &= \left(\lambda\mathsf{X}_{1}^{\mathsf{t}}+\mu\mathsf{X}_{2}^{\mathsf{t}}\right) \mathsf{AZ} \\ &= \lambda\mathsf{X}_{1}^{\mathsf{t}}\mathsf{AZ}+\mu\mathsf{X}_{2}^{\mathsf{t}}\mathsf{AZ} \\ &= \lambda f(u_{1},v)+\mu f(u_{2},v); \end{aligned} \qquad\qquad \begin{aligned} f(v,\lambda w_{1}+\mu w_{2})&= \mathsf{Z}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}\left(\lambda\mathsf{Y}_{1}+\mu\mathsf{Y}_{2}\right) \\ &= \lambda\mathsf{Z}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}\mathsf{Y}_{1}+\mu\mathsf{Z}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}\mathsf{Y}_{2} \\ &= \lambda f(v,w_{1})+\mu f(v,w_{2}). \end{aligned} \]

És a dir, $f$ és una forma bilineal.

Per a la segona part d’aquesta proposició, si denotem, per a cada $1\leq i\leq n$, $\mathsf{X}_{i}$ les coordenades d’$e_{i}$ en $\mathcal{B}$, aleshores $\mathsf{X}_{i}$ és una matriu columna tota zero a excepció de la posició $i$, on hi ha un $1$.

Si $\mathsf{A}=(\alpha_{ij})$, aleshores, per a cada $1\leq i,j\leq n$, trobem per la definició d’$f$ que \[ f(e_{i},e_{j})= \mathsf{X}_{i}^{\mathsf{t}}\mathsf{AX}_{j} = \begin{bmatrix} 0&\cdots&1&\cdots& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\alpha_{n2}&\cdots&\alpha_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ \vdots\\ 1\\ \vdots\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha_{ij} \end{bmatrix}. \]

Per la Definició 7.2, la matriu coordenada d’$f$ en la base $\mathcal{B}$ té la forma \[ \begin{bmatrix} f(e_{1},e_{1})&f(e_{1},e_{2})&\cdots&f(e_{1},e_{n})\\ f(e_{2},e_{1})&f(e_{2},e_{2})&\cdots&f(e_{2},e_{n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(e_{n},e_{1})&f(e_{n},e_{2})&\cdots&f(e_{n},e_{n}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{12}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \alpha_{21}&\alpha_{22}&\cdots&\alpha_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\alpha_{n2}&\cdots&\alpha_{nn} \end{bmatrix} = \mathsf{A}. \] És a dir, la matriu coordenada d’$f$ en la base $\mathcal{B}$ és $\mathsf{A}$.

Exemple 7.2 Siga $\mathbb{K}^{n}$ el $\mathbb{K}$-espai vectorial estàndard de dimensió $n$ i siga $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ la base canònica de $\mathbb{K}^{n}$, aleshores associada a aquesta base i a la matriu identitat $\mathsf{I}_{n}$ de tamany $n$ en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ trobem la forma bilineal \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{K}^{n}\times \mathbb{K}^{n}&\longrightarrow&\mathbb{K}\\ &((x_{1},\cdots,x_{n}),(y_{1},\cdots,y_{n})) &\longmapsto &\begin{bmatrix} x_{1}&\cdots&x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{bmatrix} = \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} \end{array} \] Aquesta forma s’anomena producte escalar estàndard en $\mathbb{K}^{n}$.

7.1 Congruència

En aquesta secció anem a identificar les diferents representacions matricials que poden descriure una forma bilineal depenent de la base que s’elegisca. Així, siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, $f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{K}$ una forma bilineal i $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$ dues bases de $V$. Anomenem

$\mathsf{A}$ la matriu coordenada d’$f$ en $\mathcal{B}$;
$\overline{\mathsf{A}}$ la matriu coordenada d’$f$ en $\overline{\mathcal{B}}$.

Aleshores, per a tot parell de vectors $u,w$ en $V$ amb

$\mathsf{X}$, $\overline{\mathsf{X}}$ les coordenades d’$u$ en $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$, respectivament;
$\mathsf{Y}$, $\overline{\mathsf{Y}}$ les coordenades de $w$ en $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$, respectivament;

es té que \[ \mathsf{X}^{\mathsf{t}}\mathsf{AY} = f(u,w) = \overline{\mathsf{X}}^{\mathsf{t}} \overline{\mathsf{A}} \overline{\mathsf{Y}}. \tag{$\star$} \]

Si anomenem $\mathsf{P}$ la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$, aleshores \[ \mathsf{PX}= \overline{\mathsf{X}}, \qquad\qquad \mathsf{PY}= \overline{\mathsf{Y}}. \]

Així, substituint en l’expressió en ($\star$), obtenim que \[ f(u,w)= \overline{\mathsf{X}}^{\mathsf{t}} \overline{\mathsf{A}}\, \overline{\mathsf{Y}} = \left( \mathsf{PX} \right)^{\mathsf{t}} \overline{\mathsf{A}} \left( \mathsf{PY} \right) = \mathsf{X}^{\mathsf{t}} \left( \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \overline{\mathsf{A}} \mathsf{P} \right) \mathsf{Y}. \] Per la unicitat de la matriu coordenada d’una forma bilineal, demostrada en la Proposició 7.2, obtenim que \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \overline{\mathsf{A}} \mathsf{P} = \mathsf{A}. \]

Aquesta nota motiva la següent definició.

Definició 7.3 (Matrius congruents) Siguen $\mathsf{A},\mathsf{B}$ dues matrius quadrades en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$, direm que $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents si existeix una matriu invertible $\mathsf{P}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ de forma que \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{AP} =\mathsf{B}. \]

Proposició 7.4 Ser congruents és una relació d’equivalència en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$.

Demostració. Comprovem que satisfà les condicions per a ser relació d’equivalència.

