Productes escalars

Els productes escalars són un cas concret de formes bilineals. De fet, són les formes bilineals que tenen rang i signatura màxims. En aquest tema estudiarem les propietats d’aquestes formes bilineals. En tot el tema treballarem en el cos \(\mathbb{R}\).

Definició 8.1 (Producte escalar) Siga \(V\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial i \(f\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{R}\) una forma bilineal simètrica. Direm que \(f\) és un producte escalar si, per a tot \(u\in V\), se satisfan les següents propietats

1. \(f(u,u)\geq 0\);
2. \(f(u,u)=0\) si, i només si, \(u=0\).

Proposició 8.1 Siga \(V\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\) i \(f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{R}\) una forma bilineal simètrica. Les següents afirmacions són equivalents

1. \(f\) és un producte escalar;
2. \(\mathrm{rang}(f)=\mathrm{sig}(f)=n\).

Demostració. Suposem que \(f\) és un producte escalar. Com \(f\) és una forma bilineal simètrica sobre un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial, aleshores, per la proposició sobre matrius simètriques reals, existeix una base \(\mathcal{B}\) de \(V\) per a la qual la matriu coordenada d’\(f\) en la base \(\mathcal{B}\) és de la forma \[ \mathsf{Diag}(1,\cdots, 1,-1,\cdots, -1,0,\cdots, 0) \]

Si \(\mathrm{rang}(f)<n\), aleshores apareixerà almenys un \(0\) en l’anterior matriu coordenada diagonal. Per tant, trobarem un vector no nul \(e\) en \(\mathcal{B}\) tal que \(f(e,e)=0\), contradient el supòsit que \(f\) és un producte escalar. Per tant \(\mathrm{rang}(f)=n\).

Per altra banda, si \(\mathrm{sig}(f)<n\), aleshores apareixerà almenys un \(-1\) en l’anterior matriu coordenada diagonal. Per tant, trobarem un vector \(e\) en \(\mathcal{B}\) tal que \(f(e,e)=-1\), contradient el supòsit que \(f\) és un producte escalar. Per tant \(\mathrm{sig}(f)=n\).

Per a l’altra implicació, suposem que \(\mathrm{rang}(f)=\mathrm{sig}(f)=n\). Aleshores, com \(f\) és una forma bilineal simètrica sobre un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial, podem trobar una base \(\mathcal{B}\) de \(V\) per a la qual la matriu coordenada d’\(f\) en la base \(\mathcal{B}\) és la matriu identitat \(\mathsf{I}_{n}\). Així, si \(v\) és un vector en \(V\) i anomenem \[ \mathsf{X}= \begin{bmatrix} x_{1}\\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} \] les coordenades de \(v\) en \(\mathcal{B}\), trobem que \[ f(v,v)=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}\mathsf{I}_{n}\mathsf{X}=x^{2}_{1}+\cdots +x_{n}^{2}\geq 0. \]

A més, \(f(v,v)=0\) si, i només si, \(x_{1}=\cdots=x_{n}=0\) si, i només si, \(v=0\).

Així, \(f\) és un producte escalar.

Nota

Notació. Si \(V\) és un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial i \(f\colon V\times V\longrightarrow\mathbb{R}\) un producte escalar, obviarem \(f\) i escriurem únicament un punt \(\cdot\) per a denotar l’operació. Així escriurem \[ \begin{array}{rccl} \cdot\colon&V\times V&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &(u,w)&\longmapsto&u\cdot w \end{array} \]

8.1 Espais vectorials euclidians

Un espai vectorial euclidià serà un espai vectorial dotat d’un producte escalar. En aquesta secció vorem les propietats més destacades d’aquest tipus d’estructures.

Definició 8.2 (Espai vectorial euclidià) Siga \(V\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial i \(\cdot\colon V\times V\longrightarrow \mathbb{R}\) un producte escalar definit sobre \(V\). Al parell \((V,\cdot)\) l’anomenarem \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià.

Definició 8.3 (Producte escalar estàndard) Considerem l’\(\mathbb{R}\)-espai vectorial estàndard de dimensió \(n\). Definim el producte escalar estàndard d’\(\mathbb{R}^{n}\) com \[ \begin{array}{rccl} \cdot\colon&\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}&\longrightarrow&\mathbb{R} \\ & ((x_{1},\cdots, x_{n}),(y_{1},\cdots, y_{n}))& \longmapsto&x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}. \end{array} \] Notem que el producte escalar estàndard d’\(\mathbb{R}^{n}\) és l’únic producte escalar que té a la matriu identitat \(\mathsf{I}_{n}\) com a matriu coordenada en la base canònica d’\(\mathbb{R}^{n}\).

Definició 8.4 (Norma) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià i \(v\in V\), es defineix la norma de \(v\) respecte \(\cdot\), denotada per \(\left\lVert v\right\rVert\), com el nombre real donat per \[\left\lVert v\right\rVert=+\sqrt{v\cdot v}.\]

Proposició 8.2 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià, \(v\in V\) i \(\lambda \in\mathbb{R}\), aleshores se satisfan les següents propietats

1. \(\left\lVert v\right\rVert\geq 0\);
2. \(\left\lVert v\right\rVert=0\) si, i només si, \(v=0\);
3. \(\left\lVert \lambda v\right\rVert=\left\lvert\lambda\right\rvert\,\left\lVert v\right\rVert\).

Exemple 8.1 Sobre l’\(\mathbb{R}\)-espai vectorial \(\mathbb{R}^{2}\) es consideren els dos productes escalars que, per a la base canònica \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\) d’\(\mathbb{R}^{2}\), tenen les següents matrius coordenades \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 3&1\\ 1&1 \end{bmatrix}; \qquad\qquad \mathsf{B}= \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix}. \]

Es comprova fàcilment amb el criteri de Sylvester que \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) representen dos productes escalars.

Així tenim dues estructures d’espai vectorial euclidià definides sobre \(\mathbb{R}^{2}\) i que representarem per \((\mathbb{R}^{2},\cdot_{\mathsf{A}})\) i \((\mathbb{R}^{2},\cdot_{\mathsf{B}})\). Considerem per exemple el vector \((1,0)\in\mathbb{R}^{2}\), aleshores la seua norma depén del producte escalar considerat. Així, \[ \begin{aligned} \left\lVert (1,0)\right\rVert_{\mathsf{A}}&= +\sqrt{ \begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3&1\\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} } = +\sqrt{3}; \\ \left\lVert (1,0)\right\rVert_{\mathsf{B}}&= +\sqrt{ \begin{bmatrix} 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} } = 1. \end{aligned} \]

Proposició 8.3 (Desigualtat de Cauchy-Schwarz) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià i \(u,w\) vectors en \(V\), aleshores \[ \left\lvert u\cdot w\right\rvert\leq \left\lVert u\right\rVert\,\left\lVert w\right\rVert. \]

