Equivalència de matrius

L’últim resultat del capítol anterior ens ha permés trobar, per a dos \(\mathbb{K}\)-espais vectorials \(V_{1}\) i \(V_{2}\), amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n\) i \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m\), un isomorfisme entre el \(\mathbb{K}\)-espai vectorial \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})\), de les aplicacions lineals de \(V_{1}\) a \(V_{2}\), i el \(\mathbb{K}\)-espai vectorial \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\), de les matrius de tamany \(m,n\) sobre \(\mathbb{K}\). Aquest isomorfisme depén de l’elecció prèvia d’unes bases \(\mathcal{B}_{1}\) i \(\mathcal{B}_{2}\) per a \(V_{1}\) i \(V_{2}\), respectivament. El que farem en aquest capítol serà entendre què ocorre si canviem de bases.

Notem la següent relació. Siguen \(V_{1}\) i \(V_{2}\) dos \(\mathbb{K}\)-espais vectorials finitament generats amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n\) i \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m\). Siga \(f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}\) una aplicació lineal i siguen

Considerem

Un dels objectius d’aquest capítol serà entendre la relació entre \(\mathsf{A}\) i \(\overline{\mathsf{A}}\). Notem que ambdues matrius, \(\mathsf{A}\) i \(\overline{\mathsf{A}}\), són matrius coordenades d’\(f\) en bases diferents. Així, per a tot \(v\in V_{1}\), si

aleshores, les següents equacions se satisfan \[ \mathsf{AX}=\mathsf{Y}; \qquad\qquad \overline{\mathsf{A}} \overline{\mathsf{X}} =\overline{\mathsf{Y}}. \]

Ara bé, si considerem les següents matrius canvi de base

les següents equacions se satisfan \[ \mathsf{Q}\overline{\mathsf{X}}=\mathsf{X}; \qquad\qquad \mathsf{PY}=\overline{\mathsf{Y}}. \]

Tenint en compte les anteriors equacions arribem a que \[ (\mathsf{PAQ})\overline{\mathsf{X}}=(\mathsf{PA})(\mathsf{Q}\overline{\mathsf{X}})= (\mathsf{PA})\mathsf{X}= \mathsf{P}(\mathsf{AX}) =\mathsf{PY}=\overline{\mathsf{Y}}. \]

És a dir, \(\mathsf{PAQ}\) és la matriu que transforma les coordenades d’un vector \(v\) qualsevol en la base \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) en les coordenades del vector \(f(v)\) en la base \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\). Per la unicitat de la matriu coordenada, \[ \mathsf{PAQ}=\overline{\mathsf{A}}. \]

Per a il·lustrar aquesta relació, considerem els següents diagrames on, a esquerra, trobem una representació de les aplicacions lineals subjacents a les anteriors matrius i, a dreta, trobem una representació de les corresponents transformacions de coordenades, on les etiquetes de les fletxes denoten multiplicació a esquerra per les matrius corresponents. \[ \begin{array}{ccc} V_{1} & \overset{f}{\longrightarrow} & V_{2}\\ {\scriptstyle \mathrm{id}_{V_{1}}}\big\downarrow & & \big\uparrow{\scriptstyle \mathrm{id}_{V_{2}}}\\ V_{1} & \underset{f}{\longrightarrow} & V_{2} \end{array} \qquad\qquad\qquad \begin{array}{ccc} \overline{\mathsf{X}} & \overset{\overline{\mathsf{A}}}{\longrightarrow} & \overline{\mathsf{Y}}\\ {\scriptstyle \mathsf{Q}}\big\downarrow & & \big\uparrow{\scriptstyle \mathsf{P}}\\ \mathsf{X} & \underset{\mathsf{A}}{\longrightarrow} & \mathsf{Y} \end{array} \]

L’anterior discussió ens justifica la següent definició.

Definició 4.1 (Equivalència de matrius) Siguen \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) dues matrius en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\). Direm que \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) són equivalents, i ho denotarem \(\mathsf{A}\sim\mathsf{B}\), si existeixen matrius invertibles \(\mathsf{P}\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{Q}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) tals que \[ \mathsf{PAQ}=\mathsf{B}. \]