Reflexiva. Siga $\mathsf{A}$ una matriu en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$, aleshores per a la matriu identitat $\mathsf{I}_{n}$ es té que \[ \mathsf{I}_{n}^{\mathsf{t}} \mathsf{AI}_{n} = \mathsf{A}. \] Així, $\mathsf{A}$ és congruent a $\mathsf{A}$, és a dir, ser congruent és una relació reflexiva.

Simètrica. Siguen $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ dues matrius congruents en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$, aleshores existeix una matriu invertible $\mathsf{P}$ en $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ tal que \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{AP} = \mathsf{B}. \tag{S} \]

Si transposem les igualtats \[\mathsf{P}^{-1}\mathsf{P}=\mathsf{I}_{n}= \mathsf{P}\mathsf{P}^{-1}, \] obtenim que \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}}\left(\mathsf{P}^{-1}\right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{I}_{n} = \left(\mathsf{P}^{-1}\right)^{\mathsf{t}} \mathsf{P}^{\mathsf{t}}. \] És a dir, la transposada de la inversa és la inversa de la transposada, \[ \left( \mathsf{P}^{-1}\right)^{\mathsf{t}} = \left( \mathsf{P}^{\mathsf{t}}\right)^{-1}. \] Aleshores, de l’equació en (S), aïllant $\mathsf{A}$, obtenim que \[ \mathsf{A}= \left( \mathsf{P}^{-1} \right)^{\mathsf{t}} \mathsf{BP}^{-1}. \]

Així, $\mathsf{B}$ és congruent a $\mathsf{A}$, és a dir, ser congruent és una relació simètrica.

Transitiva. Siguen $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$, $\mathsf{C}$ matrius quadrades en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ tals que $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents i $\mathsf{B}$ i $\mathsf{C}$ són congruents. Aleshores existeixen matrius invertibles $\mathsf{P}$, $\mathsf{Q}$ en $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ tals que \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}\mathsf{P}=\mathsf{B}; \qquad\qquad \mathsf{Q}^{\mathsf{t}}\mathsf{B}\mathsf{Q}=\mathsf{C}. \]

Per tant, per a la matriu invertible $\mathsf{PQ}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ es té que \[ (\mathsf{PQ})^{\mathsf{t}} \mathsf{A} (\mathsf{PQ}) = \mathsf{Q}^{\mathsf{t}} \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{APQ} = \mathsf{Q}^{\mathsf{t}} \mathsf{BQ} = \mathsf{C}. \]

Així, $\mathsf{A}$ és congruent a $\mathsf{C}$, és a dir, ser congruent és una relació transitiva.

Corol·lari 7.1 Siguen $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ dues matrius quadrades en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$. Aleshores les següents proposicions són equivalents

$\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents;
$\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ representen la mateixa forma bilineal en bases diferents.

Nota

Nota. Siguen $\mathsf{A}$, $\mathsf{B}$ matrius quadrades en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$. Si $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents, aleshores són equivalents. Per contra, si $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents, aleshores no tenen perquè ser semblants.

Considerem per exemple les matrius quadrades $\mathsf{I}_{2}$ i $4\mathsf{I}_{2}$ en $\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})$. Aquestes matrius són congruents ja que \[ \begin{bmatrix} 4&0\\ 0&4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{bmatrix}. \]

Per contra, $\mathsf{I}_{2}$ i $4\mathsf{I}_{2}$ no són semblants perquè no tenen el mateix polinomi característic.

La següent proposició ens donarà després un mètode pràctic per a caracteritzar la relació de congruència.

Proposició 7.5 Siguen $\mathsf{A},\mathsf{B}$ en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$, aleshores les següents afirmacions són equivalents.

$\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents;
Podem transformar $\mathsf{A}$ en $\mathsf{B}$ mitjançant una seqüència finita d’operacions elementals, les mateixes per fila que per columna.

Demostració. Recordem, per la caracterització de les matrius invertibles, que tota matriu invertible es pot descompondre com a producte finit de matrius elementals. A més, per la proposició sobre l’acció de les matrius elementals, fer operacions elementals fila és equivalent a multiplicar la matriu inicial per la corresponent matriu elemental a l’esquerra, mentre que fer operacions elementals columna és equivalent a multiplicar la matriu inicial per la corresponent matriu elemental a la dreta.

Així, seguint el següent esquema, \[ \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{A} & \mathsf{I}_{n} \\ \hline \mathsf{I}_{n} & \\ \end{array} \right] \xrightarrow{ \scriptstyle \mbox{op. elem.} } \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{B} & \mathsf{P} \\ \hline \mathsf{Q} & \\ \end{array} \right] \qquad \mbox{ trobem que }\mathsf{PAQ}=\mathsf{B}, \] on en el bloc de la dreta acumulem les operacions fila i en el bloc de baix les operacions columna.

El fet que siguen les mateixes operacions per fila que per columna garanteix que \[\mathsf{Q}=\mathsf{P}^{\mathsf{t}}. \] Açò demostra l’equivalència.

Exemple 7.3 Considerem la matriu $\mathsf{A}$ en $\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})$ donada per \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 1&2\\ 2&3 \end{bmatrix}. \] Per altra banda, considerem la següent seqüència d’operacions elementals. \[ \left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2 & 1&0 \\ 2&3 & 0&1 \\ \hline 1&0 & & \\ 0&1 & & \\ \end{array} \right] \xrightarrow{ f_{2}=f_{2}-2f_{1} } \left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2 & 1&0 \\ 0&-1 & -2&1 \\ \hline 1&0 & & \\ 0&1 & & \\ \end{array} \right] \xrightarrow{ c_{2}=c_{2}-2c_{1} } \left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0 & 1&0 \\ 0&-1 & -2&1 \\ \hline 1&-2 & & \\ 0&1 & & \\ \end{array} \right] \] Així, obtenim la següent relació de congruència \[ \begin{bmatrix} 1&0\\ -2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2\\ 2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&-2\\ 0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}. \] En aquest cas, $\mathsf{A}$ i $\mathsf{Diag}(1,-1)$ són matrius congruents.