Demostració. Siga \(x\in\mathbb{R}\) una variable indeterminada i considerem un vector en \(V\) de la forma \(u+xw\). Com \(\cdot\) és un producte escalar, aleshores s’ha de satisfer la següent desigualtat \[ \begin{aligned} 0&\leq (u+xw)\cdot(u+xw) \\&= (u\cdot u)+x(u\cdot w)+x(w\cdot u)+x^{2}(w\cdot w) \\&= \left\lVert u\right\rVert^{2}+2(u\cdot w)x+\left\lVert w\right\rVert^{2}x^{2}. \end{aligned} \]

Aleshores trobem que el polinomi amb indeterminada \(x\) donat per \(\left\lVert u\right\rVert^{2}+2(u\cdot w)x+\left\lVert w\right\rVert^{2}x^{2}\) ha de ser sempre major o igual a zero. Així, si calculem les seues arrels \[ x=\frac{ -2(u\cdot w)\pm\sqrt{4(u\cdot w)^{2}-4\left\lVert u\right\rVert^{2}\,\left\lVert w\right\rVert^{2}} }{ 2\left\lVert w\right\rVert^{2} }, \] trobem que el seu discriminant ha de ser menor o igual a zero, és a dir, \[ 4(u\cdot w)^{2}-4\left\lVert u\right\rVert^{2}\,\left\lVert w\right\rVert^{2}\leq 0. \]

Si simplifiquem aquesta darrera expressió trobem que \[ \left\lvert u\cdot w\right\rvert\leq \left\lVert u\right\rVert\,\left\lVert w\right\rVert, \] com volíem demostrar.

Proposició 8.4 (Desigualtat triangular o de Minkowski) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià i siguen \(u,w\) vectors en \(V\), aleshores \[ \left\lVert u+w\right\rVert\leq \left\lVert u\right\rVert+\left\lVert w\right\rVert. \]

Demostració. Es dóna la següent cadena de desigualtats \[ \begin{aligned} \left\lVert u+w\right\rVert^{2}&= (u+w)\cdot(u+w) \\&= (u\cdot u)+2(u\cdot w)+(w\cdot w) \\&\leq \left\lVert u\right\rVert^{2} +2\left\lVert u\right\rVert\,\left\lVert w\right\rVert + \left\lVert w\right\rVert^{2} &&\text{(Cauchy-Schwarz)} \\&= \left( \left\lVert u\right\rVert + \left\lVert w\right\rVert \right)^{2}. \end{aligned} \]

Per tant, concloem que \(\left\lVert u+w\right\rVert\leq \left\lVert u\right\rVert + \left\lVert w\right\rVert\).

Definició 8.5 (Angle entre vectors) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià i siguen \(u,w\) vectors no nuls en \(V\). Notem que, per la desigualtat de Cauchy-Schwarz, Proposició 8.3, es té que \(\left\lvert u\cdot w\right\rvert\leq \left\lVert u\right\rVert\,\left\lVert w\right\rVert\). Aleshores es dóna la següent desigualtat \[ -1\leq \frac{u\cdot w}{\left\lVert u\right\rVert\,\left\lVert w\right\rVert}\leq 1. \]

Definim l’angle que formen els vectors \(u\) i \(w\) respecte \(\cdot\) com a l’únic angle \(\alpha\in [0,\pi]\) tal que \[ \mathrm{cos}(\alpha)=\frac{u\cdot w}{\left\lVert u\right\rVert\,\left\lVert w\right\rVert}. \]

Nota

Nota. Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià i siguen \(u,w\) vectors no nuls en \(V\). Notem que \(u\) i \(w\) són ortogonals si, i només si, l’angle que formen és \(\frac{\pi}{2}\).

Teorema 8.1 (Teorema de Pitàgores) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià i siguen \(u,w\) vectors ortogonals en \(V\), aleshores \[ \left\lVert u+w\right\rVert^{2} = \left\lVert u\right\rVert^{2} + \left\lVert w\right\rVert^{2}. \]

Demostració. Es donen les següents igualtats \[ \begin{aligned} \left\lVert u+w\right\rVert^{2}&= (u+w)\cdot(u+w) \\&= (u\cdot u)+2(u\cdot w)+(w\cdot w) \\&= \left\lVert u\right\rVert^{2} + \left\lVert w\right\rVert^{2}, &&\text{($u\cdot w=0$)} \end{aligned} \] com volíem demostrar.

8.2 Bases ortonormals

En aquesta secció comprovarem com d’útil és l’existència de bases ortogonals en un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià.

Proposició 8.5 (De la utilitat de les bases ortogonals) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià de dimensió \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\) i \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\) una base ortogonal de \(V\). Siga \(v\in V\), aleshores \[ v=\left( \frac{v\cdot e_{1}}{\left\lVert e_{1}\right\rVert^{2}} \right)e_{1} + \cdots + \left( \frac{v\cdot e_{n}}{\left\lVert e_{n}\right\rVert^{2}} \right)e_{n}. \]

Demostració. Com \(\mathcal{B}\) és una base de \(V\), aleshores tot vector \(v\) de \(V\) pot escriure’s com a combinació lineal dels vectors en \(\mathcal{B}\). Així, existeixen escalars \(\lambda_{1},\cdots, \lambda_{n}\in\mathbb{R}\) tals que \[ v=\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n}e_{n}. \]

Aleshores, per a cada \(1\leq i\leq n\), si considerem el producte escalar de \(v\) amb el vector \(e_{i}\) de la base \(\mathcal{B}\) obtenim la següent seqüència d’igualtats \[ \begin{aligned} v\cdot e_{i}&=(\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n}e_{n})\cdot e_{i} \\&= \lambda_{1} (e_{1}\cdot e_{i})+\cdots+\lambda_{n} (e_{n}\cdot e_{i}) &&\text{($\cdot$ és forma bilineal)} \\&= \lambda_{i}(e_{i}\cdot e_{i}) &&\text{($\mathcal{B}$ és base ortogonal)} \\&= \lambda_{i}\left\lVert e_{i}\right\rVert^{2}. \end{aligned} \]

Com \(\cdot\) és un producte escalar tenim que, per a cada \(1\leq i\leq n\), \(\left\lVert e_{i}\right\rVert\neq 0\). Així, de l’anterior seqüència d’equacions, concloem que, per a cada \(1\leq i\leq n\), \[ \lambda_{i}=\frac{v\cdot e_{i}}{\left\lVert e_{i}\right\rVert^{2}}, \] com volíem demostrar.

A continuació presentem el mètode de Gram-Schmidt per a l’obtenció de bases ortogonals en un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià.

Proposició 8.6 (Mètode de Gram-Schmidt) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\) i \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\) una base de \(V\). Aleshores existeix una base ortogonal \(\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{n}\}\) de \(V\) amb la propietat que, per a cada \(1\leq i\leq n\), \[ \langle e_{1},\cdots, e_{i} \rangle = \langle \overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{i} \rangle. \]

Demostració. Fem la demostració per inducció sobre \(n\).

Cas base. Si \(n=1\), aleshores basta prendre \[ \overline{e}_{1}=e_{1}. \] Així, \(\{\overline{e}_{1}\}\) és una base ortogonal de \(V\) i \(\langle \overline{e}_{1}\rangle=\langle e_{1}\rangle\).

Hipòtesi inductiva. Suposem construïts els vectors \(\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{n-1}\) ortogonals dos a dos i satisfent la propietat que, per a tot \(1\leq i\leq n-1\), \[ \langle e_{1},\cdots, e_{i} \rangle = \langle \overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{i} \rangle. \]

Aleshores definim el vector \(\overline{e}_{n}\) com segueix \[ \overline{e}_{n}=e_{n}-\sum_{j=1}^{n-1}\lambda_{j} \overline{e}_{j}, \] on, per a cada \(1\leq j\leq n-1\), \(\lambda_{j}\) és un escalar en \(\mathbb{R}\) que vindrà determinat com segueix; com que volem que \(\overline{e}_{n}\) siga ortogonal a cadascun dels vectors \(\overline{e}_{1},\cdots,\overline{e}_{n-1}\) ja construïts, imposem, per a cada \(1\leq i\leq n-1\), la condició d’ortogonalitat següent \[ 0= \overline{e}_{n}\cdot \overline{e}_{i} = \left( e_{n}-\sum_{j=1}^{n-1}\lambda_{j}\overline{e}_{j} \right) \cdot\overline{e}_{i} = (e_{n}\cdot\overline{e}_{i}) - \lambda_{i}(\overline{e}_{i}\cdot\overline{e}_{i}) = (e_{n}\cdot\overline{e}_{i}) - \lambda_{i}\left\lVert \overline{e}_{i}\right\rVert^{2}. \] Per tant prenem, per a cada \(1\leq i\leq n-1\), com a escalar \[ \lambda_{i}= \frac{ e_{n}\cdot\overline{e}_{i} }{ \left\lVert \overline{e}_{i}\right\rVert^{2} }. \]

Així, per hipòtesi inductiva, el conjunt \(\{\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{n}\}\) és un conjunt de vectors ortogonals dos a dos. A més, per la definició d’\(\overline{e}_{n}\), obtenim que \(\langle e_{1},\cdots, e_{n}\rangle = \langle\overline{e}_{1},\cdots,\overline{e}_{n}\rangle\). Per tant, \(\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{n}\}\) és una base ortogonal de \(V\) amb la propietat que, per a cada \(1\leq i\leq n\), \[ \langle e_{1},\cdots, e_{i} \rangle = \langle \overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{i} \rangle. \]

Com volíem demostrar.

Exemple 8.2 Es considera l’\(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià estàndard \((\mathbb{R}^{3},\cdot)\) i la base \(\mathcal{B}\) d’\(\mathbb{R}^{3}\) \[ \mathcal{B}=\{(1,2,1),(1,0,1),(1,1,0)\}. \]

Apliquem el mètode de Gram-Schmidt fins a obtindre una base ortogonal \(\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{e}_{1},\overline{e}_{2},\overline{e}_{3}\}\) d’\(\mathbb{R}^{3}\).

Així, el primer vector de \(\overline{\mathcal{B}}\) ve donat per \[ \overline{e}_{1}=(1,2,1). \]

El segon vector de \(\overline{\mathcal{B}}\) ve donat per \[ \overline{e}_{2}=e_{2}-\lambda\overline{e}_{1}=(1,0,1)-\lambda(1,2,1), \] on \(\lambda\) és un escalar en \(\mathbb{R}\) que vindrà determinat en imposar la condició d’ortogonalitat següent \[ 0=\overline{e}_{2}\cdot\overline{e}_{1}=((1,0,1)-\lambda(1,2,1))\cdot (1,2,1)=2-6\lambda. \] Aleshores \(\lambda=\frac{1}{3}\). Així, podem completar la descripció del vector \(\overline{e}_{2}\) \[ \overline{e}_{2}=e_{2}-\frac{1}{3}\overline{e}_{1}=(1,0,1)-\frac{1}{3}(1,2,1) = \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right). \]

El tercer vector de \(\overline{\mathcal{B}}\) ve donat per \[ \overline{e}_{3}=e_{3}-\lambda\overline{e}_{1}-\mu\overline{e}_{2}=(1,1,0)-\lambda(1,2,1)-\mu\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right), \] on \(\lambda\) i \(\mu\) són escalars en \(\mathbb{R}\) que vindran determinats en imposar les condicions d’ortogonalitat següents \[ \begin{aligned} 0&=\overline{e}_{3}\cdot\overline{e}_{1}= \left( (1,1,0)-\lambda(1,2,1)-\mu\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) \right) \cdot (1,2,1) = 3-6\lambda; \\ 0&=\overline{e}_{3}\cdot\overline{e}_{2}= \left( (1,1,0)-\lambda(1,2,1)-\mu\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) \right) \cdot \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3}\mu. \end{aligned} \] Aleshores \(\lambda=\frac{1}{2}\) i \(\mu=0\). Així, podem completar la descripció del vector \(\overline{e}_{3}\) \[ \overline{e}_{3}=e_{3}-\lambda\overline{e}_{1}-\mu\overline{e}_{2}=(1,1,0)-\frac{1}{2}(1,2,1)=\left( \frac{1}{2},0,-\frac{1}{2} \right). \]

Queda així completament determinada la base ortogonal \(\overline{\mathcal{B}}\) d’\(\mathbb{R}^{3}\) \[ \overline{\mathcal{B}}= \left\lbrace (1,2,1) , \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right), \left( \frac{1}{2},0,-\frac{1}{2} \right) \right\rbrace. \]

Notem, a més, la condició que ens garanteix Gram-Schmidt \[ \begin{aligned} \mathrm{i.}&\quad\langle(1,2,1)\rangle=\langle(1,2,1)\rangle; \\ \mathrm{ii.}&\quad\langle(1,2,1),(1,0,1)\rangle= \left\langle (1,2,1) , \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) \right\rangle; \\ \mathrm{iii.}&\quad\langle(1,2,1),(1,0,1),(1,1,0)\rangle= \left\langle (1,2,1) , \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right), \left( \frac{1}{2},0,-\frac{1}{2} \right) \right\rangle. \end{aligned} \]

Definició 8.6 (Base ortonormal) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià. Direm que un vector \(v\in V\) és unitari per a \(\cdot\) si \(\left\lVert v\right\rVert=1\). Siga \(\mathcal{B}\) una base de \(V\). Direm que \(\mathcal{B}\) és una base unitària per a \(\cdot\) si tots els vectors que componen \(\mathcal{B}\) són unitaris per a \(\cdot\). Direm que \(\mathcal{B}\) és una base ortonormal per a \(\cdot\) si \(\mathcal{B}\) és ortogonal i unitària per a \(\cdot\).

Corol·lari 8.1 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià de dimensió \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\) i \(\mathcal{B}\) una base ortonormal de \(V\). Aleshores la matriu coordenada del producte escalar \(\cdot\) en la base \(\mathcal{B}\) és la matriu identitat \(\mathsf{I}_{n}\).

Proposició 8.7 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià de dimensió \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\) i \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\) una base ortogonal de \(V\). Aleshores el conjunt de vectors \[ \overline{\mathcal{B}}= \left\lbrace \frac{e_{1}}{\left\lVert e_{1}\right\rVert}, \cdots, \frac{e_{n}}{\left\lVert e_{n}\right\rVert} \right\rbrace \] és una base ortonormal de \(V\).