7.2 Ortogonalitat i simetria

Com hem fet fins ara en els anteriors temes, en el que queda de secció intentarem entendre el que significa aconseguir una base de l’espai on la matriu coordenada d’una forma bilineal siga diagonal.

Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal i $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$. Suposem que la matriu coordenada d’$f$ en la base $\mathcal{B}$ és una matriu diagonal de la forma \[ \mathsf{D} = \begin{bmatrix} \alpha_{1}&0&\cdots&0\\ 0&\alpha_{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\alpha_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(e_{1},e_{1})&f(e_{1},e_{2})&\cdots&f(e_{1},e_{n})\\ f(e_{2},e_{1})&f(e_{2},e_{2})&\cdots&f(e_{2},e_{n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(e_{n},e_{1})&f(e_{n},e_{2})&\cdots&f(e_{n},e_{n}) \end{bmatrix}. \] Aleshores estem dient que, per a tot parell d’índexs $1\leq i,j\leq n$, si $i\neq j$, caldrà imposar la condició \[f(e_{i},e_{j})=0.\]

Més encara, si $u,w$ són vectors en $V$ i anomenem $\mathsf{X}$ les coordenades d’$u$ en $\mathcal{B}$ i $\mathsf{Y}$ les coordenades de $w$ en $\mathcal{B}$, aleshores, com $\mathsf{D}$ és una matriu diagonal, trobem que \[ \begin{bmatrix} f(u,w) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(u,w) \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} = \left( \mathsf{X}^{\mathsf{t}} \mathsf{DY} \right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{Y}^{\mathsf{t}} \mathsf{D}^{\mathsf{t}} \left(\mathsf{X}^{\mathsf{t}}\right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{Y}^{\mathsf{t}} \mathsf{D} \mathsf{X} = \begin{bmatrix} f(w,u) \end{bmatrix}. \]

És a dir, la forma bilineal $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ ha de satisfer que, per a tot parell de vectors $u,w\in V$, \[f(u,w)=f(w,u).\]

Açò motiva les següents definicions.

7.2.1 Ortogonalitat

Presentem a continuació les definicions de vectors ortogonals i base ortogonal.

Definició 7.4 (Vectors ortogonals) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i $f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{K}$ una forma bilineal. Direm que els vectors $u,w$ en $V$ són ortogonals per a $f$ si $f(u,w)=0$.

Definició 7.5 (Base ortogonal) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i $f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{K}$ una forma bilineal. Direm que una base $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ de $V$ és una base ortogonal per a $f$ si, per a tot $1\leq i,j\leq n$ amb $i\neq j$, $f(e_{i},e_{j})=0$. És a dir, una base ortogonal per a $f$ és una base de $V$ on els seus vectors són ortogonals dos a dos.

Pel que hem parlat abans, obtenim el següent corol·lari.

Corol·lari 7.2 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal, aleshores les següents afirmacions són equivalents

$f$ admet una matriu coordenada diagonal en alguna base;
Existeix una base de $V$ ortogonal per a $f$.

7.2.2 Forma bilineal simètrica

Presentem a continuació la definició de forma bilineal simètrica.

Definició 7.6 (Forma bilineal simètrica) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal. Direm que $f$ és una forma bilineal simètrica si, per a tot parell de vectors $u,w\in V$, es té que \[ f(u,w)=f(w,u). \]

Proposició 7.6 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat, $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal i $\mathcal{B}$ una base de $V$. Considerem $\mathsf{A}$ la matriu coordenada d’$f$ en $\mathcal{B}$. Les següents afirmacions són equivalents

$f$ és una forma bilineal simètrica;
$\mathsf{A}$ és una matriu simètrica, és a dir, $\mathsf{A}^{\mathsf{t}}=\mathsf{A}$.

Demostració. Suposem que $f$ és una forma bilineal simètrica. Anem a comprovar que $\mathsf{A}$ és una matriu simètrica. Recordem de la Definició 7.2 que la matriu $\mathsf{A}$ ve donada per \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} f(e_{1},e_{1})&f(e_{1},e_{2})&\cdots&f(e_{1},e_{n})\\ f(e_{2},e_{1})&f(e_{2},e_{2})&\cdots&f(e_{2},e_{n})\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ f(e_{n},e_{1})&f(e_{n},e_{2})&\cdots&f(e_{n},e_{n}) \end{bmatrix}. \]

Notem que per a tot parell d’índexs $1\leq i,j\leq n$, l’entrada $ij$ d’$\mathsf{A}$ ve donada per $f(e_{i},e_{j})$, que coincideix, en ser $f$ simètrica, amb $f(e_{j},e_{i})$, és a dir, amb l’entrada $ji$ de la matriu $\mathsf{A}$. És a dir, $\mathsf{A}$ és simètrica.

Per altra banda, suposem que $\mathsf{A}$ és una matriu simètrica, és a dir, que $\mathsf{A}^{\mathsf{t}}=\mathsf{A}$. Anem a comprovar que $f$ és una forma bilineal simètrica. Siguen $u,w$ vectors en $V$ i siguen $\mathsf{X}$ les coordenades d’$u$ en $\mathcal{B}$ i $\mathsf{Y}$ les coordenades de $w$ en $\mathcal{B}$; aleshores, com $\mathsf{A}$, la matriu coordenada d’$f$ en $\mathcal{B}$, és una matriu simètrica, trobem que \[ \begin{bmatrix} f(u,w) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(u,w) \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} = \left( \mathsf{X}^{\mathsf{t}} \mathsf{AY} \right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{Y}^{\mathsf{t}} \mathsf{A}^{\mathsf{t}} \left(\mathsf{X}^{\mathsf{t}}\right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{Y}^{\mathsf{t}} \mathsf{A} \mathsf{X} = \begin{bmatrix} f(w,u) \end{bmatrix}. \]

És a dir, la forma bilineal $f$ és simètrica.

Nota

Nota. Pel raonament presentat al principi de la secció, si ens donen una forma bilineal i volem trobar-li una matriu coordenada diagonal, aleshores aquesta forma haurà de ser simètrica.