Demostració. Notem que, per a cada \(1\leq i\leq n\), la norma del vector \(e_{i}\) satisfà \(\left\lVert e_{i}\right\rVert>0\). Per tant \[ \left\langle \frac{e_{1}}{\left\lVert e_{1}\right\rVert}, \cdots, \frac{e_{n}}{\left\lVert e_{n}\right\rVert} \right\rangle = \left\langle e_{1}, \cdots, e_{n} \right\rangle = V. \]

Així, \(\overline{\mathcal{B}}\) és una base de \(V\). A més, si considerem dos índexs diferents \(1\leq i<j\leq n\), com que \(\mathcal{B}\) és una base ortogonal, tenim que \[ \frac{e_{i}}{\left\lVert e_{i}\right\rVert} \cdot\frac{e_{j}}{\left\lVert e_{j}\right\rVert} = \frac{e_{i}\cdot e_{j}}{\left\lVert e_{i}\right\rVert\,\left\lVert e_{j}\right\rVert} = 0. \]

És a dir, \(\overline{\mathcal{B}}\) és una base ortogonal de \(V\). A més, per a cada \(1\leq i\leq n\), trobem que \[ \left\lVert \frac{e_{i}}{\left\lVert e_{i}\right\rVert} \right\rVert = \frac{1}{\left\lVert e_{i}\right\rVert}\left\lVert e_{i}\right\rVert = 1. \]

Concloem que \(\overline{\mathcal{B}}\) és una base ortonormal de \(V\).

Exemple 8.3 (Continuació de l’Exemple 8.2.) En l’\(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià estàndard \((\mathbb{R}^{3},\cdot)\) la base \(\overline{\mathcal{B}}\) d’\(\mathbb{R}^{3}\) donada per \[ \overline{\mathcal{B}}= \left\lbrace (1,2,1) , \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right), \left( \frac{1}{2},0,-\frac{1}{2} \right) \right\rbrace \] és una base ortogonal. Els vectors d’aquesta base tenen les següents normes \[ \left\lVert(1,2,1)\right\rVert=\sqrt{6}; \qquad \left\lVert \left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right) \right\rVert = \frac{2}{\sqrt{3}}; \qquad \left\lVert \left(\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2}\right) \right\rVert = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Així, dividint els vectors de la base \(\overline{\mathcal{B}}\) per la seua norma obtenim \[ \overline{\overline{\mathcal{B}}}= \left\lbrace \left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right) , \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right), \left( \frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\rbrace \]

Així, \(\overline{\overline{\mathcal{B}}}\) és una base ortonormal d’\(\mathbb{R}^{3}\).

Corol·lari 8.2 (De la utilitat de les bases ortonormals) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià de dimensió \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\) i \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\) una base ortonormal de \(V\). Siga \(v\in V\), aleshores \[ v=\left( v\cdot e_{1} \right)e_{1} + \cdots + \left( v\cdot e_{n} \right)e_{n}. \]

Definició 8.7 (Matrius ortogonals) Direm que una matriu \(\mathsf{P}\) en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})\) és ortogonal si \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}}\mathsf{P} = \mathsf{I}_{n}. \] Denotem per \(\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R})\) al conjunt de totes les matrius ortogonals sobre \(\mathbb{R}\) de tamany \(n\), és a dir, \[ \mathrm{O}_{n}(\mathbb{R})= \left\lbrace \mathsf{P}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{R})\mid \mathsf{P}^{\mathsf{t}}\mathsf{P}=\mathsf{I}_{n} \right\rbrace. \]

Nota

Nota. Notem que si \(\mathsf{P}\) és una matriu ortogonal en \(\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R})\), aleshores \(\mathsf{P}\) és una matriu invertible en \(\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{R})\) i, a més, la seua inversa és la seua transposada, és a dir, \[\mathsf{P}^{-1}=\mathsf{P}^{\mathsf{t}}.\]

Proposició 8.8 El conjunt \(\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R})\) de matrius ortogonals sobre \(\mathbb{R}\) forma un grup amb el producte habitual de matrius.

Demostració. És clar que la matriu identitat \(\mathsf{I}_{n}\) és una matriu ortogonal. A més, si \(\mathsf{P}\) i \(\mathsf{Q}\) són dues matrius ortogonals en \(\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R})\), aleshores el seu producte torna a ser una matriu ortogonal ja que \[ (\mathsf{PQ})^{\mathsf{t}}(\mathsf{PQ})= \mathsf{Q}^{\mathsf{t}}\mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{P}\mathsf{Q} = \mathsf{Q}^{\mathsf{t}}\mathsf{Q} = \mathsf{I}_{n}. \] A més, per la nota anterior, la inversa d’una matriu ortogonal és la seua transposada, que torna a ser una matriu ortogonal. És a dir, \((\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R}),\cdot, \mathsf{I}_{n})\) és un grup.

Proposició 8.9 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià de dimensió \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\). Aleshores tota matriu canvi de base entre bases ortonormals de \(V\) és una matriu ortogonal.

Demostració. Siguen \(\mathcal{B}\) i \(\overline{\mathcal{B}}\) dues bases ortonormals de \(V\). Anomenem

• \(\mathsf{A}\) la matriu coordenada de \(\cdot\) en la base \(\mathcal{B}\);
• \(\overline{\mathsf{A}}\) la matriu coordenada de \(\cdot\) en la base \(\overline{\mathcal{B}}\);
• \(\mathsf{P}\) la matriu canvi de base d’\(\overline{\mathcal{B}}\) a \(\mathcal{B}\).

Aleshores, trobem la relació de congruència entre les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\overline{\mathsf{A}}\) donada per \[ \mathsf{P}^{\mathsf{t}} \mathsf{AP} = \overline{\mathsf{A}}. \]

Només cal recordar, pel Corol·lari 8.1, que \(\mathsf{A}=\overline{\mathsf{A}}=\mathsf{I}_{n}\).

Exemple 8.4 (Continuació de l’Exemple 8.3.) En l’\(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià estàndard \((\mathbb{R}^{3},\cdot)\) la base \(\overline{\overline{\mathcal{B}}}\) d’\(\mathbb{R}^{3}\) donada per \[ \overline{\overline{\mathcal{B}}}= \left\lbrace \left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right) , \left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right), \left( \frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right\rbrace \] és una base ortonormal d’\(\mathbb{R}^{3}\). Per altra banda, la base canònica \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\) també és una base ortonormal d’\(\mathbb{R}^{3}\). Així, la matriu canvi de base de \(\overline{\overline{\mathcal{B}}}\) a \(\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\) és una matriu ortogonal en \(\mathrm{O}_{3}(\mathbb{R})\). En aquest cas, aquesta matriu ve donada per \[ \mathsf{P}= \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}&0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}. \] Només cal comprovar que \(\mathsf{P}^{\mathsf{t}}\mathsf{P}=\mathsf{I}_{3}\).

8.3 Complement ortogonal

Definició 8.8 (Complement ortogonal) Siga \((V,\cdot)\) un espai vectorial euclidià, \(U\leq V\) un subespai vectorial i \(v\) un vector en \(V\). Direm que \(v\) és ortogonal a \(U\), i ho denotarem \(v\perp U\), si, per a tot \(u\in U\), es té que \(u\cdot v=0\), és a dir, si \(v\) és ortogonal a tots els vectors d’\(U\).

A més, denotem per \(U^{\perp}\) al conjunt de tots els vectors que són ortogonals a \(U\), així \[ U^{\perp}=\{v\in V\mid v\perp U\}. \]

Proposició 8.10 Siga \((V,\cdot)\) un espai vectorial euclidià i \(U\leq V\) un subespai vectorial amb \(U=\langle u_{1},\cdots, u_{r}\rangle\) aleshores, per a tot \(v\in V\), les següents afirmacions són equivalents

1. \(v\perp U\);
2. \(v\perp u_{i}\), per a tot \(1\leq i\leq r\).

Demostració. Suposem que \(v\perp U\), així \(v\) és ortogonal a tots els vectors d’\(U\). En particular, als vectors \(u_{i}\), per a tot \(1\leq i\leq r\).

Per contra, suposem que \(v\cdot u_{i}=0\), per a tot \(1\leq i\leq r\). Anem a comprovar que \(v\) és ortogonal a tots els vectors d’\(U\). Siga \(u\) un vector en \(U\). Com que \(U=\langle u_{1},\cdots, u_{r}\rangle\), aleshores \(u\) pot escriure’s com a combinació lineal dels vectors \(u_{1},\cdots, u_{r}\). Així, existeixen escalars \(\lambda_{1},\cdots, \lambda_{r}\) en \(\mathbb{R}\) tals que \[ u=\lambda_{1}u_{1}+\cdots+\lambda_{r}u_{r}. \]

Aleshores, trobem la següent cadena d’igualtats \[ v\cdot u=v\cdot(\lambda_{1}u_{1}+\cdots+\lambda_{r}u_{r})=\lambda_{1}(v\cdot u_{1}) +\cdots+\lambda_{r}(v\cdot u_{r})=0. \]

Concloem que \(v\perp U\).

Proposició 8.11 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=n\) i \(U\leq V\) un subespai vectorial. Aleshores

1. \(U^{\perp}\leq V\);
2. \(V=U\oplus U^{\perp}\);
3. \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(U)+\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(U^{\perp})\).

Demostració. Siguen \(v,w\) dos vectors en \(U^{\perp}\), \(\lambda,\mu\) dos escalars en \(\mathbb{R}\) i \(u\) un vector qualsevol en \(U\). Aleshores es donen les següents igualtats \[ (\lambda v+\mu w)\cdot u=\lambda (v\cdot u)+\mu (w\cdot u)=0. \] Per tant, \(\lambda v+\mu w\in U^{\perp}\), és a dir, \(U^{\perp}\) és un subespai vectorial de \(V\).

Per al segon ítem, siga \(z\) un element en \(U\cap U^{\perp}\), aleshores \[ z\cdot z=\left\lVert z\right\rVert^{2}=0. \] Com que estem treballant amb un producte escalar, aleshores \(z=0\). Per tant, la suma \(U+U^{\perp}\) és directa i podem escriure \(U\oplus U^{\perp}\).

Falta comprovar que \(V=U\oplus U^{\perp}\), és a dir, que tot vector de \(V\) pot escriure’s com a suma d’un vector en \(U\) i un altre en \(U^{\perp}\). Considerem \(\mathcal{B}_{U}=\{u_{1},\cdots, u_{r}\}\), amb \(r\leq n\), una base d’\(U\). Pel teorema d’ampliació de la base, podem ampliar aquesta base fins obtindre una base \(\mathcal{B}=\{u_{1},\cdots, u_{r},v_{r+1},\cdots, v_{n}\}\) de \(V\). Si apliquem el mètode d’ortogonalització de Gram-Schmidt, Proposició 8.6, a la base \(\mathcal{B}\), trobem una nova base de \(V\) donada per \(\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{u}_{1},\cdots, \overline{u}_{r},\overline{u}_{r+1},\cdots, \overline{u}_{n}\}\) amb la propietat que \[ U=\langle u_{1},\cdots, u_{r}\rangle=\langle \overline{u}_{1},\cdots, \overline{u}_{r}\rangle. \] Notem, a més, que com la base \(\overline{\mathcal{B}}\) és ortogonal, aleshores \[ U^{\perp}=\langle \overline{u}_{r+1},\cdots, \overline{u}_{n}\rangle. \]

Per tant, com que \(\overline{\mathcal{B}}\) és una base de \(V\), tot vector \(v\in V\) pot escriure’s com a combinació lineal dels vectors en \(\overline{\mathcal{B}}\), així existeixen escalars \(\lambda_{1},\cdots, \lambda_{r},\lambda_{r+1},\cdots, \lambda_{n}\) en \(\mathbb{R}\) tals que \[ v=(\lambda_{1}\overline{u}_{1}+\cdots+\lambda_{r}\overline{u}_{r})+ (\lambda_{r+1}\overline{u}_{r+1}+\cdots+\lambda_{n}\overline{u}_{n})\in U+U^{\perp}. \]

Per tant \(V=U\oplus U^{\perp}\). A més, \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(U)+\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(U^{\perp})\).

Definició 8.9 (Projecció ortogonal) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià, \(U\leq V\) un subespai vectorial i \(v\) un vector en \(V\). Aleshores, per la Proposició 8.11, \(v\) s’escriu de forma única com a \(v=u+u^{\perp}\), per a un vector \(u\in U\) i un vector \(u^{\perp}\in U^{\perp}\). Al vector \(u\in U\) associat a \(v\) l’anomenem projecció ortogonal de \(v\) en \(U\) i el denotem per \(\mathrm{p}_{U}(v)\).

Equivalentment, \(\mathrm{p}_{U}(v)\) és l’únic vector que satisfà

1. \(\mathrm{p}_{U}(v)\in U\);
2. \(v-\mathrm{p}_{U}(v)\in U^{\perp}\).

Teorema 8.2 (Teorema de la millor aproximació) Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià, \(U\leq V\) un subespai vectorial i \(v\) un vector en \(V\), aleshores, per a tot vector \(u\in U\), \[ \left\lVert v-\mathrm{p}_{U}(v)\right\rVert\leq \left\lVert v-u\right\rVert. \]

Demostració. Siga \(u\in U\), aleshores se satisfà la següent cadena d’igualtats i desigualtats \[ \begin{aligned} \left\lVert v-u\right\rVert^{2}&= \left\lVert (v-\mathrm{p}_{U}(v)) + (\mathrm{p}_{U}(v)-u) \right\rVert^{2} \\&= \left\lVert v-\mathrm{p}_{U}(v) \right\rVert^{2} + \left\lVert \mathrm{p}_{U}(v)-u \right\rVert^{2} &&\text{(Pitàgores)} \\&\geq \left\lVert v-\mathrm{p}_{U}(v) \right\rVert^{2}. \end{aligned} \]

Notem que, per la Definició 8.9, \(v-\mathrm{p}_{U}(v)\) és un vector en \(U^{\perp}\) i, per la Proposició 8.11 i la Definició 8.9, \(\mathrm{p}_{U}(v)-u\) és un vector en \(U\). Així els vectors \(v-\mathrm{p}_{U}(v)\) i \(\mathrm{p}_{U}(v)-u\) són ortogonals i podem emprar el teorema de Pitàgores, Teorema 8.1.