Corol·lari 7.3 Siguen $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ dues matrius congruents en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$. Aleshores $\mathsf{A}$ és simètrica si, i només si, $\mathsf{B}$ és simètrica.

Demostració. Com $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents, existeix una matriu invertible $\mathsf{P}$ en $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$ tal que \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{AP} = \mathsf{B}. \] Suposem, sense pèrdua de generalitat, que $\mathsf{A}$ és simètrica. Així $\mathsf{A}^{\mathsf{t}}=\mathsf{A}$. Per altra banda, \[ \mathsf{B}^{\mathsf{t}} = \left( \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{AP} \right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{A}^{\mathsf{t}} \left( \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{AP} = \mathsf{B}. \]

És a dir, $\mathsf{B}$ també és simètrica.

Proposició 7.7 Siga $\mathbb{K}$ un cos amb $\mathrm{car}(\mathbb{K})\neq 2$ i $\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ una matriu simètrica quadrada. Aleshores $\mathsf{A}$ és congruent a una matriu diagonal.

Demostració. Farem la demostració per inducció sobre $n$.

Cas base. Si $n=1$, aleshores $\mathsf{A}=\begin{bmatrix} \alpha_{11} \end{bmatrix}$, que ja és una matriu diagonal.

Hipòtesi inductiva. Suposem l’enunciat cert per a matrius quadrades simètriques de tamany $n-1$, és a dir, si $\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n-1}(\mathbb{K})$ és una matriu quadrada simètrica, aleshores $\mathsf{A}$ és congruent a una matriu diagonal.

Anem a demostrar-ho per a una matriu $\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ simètrica de tamany $n$. La demostració serà algorísmica. Diferenciem els següents casos.

Si $\mathsf{A}=\mathsf{0}$, aleshores $\mathsf{A}$ ja és diagonal.

Per tant, podem suposar $\mathsf{A}\neq\mathsf{0}$. En aquest punt intentarem aconseguir un element diferent de zero en l’entrada $(1,1)$ de la matriu.

Cas 0. Si $\alpha_{11}\neq 0$, ja ho hauríem aconseguit.

Si aquest no fóra el cas, és a dir, si $\alpha_{11}=0$, aleshores pot ocórrer algun dels següents casos.

Cas 1. Algun dels elements de la diagonal $\alpha_{ii}$ és diferent de zero, amb $2\leq i\leq n$. És a dir, la matriu $\mathsf{A}$ té la forma representada a l’esquerra. Sobre aquesta matriu apliquem les operacions elementals que l’acompanyen. \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 0&\cdots&\alpha_{1i}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{ii}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{ni}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix} \xrightarrow{ f_{1}\leftrightarrow f_{i} } \begin{bmatrix} \alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{ii}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\alpha_{1i}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{ni}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix} \xrightarrow{ c_{1}\leftrightarrow c_{i} } \begin{bmatrix} \alpha_{ii}&\cdots&\alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{1i}&\cdots&0&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{ni}&\cdots&\alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

Per la Proposició 7.5, la matriu resultant és congruent a la matriu original $\mathsf{A}$ i té un element diferent de zero en la posició $(1,1)$.

Cas 2. Cap dels elements de la diagonal és diferent de zero, és a dir, $\alpha_{ii}=0$ per a tot $1\leq i\leq n$. Com treballem sota la suposició que $\mathsf{A}\neq \mathsf{0}$, han d’existir índexs $1\leq i,j\leq n$ amb $i<j$ per als quals $\alpha_{ij}\neq 0$. És a dir, $\mathsf{A}$ té la forma representada a continuació. Sobre aquesta matriu apliquem les operacions elementals que l’acompanyen. \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 0&\cdots&\alpha_{1i}&\cdots&\alpha_{1j}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&0&\cdots&\alpha_{ij}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{ji}&\cdots&0&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{ni}&\cdots&\alpha_{nj}&\cdots&0\\ \end{bmatrix} \] \[ \xrightarrow{ f_{i}=f_{i}+f_{j} } \quad \begin{bmatrix} 0&\cdots&\alpha_{1i}&\cdots&\alpha_{1j}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}+\alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{ji}&\cdots&\alpha_{ij}&\cdots&\alpha_{in}+\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{ji}&\cdots&0&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{ni}&\cdots&\alpha_{nj}&\cdots&0\\ \end{bmatrix} \] \[ \xrightarrow{ c_{i}=c_{i}+c_{j} } \quad \begin{bmatrix} 0&\cdots&\alpha_{1i}+\alpha_{1j}&\cdots&\alpha_{1j}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}+\alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{ji}+\alpha_{ij}&\cdots&\alpha_{ij}&\cdots&\alpha_{in}+\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{ji}&\cdots&0&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{ni}+\alpha_{nj}&\cdots&\alpha_{nj}&\cdots&0\\ \end{bmatrix} \]

Com la matriu $\mathsf{A}$ és simètrica, $\alpha_{ji}+\alpha_{ij}=2\alpha_{ij}$. Com $\mathrm{car}(\mathbb{K})\neq 2$, aleshores $2\alpha_{ij}\neq 0$. Per la Proposició 7.5, la matriu resultant és congruent a la matriu original $\mathsf{A}$ i té un element diferent de zero en la posició $(i,i)$ de la diagonal. Aleshores, podem reprendre l’estratègia presentada en el Cas 1 per a moure aquest element a la posició $(1,1)$.

En qualsevol cas, hem aconseguit una matriu simètrica, congruent a l’original, de la forma \[ \left[ \begin{array}{c|ccc} \alpha_{11}'&\alpha_{12}'&\cdots&\alpha_{1n}'\\ \hline \alpha_{21}'&&&\\ \vdots&&\mathsf{A}'&\\ \alpha_{n1}'&&& \end{array} \right], \] on $\alpha_{11}'\neq 0$ i $\mathsf{A}'$ és una matriu simètrica de tamany $n-1$.