8.4 Isometries

Definició 8.10 (Isometria) Siguen \((V,\cdot)\) i \((W,\cdot)\) dos \(\mathbb{R}\)-espais vectorials euclidians. Una isometria de \((V,\cdot)\) en \((W,\cdot)\) és una aplicació lineal \(h\colon V\longrightarrow W\) tal que, per a tot \(u,v\in V\), es té que \[ h(u)\cdot h(v)=u\cdot v. \]

Proposició 8.12 Siguen \((V,\cdot)\) i \((W,\cdot)\) dos \(\mathbb{R}\)-espais vectorials euclidians i \(h\colon V\longrightarrow W\) una isometria. Aleshores \(h\) és una aplicació lineal injectiva, és a dir, \(h\) és un monomorfisme.

Demostració. Com que \(h\) és lineal, provar que és injectiva és equivalent, per la caracterització de la injectivitat pel nucli, a demostrar que \(\mathrm{Ker}(h)=\{0\}\). Siga \(v\in V\) tal que \(h(v)=0\) aleshores, com que \(h\) és isometria, es dóna la següent igualtat \[ v\cdot v=h(v)\cdot h(v)=0\cdot 0=0. \] Com que \(\cdot\) és un producte escalar, concloem que \(v=0\).

Així \(h\) és un monomorfisme.

Proposició 8.13 Siguen \((V,\cdot)\) i \((W,\cdot)\) dos \(\mathbb{R}\)-espais vectorials euclidians i siga \(h\colon V\longrightarrow W\) una aplicació lineal. Les següents afirmacions són equivalents.

1. \(h\) és una isometria;
2. Per a tot \(v\in V\), \(\left\lVert h(v)\right\rVert=\left\lVert v\right\rVert\).

Demostració. Suposem que \(h\) és una isometria, aleshores per a tot \(v\in V\) es té que \[ \left\lVert h(v)\right\rVert=+\sqrt{h(v)\cdot h(v)}=+\sqrt{v\cdot v}=\left\lVert v\right\rVert. \]

Per altra banda, suposem que, per a tot \(v\in V\), \(\left\lVert h(v)\right\rVert=\left\lVert v\right\rVert\). Siguen \(u,v\) dos vectors qualssevol en \(V\), aleshores \[ h(u+v)\cdot h(u+v)= \left\lVert h(u+v)\right\rVert^{2}= \left\lVert u+v\right\rVert^{2}= (u+v)\cdot (u+v). \]

Com que \(h\) és lineal, obtenim que \[ \begin{aligned} \left\lVert h(u)\right\rVert^{2}+2h(u)\cdot h(v)+\left\lVert h(v)\right\rVert^{2} &= h(u+v)\cdot h(u+v) \\&= (u+v)\cdot (u+v) \\&= \left\lVert u\right\rVert^{2}+2(u\cdot v)+\left\lVert v\right\rVert^{2}. \end{aligned} \]

Per tant, \(2h(u)\cdot h(v)=2(u\cdot v)\) i, així, \(h(u)\cdot h(v)=u\cdot v\). És a dir, \(h\) és una isometria.

Proposició 8.14 Siguen \((V,\cdot)\) i \((W,\cdot)\) dos \(\mathbb{R}\)-espais vectorials euclidians, \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\) una base de \(V\) i \(h\colon V\longrightarrow W\) una aplicació lineal. Les següents afirmacions són equivalents

1. \(h\) és una isometria;
2. Per a tot \(1\leq i,j\leq n\), \(h(e_{i})\cdot h(e_{j})=e_{i}\cdot e_{j}\).

Demostració. Si suposem que \(h\) és una isometria, aleshores obtenim (ii) com a cas particular.

Per altra banda, suposem que \(h(e_{i})\cdot h(e_{j})=e_{i}\cdot e_{j}\) per a tot parell d’índexs \(1\leq i,j\leq n\). Siguen \(u,v\) dos vectors en \(V\). Aleshores, com \(\mathcal{B}\) és base de \(V\), podem trobar escalars \(\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\) i \(\mu_{1},\cdots, \mu_{n}\) en \(\mathbb{R}\) tals que \[ u=\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n} e_{n}; \qquad\qquad v=\mu_{1}e_{1}+\cdots+\mu_{n} e_{n}. \]

Aleshores es dóna la següent seqüència d’igualtats \[ \begin{aligned} h(u)\cdot h(v)&= h(\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n} e_{n}) \cdot h(\mu_{1}e_{1}+\cdots+\mu_{n} e_{n}) \\&= (\lambda_{1}h(e_{1})+\cdots +\lambda_{n}h(e_{n})) \cdot (\mu_{1}h(e_{1})+\cdots +\mu_{n}h(e_{n})) &&\text{(linealitat)} \\&= \sum_{i,j=1}^{n} \lambda_{i}\mu_{j}(h(e_{i})\cdot h(e_{j})) &&\text{(bilinealitat)} \\&= \sum_{i,j=1}^{n} \lambda_{i}\mu_{j}(e_{i}\cdot e_{j}) &&\text{(hipòtesi)} \\&= (\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n} e_{n}) \cdot (\mu_{1}e_{1}+\cdots+\mu_{n} e_{n}) &&\text{(bilinealitat)} \\&= u\cdot v. \end{aligned} \]

Queda, així, demostrada la proposició.

Corol·lari 8.3 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià, \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\) una base de \(V\) i \(h\colon V\longrightarrow V\) una aplicació lineal. Anomenem

• \(\mathsf{A}\) la matriu coordenada d’\(h\) de \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B}\);
• \(\mathsf{C}\) la matriu coordenada del producte escalar \(\cdot\) en \(\mathcal{B}\).

Les següents afirmacions són equivalents

1. \(h\) és una isometria;
2. \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\mathsf{CA}=\mathsf{C}\).

Demostració. Notem que, per a cada \(1\leq i,j\leq n\), l’entrada \((i,j)\) de la matriu \(\mathsf{C}\) és \(e_{i}\cdot e_{j}\), mentre que l’entrada \((i,j)\) de la matriu \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\mathsf{CA}\) ve de fer la multiplicació de la fila \(i\) d’\(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\) per la matriu \(\mathsf{C}\) per la columna \(j\) de la matriu \(\mathsf{A}\). Notem que

• la fila \(i\) d’\(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\) són les coordenades d’\(h(e_{i})\) en \(\mathcal{B}\), transposades;
• la columna \(j\) d’\(\mathsf{A}\) són les coordenades d’\(h(e_{j})\) en \(\mathcal{B}\).

Així, l’entrada \((i,j)\) de la matriu \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\mathsf{CA}\) és, precisament, \(h(e_{i})\cdot h(e_{j})\).

El resultat se segueix immediatament de la Proposició 8.14.

Corol·lari 8.4 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià, \(\mathcal{B}\) una base ortonormal de \(V\) i \(h\colon V\longrightarrow V\) una aplicació lineal. Anomenem \(\mathsf{A}\) la matriu coordenada d’\(h\) de \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B}\). Les següents afirmacions són equivalents

1. \(h\) és una isometria;
2. \(\mathsf{A}\) és una matriu ortogonal.

Demostració. Per a una base ortonormal \(\mathcal{B}\) tenim, pel Corol·lari 8.1, que la matriu identitat \(\mathsf{I}_{n}\) és la matriu coordenada del producte escalar \(\cdot\) en \(\mathcal{B}\). El resultat se segueix immediatament del Corol·lari 8.3.

Corol·lari 8.5 L’aplicació identitat és una isometria i la composició d’isometries torna a ser isometria. L’aplicació inversa d’una isometria bijectiva és una isometria bijectiva.

8.4.1 Isometries en \((\mathbb{R},\cdot)\)

En aquesta subsecció intentarem descriure com són les isometries en \((\mathbb{R},\cdot)\), l’\(\mathbb{R}\)-espai vectorial estàndard de dimensió \(1\). Emprarem la caracterització presentada en el Corol·lari 8.4, que ens diu que una aplicació lineal d’\(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{R}\) és una isometria si, i només si, la seua matriu coordenada en una base ortonormal és ortogonal. Ens aprofitem que, per al producte escalar estàndard, la base canònica \(\mathcal{B}=\{1\}\) d’\(\mathbb{R}\) és una base ortonormal.

Així, siga \(h\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) una aplicació lineal i anomenem \(\mathsf{A}\) la matriu coordenada d’\(h\) de \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B}\).

Aleshores, si \(\mathsf{A}=[\alpha]\), tenim que \(h\) és isometria si, i només si, \(\mathsf{A}\) és una matriu ortogonal. És a dir, si \(\alpha^{2}=1\). En aquest cas, les úniques possibilitats són \(\alpha=1\) o \(\alpha=-1\).

Cas \(\alpha=1\). Trobem que l’única aplicació lineal \(h\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) que té a \([1]\) com a matriu coordenada en la base canònica és l’aplicació identitat, és a dir, \[ \mathrm{id}_{\mathbb{R}}\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}. \]

Cas \(\alpha=-1\). Trobem que l’única aplicació lineal \(h\colon \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) que té a \([-1]\) com a matriu coordenada en la base canònica és l’aplicació identitat multiplicada per \(-1\), és a dir, \[ -\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}. \]

Corol·lari 8.6 Les úniques isometries en l’espai vectorial euclidià estàndard \((\mathbb{R},\cdot)\) són \(\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\) i \(-\mathrm{id}_{\mathbb{R}}\).

8.4.2 Isometries en \((\mathbb{R}^{2},\cdot)\)

En aquesta subsecció intentarem descriure com són les isometries en \((\mathbb{R}^{2},\cdot)\), l’\(\mathbb{R}\)-espai vectorial estàndard de dimensió \(2\). Emprarem la caracterització presentada en el Corol·lari 8.4, que ens diu que una aplicació lineal d’\(\mathbb{R}^{2}\) en \(\mathbb{R}^{2}\) és una isometria si, i només si, la seua matriu coordenada en una base ortonormal és ortogonal. Ens aprofitem que, per al producte escalar estàndard, la base canònica \(\mathcal{B}=\{(1,0), (0,1)\}\) d’\(\mathbb{R}^{2}\) és una base ortonormal.

Així, siga \(h\colon \mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}\) una isometria i anomenem \(\mathsf{A}\) la matriu coordenada d’\(h\) de \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B}\).

Aleshores, si \(\mathsf{A}\) té la forma \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{12}\\ \alpha_{21}&\alpha_{22} \end{bmatrix}, \] trobem que

• \(\begin{bmatrix} \alpha_{11}\\ \alpha_{21} \end{bmatrix}\) són les coordenades d’\(h(1,0)\) en \(\mathcal{B}\);
• \(\begin{bmatrix} \alpha_{12}\\ \alpha_{22} \end{bmatrix}\) són les coordenades d’\(h(0,1)\) en \(\mathcal{B}\).

Però, per altra banda, \((1,0)\) i \((0,1)\) són vectors de norma \(1\) en el producte escalar estàndard i, com \(h\) preserva les normes, d’acord a la Proposició 8.13, trobem que \(h(1,0)=(\alpha_{11},\alpha_{21})\) i \(h(0,1)=(\alpha_{12},\alpha_{22})\) han de tindre norma \(1\). És a dir, s’han de satisfer les equacions \[ \alpha_{11}^{2}+\alpha_{21}^{2}=1, \qquad\qquad \alpha_{12}^{2}+\alpha_{22}^{2}=1. \]

Així existiran angles \(\theta\in [0,2\pi[\) i \(\theta'\in [0,2\pi[\) de forma que \[ h(1,0)=(\cos(\theta),\sin(\theta)), \qquad\qquad h(0,1)=(\cos(\theta'),\sin(\theta')). \]

Per tant, tenim que \(h\) és isometria si, i només si, \(\mathsf{A}\) és una matriu ortogonal. És a dir, si \[ \begin{aligned} \mathsf{A}^{\mathsf{t}}\mathsf{A} &= \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\sin(\theta)\\ \cos(\theta')&\sin(\theta') \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta')\\ \sin(\theta)&\sin(\theta') \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} \cos(\theta)^2+\sin(\theta)^{2}&\cos(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta)\sin(\theta')\\ \cos(\theta)\cos(\theta')+\sin(\theta)\sin(\theta')&\cos(\theta')^2+\sin(\theta')^{2} \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 1&\cos(\theta-\theta')\\ \cos(\theta-\theta')&1 \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Per tant, caldrà exigir que \(\cos(\theta-\theta')=0\). Així, si \(\theta\in [0,2\pi[\), les úniques opcions per a \(\theta'\) són \(\theta'=\theta-\frac{\pi}{2}\) o \(\theta'=\theta-\frac{3\pi}{2}\).