En aquest cas podem fer les següents operacions elementals. Per a cada índex $2\leq i\leq n$, a la fila $i$ li restem la fila $1$ multiplicada per $\frac{\alpha_{1i}'}{\alpha_{11}'}$ i després, a la columna $i$ li restem la columna $1$ multiplicada per $\frac{\alpha_{i1}'}{\alpha_{11}'}$. Recordem que la matriu és simètrica, aleshores $\alpha_{1i}'=\alpha_{i1}'$ i, per la Proposició 7.5, la matriu resultant, després de fer totes aquestes operacions, té la forma \[ \left[ \begin{array}{c|ccc} \alpha_{11}'&0&\cdots&0\\ \hline 0&&&\\ \vdots&&\mathsf{A}''&\\ 0&&& \end{array} \right]. \]

En aquest punt, la submatriu $\mathsf{A}''$ és simètrica i de tamany $n-1$. Per la hipòtesi inductiva, aquesta submatriu serà congruent a una matriu diagonal. De fet, per a trobar-la repetirem l’algorisme descrit sobre la submatriu $\mathsf{A}''$.

Açò ens garanteix una matriu diagonal congruent a la matriu simètrica original $\mathsf{A}$.

Amb aquest últim resultat obtenim la seqüència completa de caracteritzacions de les formes bilineals simètriques definides sobre $\mathbb{K}$-espais vectorials, amb $\mathrm{car}(\mathbb{K})\neq 2$.

Corol·lari 7.4 Siga $\mathbb{K}$ un cos amb $\mathrm{car}(\mathbb{K})\neq 2$, $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{K}$ una forma bilineal. Les següents afirmacions són equivalents.

$f$ és una forma bilineal simètrica;
Tota matriu coordenada d’$f$ és una matriu simètrica;
$V$ admet una base ortogonal per a $f$;
$f$ té una matriu coordenada diagonal;
Tota matriu coordenada d’$f$ és congruent a una matriu diagonal.

7.3 Matrius simètriques reals

En les matrius quadrades simètriques amb entrades reals podem dir més.

Proposició 7.8 Siga $\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ una matriu quadrada simètrica real, aleshores $\mathsf{A}$ és congruent amb una matriu diagonal de la forma $\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$.

Demostració. Per la Proposició 7.7, sabem que $\mathsf{A}$ és congruent amb una matriu diagonal de la forma $\mathsf{Diag}(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})$. Sobre aquesta matriu diagonal, d’acord a l’entrada $\alpha_{i}$, amb $1\leq i\leq n$, fem les següents operacions elementals.

Si $\alpha_{i}>0$. En aquest cas dividim la fila $i$ i després la columna $i$ per $\sqrt{\alpha_{i}}$ fins a transformar l’entrada $i$ de la diagonal en un $1$.
Si $\alpha_{i}<0$. En aquest cas dividim la fila $i$ i després la columna $i$ per $\sqrt{-\alpha_{i}}$ fins a transformar l’entrada $i$ de la diagonal en un $-1$.
Si $\alpha_{i}= 0$. En aquest cas no modifiquem res.

Només ens quedaria reordenar les entrades fins a posar-les en la posició que ens interessa. En aquest punt, recordem l’estratègia presentada en el Cas 1 de la demostració de la Proposició 7.7. Així, per la Proposició 7.5, concloem que la matriu $\mathsf{A}$ és congruent a una matriu diagonal de la forma \[\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0).\] Com volíem demostrar.

Nota

Nota. Recordem que, sobre el conjunt de matrius quadrades, ser congruents implica ser equivalents. En particular, el rang de la matriu diagonal obtinguda en la Proposició 7.8 coincideix amb el rang de la matriu simètrica $\mathsf{A}$, és a dir, en la matriu diagonal congruent a la matriu $\mathsf{A}$ obtinguda en aquest resultat hi ha $n-\mathrm{rang}(\mathsf{A})$ entrades zero.

El que vorem a continuació és que, per a una matriu simètrica real $\mathsf{A}$, la matriu diagonal obtinguda en la Proposició 7.8 congruent a $\mathsf{A}$ és única.

Teorema 7.1 (Llei d’inèrcia de Sylvester) Siga $\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ una matriu simètrica real, aleshores $\mathsf{A}$ és congruent a una única matriu diagonal de la forma $\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$.

Demostració. Que $\mathsf{A}$ és congruent a una matriu d’aquest tipus és conseqüència de la Proposició 7.8. Només ens queda comprovar que aquesta matriu diagonal és única. Denotem per $r=\mathrm{rang}(\mathsf{A})$. Suposem que $\mathsf{A}$ és congruent a dues matrius diagonals del tipus \[ \begin{array}{ll} \mathsf{D}=\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)& \quad\mbox{ amb }s\mbox{ uns, }r-s\mbox{ menys uns i }n-r\mbox{ zeros}; \\ \overline{\mathsf{D}}=\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)& \quad\mbox{ amb }s'\mbox{ uns, }r-s'\mbox{ menys uns i }n-r\mbox{ zeros}. \end{array} \]

Recordem que, per la nota anterior, el rang d’aquestes dues matrius $\mathsf{D}$ i $\overline{\mathsf{D}}$ ha de ser el mateix. Només ens quedarà demostrar que $s=s'$.

Com que $\mathsf{D}$ i $\overline{\mathsf{D}}$ són congruents, aleshores pel Corol·lari 7.1 representen la mateixa forma bilineal $f\colon\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}$ en algunes bases. Així, podem suposar que, per a algunes bases de $\mathbb{R}^{n}$, $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ i $\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{e}_{1},\cdots,\overline{e}_{n}\}$, respectivament, es té que

$\mathsf{D}$ és la matriu coordenada d’$f$ en $\mathcal{B}$;
$\overline{\mathsf{D}}$ és la matriu coordenada d’$f$ en $\overline{\mathcal{B}}$.