Cas \(\theta\in[0,2\pi[\) i \(\theta'=\theta-\frac{\pi}{2}\). En aquest cas la matriu coordenada d’\(h\) té la forma \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta-\frac{\pi}{2})\\ \sin(\theta)&\sin(\theta-\frac{\pi}{2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&-\cos(\theta) \end{bmatrix} \]

Estudiem els valors propis d’aquesta matriu per tractar d’entendre l’homomorfisme que subjau. Així, si calculem el polinomi característic d’\(\mathsf{A}\) trobem que \[ \begin{aligned} \mathrm{polcar}(\mathsf{A})&= \mathrm{Det}(x\mathsf{I}_{2}-\mathsf{A}) \\&= \mathrm{Det}\left( \begin{bmatrix} x-\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ -\sin(\theta)&x+\cos(\theta) \end{bmatrix} \right) \\&= (x-\cos(\theta))(x+\cos(\theta))-\sin(\theta)^{2} \\&= x^{2}-1 \\&= (x+1)(x-1). \end{aligned} \]

Així, tenim dos valors propis, l’\(1\) i el \(-1\). Busquem els subespais propis. \[ \begin{aligned} \mathbb{R}^{2}_{1}&= \left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^{2} \, \middle| \, \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&-\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right\rbrace \\&= \left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^{2} \, \middle| \, \begin{bmatrix} \cos(\theta)-1&\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&-\cos(\theta)-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \right\rbrace \\&= \left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid (\cos(\theta)-1)x+\sin(\theta)y= 0 \right\rbrace \\&= \left\langle\left(\cos\left( \theta/2 \right), \sin\left( \theta/2 \right)\right)\right\rangle. \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \mathbb{R}^{2}_{-1}&= \left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^{2} \, \middle| \, \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&-\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} \right\rbrace \\&= \left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^{2} \, \middle| \, \begin{bmatrix} \cos(\theta)+1&\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&-\cos(\theta)+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0 \end{bmatrix} \right\rbrace \\&= \left\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid (\cos(\theta)+1)x+\sin(\theta)y= 0 \right\rbrace \\&= \left\langle\left(-\sin\left( \theta/2 \right), \cos\left( \theta/2 \right)\right)\right\rangle. \end{aligned} \]

Notem que els vectors \((\cos(\theta/2), \sin(\theta/2))\), propi per a \(1\), i \((-\sin(\theta/2), \cos(\theta/2))\), propi per a \(-1\), són ortogonals. En aquest cas ens trobem davant d’una reflexió sobre l’eix \(\mathbb{R}^{2}_{1}\), que forma un angle de \(\theta/2\) sobre l’eix de les \(x\): els vectors de l’eix \(\mathbb{R}^{2}_{1}\) queden fixos i els vectors de la recta perpendicular \(\mathbb{R}^{2}_{-1}\) canvien de sentit.

Cas \(\theta\in[0,2\pi[\) i \(\theta'=\theta-\frac{3\pi}{2}\). En aquest cas la matriu coordenada d’\(h\) té la forma \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta-\frac{3\pi}{2})\\ \sin(\theta)&\sin(\theta-\frac{3\pi}{2}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{bmatrix} \]

Estudiem els valors propis d’aquesta matriu per tractar d’entendre l’homomorfisme que subjau. Així, si calculem el polinomi característic d’\(\mathsf{A}\) trobem que \[ \begin{aligned} \mathrm{polcar}(\mathsf{A})&= \mathrm{Det}(x\mathsf{I}_{2}-\mathsf{A}) \\&= \mathrm{Det}\left( \begin{bmatrix} x-\cos(\theta)&\sin(\theta)\\ -\sin(\theta)&x-\cos(\theta) \end{bmatrix} \right) \\&= (x-\cos(\theta))^{2}+\sin(\theta)^{2} \\&= x^{2}-2\cos(\theta)x+1. \end{aligned} \]

Aquest polinomi té solució \[ x=\frac{2\cos(\theta)\pm\sqrt{4\cos(\theta)^{2}-4}}{2}=\cos(\theta)\pm\sqrt{\cos(\theta)^{2}-1}. \] Així, aquesta isometria tindrà valors propis si, i només si, \(\theta=0\) o \(\theta=\pi\). Aquests subcasos concrets responen a les respectives matrius

• \(\mathsf{I}_{2}\), associada a l’aplicació \(\mathrm{id}_{\mathbb{R}^{2}}\colon\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}\);
• \(-\mathsf{I}_{2}\), associada a l’aplicació \(-\mathrm{id}_{\mathbb{R}^{2}}\colon\mathbb{R}^{2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2}\).

Fora d’aquests casos ens trobem amb una rotació d’angle \(\theta\) al voltant de l’origen.

Corol·lari 8.7 Les úniques isometries en l’espai vectorial euclidià estàndard \((\mathbb{R}^{2},\cdot)\) són les reflexions i els girs.

8.4.3 Isometries en espais vectorials de dimensió superior

Farem ara una incursió a les isometries en espais vectorials de dimensió superior. Primerament, posem sobre la taula un raonament que ha sobrevolat els anteriors casos. Notem que una isometria, si té valors propis, aquests han de ser necessàriament \(1\) o \(-1\). Açò és el que provarem en la següent proposició.

Proposició 8.15 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià i siga \(h\colon V\longrightarrow V\) una isometria. Aleshores, si \(\lambda\in \mathbb{R}\) és un valor propi d’\(h\), aleshores \(\lambda=\pm 1\).

Demostració. Siga \(\lambda\in\mathbb{R}\) un valor propi i siga \(v\in V-\{0\}\) un vector propi associat a \(\lambda\). Així, \[ \left\lVert v\right\rVert^{2}=v\cdot v=h(v)\cdot h(v)=(\lambda v)\cdot (\lambda v)=\lambda^{2}\left\lVert v\right\rVert^{2}. \]

Com que \(v\neq 0\), tenim que \(\left\lVert v\right\rVert\neq 0\). Aleshores trobem que \(\lambda^{2}=1\). Així, \(\lambda =\pm 1\).

A més, per a espais vectorials de dimensió imparella, si fixem una base ortonormal i considerem la matriu coordenada de la isometria en aquesta base ortonormal, obtenim que aquesta matriu necessàriament té com a valors propis l’\(1\) o el \(-1\).

Proposició 8.16 Siga \((V,\cdot)\) un \(\mathbb{R}\)-espai vectorial euclidià amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)=2k+1\) i \(h\colon V\longrightarrow V\) una isometria. Aleshores, \(1\) o \(-1\) és valor propi d’\(h\).

Demostració. Siga \(\mathcal{B}\) una base ortonormal de \(V\) i anomenem \(\mathsf{A}\) la matriu coordenada d’\(h\) en \(\mathcal{B}\).

Anomenem \(n=\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(V)\). Aleshores, pel Corol·lari 8.4, la matriu \(\mathsf{A}\) és una matriu ortogonal, és a dir, \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}=\mathsf{I}_{n}\).

Aleshores trobem les següents igualtats \[ (\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n})(\mathsf{A}+\mathsf{I}_{n})=\mathsf{A}^{2}-\mathsf{I}_{n}=\mathsf{A}(\mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}}). \]

Notem que la matriu \(\mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\) satisfà la següent igualtat \[ \left( \mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \right)^{\mathsf{t}} = \mathsf{A}^{\mathsf{t}} - \mathsf{A} = -\left( \mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \right). \]

Per tant, \[ \mathrm{Det}\left( \mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \right) = \mathrm{Det}\left(\left( \mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \right)^{\mathsf{t}} \right) = \mathrm{Det}\left( - \left( \mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \right) \right) = (-1)^{n}\mathrm{Det}\left( \mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \right). \]

Com \(n\) és imparell, concloem que \(\mathrm{Det}(\mathsf{A}-\mathsf{A}^{\mathsf{t}})=0\).

Així doncs, una de les següents equacions s’ha de satisfer \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n})=0; \qquad\qquad \mathrm{Det}(\mathsf{A}+\mathsf{I}_{n})=0. \]

És a dir, o bé \(1\) o bé \(-1\) és valor propi d’\(\mathsf{A}\).