Aleshores, per a cada parell d’índexs $1\leq i,j\leq n$, es donen les següents igualtats \[ f(e_{i},e_{j})= \left\lbrace \begin{array}{cl} 0&\,\mbox{si }i\neq j, \\ 1&\,\mbox{si }1\leq i=j\leq s, \\ -1&\,\mbox{si }s< i=j\leq r, \\ 0&\,\mbox{si } r<i=j\leq n; \end{array} \right. \qquad\quad f(\overline{e}_{i},\overline{e}_{j})= \left\lbrace \begin{array}{cl} 0&\,\mbox{si }i\neq j, \\ 1&\,\mbox{si }1\leq i=j\leq s', \\ -1&\,\mbox{si }s'< i=j\leq r, \\ 0&\,\mbox{si } r<i=j\leq n. \end{array} \right. \]

Considerem els següents subespais vectorials \[ U=\langle e_{1},\cdots, e_{s} \rangle, \qquad\qquad W=\langle \overline{e}_{s'+1},\cdots, \overline{e}_{n} \rangle. \]

Anem a demostrar que la seua suma és directa. Per tant, siga $z\in U\cap W$, aleshores $z$ pot escriure’s tant com a combinació lineal dels vectors en $U$, com a combinació lineal dels vectors en $W$. Així existeixen escalars $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{s}$ en $\mathbb{R}$ i escalars $\mu_{s'+1},\cdots, \mu_{n}$ en $\mathbb{R}$ de forma que \[ \lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{s}e_{s} =z= \mu_{s'+1}\overline{e}_{s'+1} +\cdots + \mu_{n}\overline{e}_{n}. \]

Ens ocupem ara del resultat d’aplicar la forma $f$ sobre el parell $(z,z)$. Primerament ho fem emprant la seua expressió com a combinació lineal dels vectors en $U$ i tenint en compte les anteriors igualtats. \[ f(z,z)=f\left( \sum_{i=1}^{s}\lambda_{i}e_{i}, \sum_{i=1}^{s}\lambda_{i}e_{i} \right) = \sum_{i=1}^{s}\lambda_{i}^{2}\geq 0. \]

A continuació ho fem emprant l’expressió de $z$ com a combinació lineal dels vectors en $W$ i tenint en compte les anteriors igualtats. \[ f(z,z)=f\left( \sum_{i=s'+1}^{n}\mu_{i}\overline{e}_{i}, \sum_{i=s'+1}^{n}\mu_{i}\overline{e}_{i} \right) = -\sum_{i=s'+1}^{r}\mu_{i}^{2}\leq 0. \]

És a dir, emprant una expressió, $f(z,z)\geq 0$ i, emprant l’altra, $f(z,z)\leq 0$. Per necessitat, $f(z,z)=0$. En particular, $\sum_{i=1}^{s}\lambda_{i}^{2}=0$, el que obliga a que $\lambda_{i}=0$, per a tot $1\leq i\leq s$. En particular, $z=\sum_{i=1}^{s}\lambda_{i}e_{i}=0$.

Aleshores la suma d’$U$ i $W$ és directa, és a dir, podem escriure $U\oplus W$. Com que $U\oplus W$ és un subespai vectorial d’$\mathbb{R}^{n}$, tenim la següent desigualtat \[ s+(n-s')=\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(U\oplus W)\leq \mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{R}^{n})=n. \]

Per tant, concloem que $s\leq s'$.

L’altra desigualtat es pot obtindre de manera anàloga considerant els subespais vectorials \[ U=\langle e_{s+1},\cdots, e_{n} \rangle, \qquad\qquad W=\langle \overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{s'} \rangle. \]

Concloem que $s=s'$, és a dir, $\mathsf{D}=\overline{\mathsf{D}}$.

Així, podem definir rang i signatura d’una forma bilineal simètrica real.

Definició 7.7 (Rang i signatura) Siga $V$ un $\mathbb{R}$-espai vectorial i $f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{R}$ una forma bilineal simètrica. Anomenem rang d’$f$ al rang de qualsevol matriu coordenada. Aquest nombre es denotarà per $\mathrm{rang}(f)$. Anomenem signatura d’$f$ al nombre d’uns de l’única matriu diagonal de la forma $\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$ que és matriu coordenada d’$f$ en alguna base. Aquest nombre es denotarà per $\mathrm{sig}(f)$.

Per extensió, anomenem signatura d’una matriu quadrada simètrica real $\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ al nombre d’uns de l’única matriu diagonal de la forma $\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$ que és congruent amb $\mathsf{A}$. Aquest nombre es denotarà per $\mathrm{sig}(\mathsf{A})$.

La llei d’inèrcia de Sylvester ens garanteix que aquests conceptes estan ben definits.

La següent proposició ens mostra que el rang i la signatura caracteritzen la relació de congruència per a matrius simètriques reals.

Proposició 7.9 Siguen $\mathsf{A},\mathsf{B}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ dues matrius simètriques reals. Aleshores les següents afirmacions són equivalents.

$\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents;
$\mathrm{rang}(\mathsf{A})=\mathrm{rang}(\mathsf{B})$ i $\mathrm{sig}(\mathsf{A})=\mathrm{sig}(\mathsf{B})$.

Demostració. Suposem que $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents. Considerem una d’elles, per exemple la matriu $\mathsf{A}$. Per la llei d’inèrcia de Sylvester, $\mathsf{A}$ és congruent a una única matriu diagonal del tipus $\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$. Com $\mathsf{B}$ és congruent amb $\mathsf{A}$, aleshores $\mathsf{B}$ també és congruent amb aquesta matriu diagonal. Concloem que $\mathrm{rang}(\mathsf{A})=\mathrm{rang}(\mathsf{B})$ i $\mathrm{sig}(\mathsf{A})=\mathrm{sig}(\mathsf{B})$.

Suposem ara que $\mathrm{rang}(\mathsf{A})=\mathrm{rang}(\mathsf{B})$ i $\mathrm{sig}(\mathsf{A})=\mathrm{sig}(\mathsf{B})$, aleshores per la llei d’inèrcia de Sylvester $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents a la mateixa matriu diagonal $\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$, amb $\mathrm{sig}(\mathsf{A})$ uns a la diagonal i $n-\mathrm{rang}(\mathsf{A})$ zeros a la diagonal. Llavors $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ són congruents.

Donada una forma bilineal simètrica definida en un $\mathbb{R}$-espai vectorial, per a obtindre el seu rang i la seua signatura només ens caldrà considerar una matriu coordenada de la forma en alguna base i aplicar les construccions presentades a les Proposicions 7.7 i 7.8 fins obtindre l’única matriu diagonal descrita a la llei d’inèrcia de Sylvester.

Exemple 7.4 Siga l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{2}$ i la forma bilineal $f\colon \mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}$ que té a \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 3&2\\ 2&1 \end{bmatrix} \] com a matriu coordenada d’$f$ en la base canònica d’$\mathbb{R}^{2}$. Pel Corol·lari 7.4, $f$ és una forma bilineal simètrica perquè admet una matriu coordenada simètrica. Apliquem les construccions presentades a les Proposicions 7.7 i 7.8 fins a obtindre l’única matriu diagonal de la forma $\mathsf{Diag}(1,\cdots,1,-1,\cdots,-1,0,\cdots,0)$ que és congruent amb $\mathsf{A}$. \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 3&2\\ 2&1 \end{bmatrix} \xrightarrow{ f_{2}=f_{2}-\frac{2}{3}f_{1} } \begin{bmatrix} 3&2\\ 0&-\frac{1}{3} \end{bmatrix} \xrightarrow{ c_{2}=c_{2}-\frac{2}{3}c_{1} } \begin{bmatrix} 3&0\\ 0&-\frac{1}{3} \end{bmatrix} \xrightarrow{ f_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} f_{1} } \begin{bmatrix} \sqrt{3}&0\\ 0&-\frac{1}{3} \end{bmatrix} \] \[ \xrightarrow{ c_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}} c_{1} } \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-\frac{1}{3} \end{bmatrix} \xrightarrow{ f_{2}=\sqrt{3} f_{2} } \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-\frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} \xrightarrow{ c_{2}=\sqrt{3} c_{2} } \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}. \]

Aleshores, la signatura d’$f$ és $1$ i el rang és $2$.

El mètode que acabem de descriure per a obtindre la signatura pot complementar-se amb el mètode que vorem a continuació.

Teorema 7.2 (Criteri de Sylvester per a la signatura) Siga $\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})$ una matriu simètrica real. Per a cada $1\leq i\leq n$, anomenem $\mathsf{A}_{i}$ a la submatriu quadrada de tamany $i$ que resulta d’agafar en $\mathsf{A}$ les $i$ primeres files i columnes. Si, per a cada $1\leq i\leq n$, el determinant $\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{i})$ és diferent de zero, aleshores la signatura d’$\mathsf{A}$ és el nombre de valors positius de la seqüència \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A}_{1}),\quad \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{2})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{1})},\quad \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{3})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{2})},\quad \cdots,\quad \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{n})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{n-1})}. \]

Demostració. Siga $V$ un $\mathbb{R}$-espai vectorial de dimensió $n$ i $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$. Anomenem $f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{R}$ a la forma bilineal que té a $\mathsf{A}$ com a matriu coordenada en la base $\mathcal{B}$.

Construïm una nova base $\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{n}\}$ de $V$ com segueix \[ \begin{aligned} \overline{e}_{1}&=e_{1},\\ \overline{e}_{i}&=e_{i}-\sum_{j=1}^{i-1}\lambda_{ij} e_{j},\qquad\mbox{per a }1<i\leq n. \end{aligned} \]

És a dir, el primer vector de $\overline{\mathcal{B}}$ serà el primer vector de $\mathcal{B}$ i el vector $i$-èssim de $\overline{\mathcal{B}}$, per a $1<i\leq n$, serà el vector $i$-èssim de $\mathcal{B}$ menys una combinació lineal dels primers $i-1$ vectors en $\mathcal{B}$. Els escalars $\lambda_{ij}\in\mathbb{R}$ que componen aquesta combinació lineal, i que encara no coneixem, els trobarem de forma que la base resultant $\overline{\mathcal{B}}$ siga ortogonal per a $f$.

Considerem la següent afirmació.

Afirmació. Per a que $\overline{\mathcal{B}}$ siga ortogonal per a $f$ és suficient que \[ f(\overline{e}_{i},e_{j})=0,\qquad \mbox{per a tot }1\leq j<i\leq n. \]

Comprovem que aquesta afirmació és certa. Siguen $\overline{e}_{i},\overline{e}_{j}\in\overline{\mathcal{B}}$ amb $1\leq j<i\leq n$, aleshores \[ f(\overline{e}_{i}, \overline{e}_{j}) = f\left( \overline{e}_{i}, e_{j}-\sum_{k=1}^{j-1}\lambda_{jk}e_{k} \right) = f(\overline{e}_{i}, e_{j}) - \sum_{k=1}^{j-1} \lambda_{jk} f(\overline{e}_{i}, e_{k}) = 0. \] Queda, per tant, demostrada l’afirmació.

Per tant, el nostre objectiu serà trobar escalars $\lambda_{ij}\in\mathbb{R}$ amb $1\leq j<i\leq n$ tals que $f(\overline{e}_{i},e_{j})=0$. Així, per a tot $1\leq j<i\leq n$, imposem la següent condició \[ 0=f(\overline{e}_{i},e_{j})= f\left( e_{i}-\sum_{k=1}^{i-1}\lambda_{ik}e_{k}, e_{j} \right) = f(e_{i},e_{j}) - \sum_{k=1}^{i-1} \lambda_{ik} f(e_{k}, e_{j}). \]

Aleshores, per a cada $1\leq i\leq n$, se’ns planteja el següent sistema d’equacions on les incògnites són els escalars $\lambda_{i1},\cdots, \lambda_{i(i-1)}$, \[ \left. \begin{array}{ccccccc} \lambda_{i1}f(e_{1},e_{1}) &+ &\cdots &+ &\lambda_{i(i-1)}f(e_{i-1},e_{1}) &= &f(e_{i},e_{1})\\ \vdots & &\ddots & &\vdots & &\vdots\\ \lambda_{i1}f(e_{1},e_{i-1}) &+ &\cdots &+ &\lambda_{i(i-1)}f(e_{i-1},e_{i-1}) &= &f(e_{i},e_{i-1})\\ \end{array} \right\rbrace \]

Notem que l’anterior sistema s’escriu, de forma matricial, de la següent forma \[ \begin{bmatrix} f(e_{1},e_{1})&\cdots&f(e_{i-1},e_{1}) \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ f(e_{1},e_{i-1})&\cdots&f(e_{i-1},e_{i-1}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{i1} \\ \vdots \\ \lambda_{i(i-1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(e_{i},e_{1}) \\ \vdots \\ f(e_{i},e_{i-1}) \end{bmatrix}, \] on la matriu més a l’esquerra es correspon a la submatriu $\mathsf{A}_{i-1}$, ja que $\mathsf{A}$ és simètrica. Aquesta submatriu té determinant no nul per hipòtesi, $\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{i-1})\neq 0$. És a dir, el sistema que determina té solució i és única. Per aquesta raó, podem trobar aquests escalars $\lambda_{ij}\in\mathbb{R}$, per a cada $1\leq j<i\leq n$. Açò ens garanteix l’existència de la base ortogonal $\overline{\mathcal{B}}$ que volíem.

Notem, a més, que per la definició dels vectors en $\overline{\mathcal{B}}$, per a cada $1\leq i\leq n$, es té que $\langle e_{1},\cdots, e_{i}\rangle=\langle\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{i}\rangle$.

En particular, per a cada $1\leq i\leq n$, si prenem el subespai $V_{i}=\langle e_{1},\cdots, e_{i}\rangle$, considerem dues bases per a $V_{i}$, donades per $\mathcal{B}_{i}= \{ e_{1},\cdots, e_{i} \}$ i $\overline{\mathcal{B}}_{i}= \{ \overline{e}_{1}, \cdots, \overline{e}_{i} \}$, i la forma bilineal $f$ restringida a $V_{i}$, \[ \begin{array}{rccl} f_{i}\colon&V_{i}\times V_{i}&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &(u,w)&\longmapsto&f(u,w) \end{array} \]

Aleshores trobem que, per a cada $1\leq i\leq n$, es té que

$\mathsf{A}_{i}$ és la matriu coordenada d’$f_{i}$ en la base $\mathcal{B}_{i}$;
$\mathsf{D}_{i}$ és la matriu coordenada d’$f_{i}$ en la base $\overline{\mathcal{B}}_{i}$.

Dues qüestions ocorren ací. Com que $\overline{\mathcal{B}}_{i}$ és una base ortogonal, $\mathsf{D}_{i}$ és una matriu diagonal de la forma $\mathsf{Diag}(\xi_{1},\cdots, \xi_{i})$, per a alguns escalars $\xi_{1},\cdots, \xi_{i}\in\mathbb{R}$. Per altra banda, com que $\mathsf{A}_{i}$ i $\mathsf{D}_{i}$ representen la mateixa forma bilineal en dues bases diferents, aleshores pel Corol·lari 7.1, les matrius $\mathsf{A}_{i}$ i $\mathsf{D}_{i}$ són congruents. Així, per a cada $1\leq i\leq n$, existeix una matriu invertible $\mathsf{P}_{i}\in\mathrm{GL}_{i}(\mathbb{R})$ de forma que \[ \mathsf{A}_{i}= \mathsf{P}_{i}^{\mathsf{t}} \mathsf{D}_{i} \mathsf{P}_{i}. \]

Si prenem determinants en l’anterior igualtat trobem que, per a cada $1\leq i\leq n$, \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A}_{i})= \mathrm{Det}\left( \mathsf{P}_{i}^{\mathsf{t}} \mathsf{D}_{i} \mathsf{P}_{i} \right) = \mathrm{Det}\left( \mathsf{P}_{i}^{\mathsf{t}} \right) \mathrm{Det}\left( \mathsf{D}_{i} \right) \mathrm{Det}\left( \mathsf{P}_{i} \right) = \mathrm{Det}(\mathsf{P}_{i})^{2} \prod_{j=1}^{i}\xi_{j}. \]

Aleshores, trobem la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{A}_{1})&= \mathrm{Det}(\mathsf{P}_{1})^{2} \xi_{1}; \\ \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{2})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{1})} &=\frac{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{2})^{2}\xi_{1}\xi_{2}}{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{1})^{2}\xi_{1}}=\frac{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{2})^{2}}{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{1})^{2}}\xi_{2}; \\ \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{3})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{2})} &=\frac{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{3})^{2}\xi_{1}\xi_{2}\xi_{3}}{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{2})^{2}\xi_{1}\xi_{2}}=\frac{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{3})^{2}}{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{2})^{2}}\xi_{3}; \\ &\;\;\vdots \\ \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{n})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{n-1})} &=\frac{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{n})^{2}\prod_{i=1}^{n}\xi_{i}}{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{n-1})^{2}\prod_{i=1}^{n-1}\xi_{i}}=\frac{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{n})^{2}}{\mathrm{Det}(\mathsf{P}_{n-1})^{2}}\xi_{n}. \end{aligned} \]

Com que cada quocient anterior és el producte de $\xi_{i}$ per un nombre estrictament positiu, el signe de cada element de la seqüència coincideix amb el signe del corresponent $\xi_{i}$. Aleshores la signatura d’$\mathsf{A}$, que ve donada pel nombre d’elements positius en la seqüència $\xi_{1},\cdots,\xi_{n}$, es correspon amb el nombre d’elements positius en la seqüència \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A}_{1}),\quad \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{2})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{1})},\quad \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{3})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{2})},\quad \cdots,\quad \frac{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{n})}{\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{n-1})}, \] com volíem demostrar.

Torna a dalt