Nota

Nota. Ser equivalents és una relació d’equivalència en el conjunt de les matrius de tamany \(m,n\) sobre un cos \(\mathbb{K}\). (Reflexiva) Tota matriu \(\mathsf{A}\) és equivalent amb ella mateixa, només cal prendre les matrius identitats corresponents per a obtindre que \(\mathsf{I}_{m}\mathsf{A}\mathsf{I}_{n}=\mathsf{A}\). (Simètrica) Si es té una igualtat del tipus \(\mathsf{PAQ}=\mathsf{B}\) on \(\mathsf{P}\) i \(\mathsf{Q}\) són matrius invertibles, aleshores \(\mathsf{A}=\mathsf{P}^{-1}\mathsf{B}\mathsf{Q}^{-1}\). (Transitiva) Si es tenen igualtats \(\mathsf{PAQ}=\mathsf{B}\) i \(\mathsf{RBS}=\mathsf{C}\), on \(\mathsf{P}\), \(\mathsf{Q}\), \(\mathsf{R}\) i \(\mathsf{S}\) són matrius invertibles, aleshores \((\mathsf{RP})\mathsf{A}(\mathsf{QS})=\mathsf{C}\) on \(\mathsf{RP}\) i \(\mathsf{QS}\) són matrius invertibles.

Corol·lari 4.1 Siguen \(V_{1}\) i \(V_{2}\) dos \(\mathbb{K}\)-espais vectorials finitament generats amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n\) i \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m\). Siga \(f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}\) una aplicació lineal i siguen

  • \(\mathcal{B}_{1},\overline{\mathcal{B}}_{1}\) dues bases de \(V_{1}\);
  • \(\mathcal{B}_{2},\overline{\mathcal{B}}_{2}\) dues bases de \(V_{2}\).

Considerem

  • \(\mathsf{A}\) la matriu associada a \(f\) de \(\mathcal{B}_{1}\) a \(\mathcal{B}_{2}\);
  • \(\overline{\mathsf{A}}\) la matriu associada a \(f\) de \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\).

Aleshores \(\mathsf{A}\) i \(\overline{\mathsf{A}}\) són matrius equivalents.

Per a poder entendre millor la noció d’equivalència entre matrius necessitarem introduir les matrius elementals.

4.1 Matrius elementals

Comprovarem ara com l’aplicació de transformacions elementals sobre matrius considerades al primer capítol pot ser vista com el resultat de multiplicar certes matrius anomenades elementals sobre la matriu donada.

Definició 4.2 (Matrius elementals) Definim les següents matrius en \(\mathrm{M}_{k}(\mathbb{K})\) per a un natural \(k\in\mathbb{N}\) qualsevol. Aquestes matrius s’anomenaran matrius elementals.

  1. Per a índexs \(1\leq i,j\leq k\), \(\mathsf{E}^{(k)}_{ij}\) denota la matriu que resulta d’intercanviar la fila \(i\) per la fila \(j\) en la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\) de tamany \(k\), és a dir \[ \mathsf{E}^{(k)}_{ij}= \begin{bmatrix} 1 & & & & & & \\ &\ddots & & & & & \\ & &0 &\dots &1 & & \\ & &\vdots &\ddots &\vdots & & \\ & &1 &\dots &0 & & \\ & & & & &\ddots & \\ & & & & & &1 \\ \end{bmatrix} \]
  2. Per a un índex \(1\leq i\leq k\) i un escalar no nul \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\), \(\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda i}\) denota la matriu que resulta de multiplicar la fila \(i\) per \(\lambda\) en la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\) de tamany \(k\), és a dir \[ \mathsf{E}^{(k)}_{\lambda i}= \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ &\ddots & & & \\ & &\lambda & & \\ & & &\ddots & \\ & & & &1 \\ \end{bmatrix} \]
  3. Per a índexs \(1\leq i,j\leq k\) i un escalar \(\lambda\in\mathbb{K}\), \(\mathsf{E}^{(k)}_{i+\lambda j}\) denota la matriu que resulta de sumar a la fila \(i\) la fila \(j\) multiplicada per \(\lambda\) en la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\) de tamany \(k\), és a dir \[ \mathsf{E}^{(k)}_{i+\lambda j}= \begin{bmatrix} 1 & & & & \\ &\ddots & &\lambda & \\ & &1 & & \\ & & &\ddots & \\ & & & &1 \\ \end{bmatrix} \]

Parlarem de matrius elementals de tipus i., ii. i iii., respectivament. Quan el tamany quede clar, evitarem el superíndex en l’escriptura de les matrius elementals.

Nota

Nota. Notem que les matrius elementals també poden definir-se mitjançant operacions columna.

Proposició 4.1 Les matrius elementals són invertibles. La inversa d’una matriu elemental és una matriu elemental del mateix tipus.

Demostració. Considerem un natural \(k\in\mathbb{N}\). Només cal notar les següents identitats.

  1. Per a índexs \(1\leq i,j\leq k\), la matriu inversa de \(\mathsf{E}^{(k)}_{ij}\) és ella mateixa, és a dir, la matriu que resulta de, a la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\) de tamany \(k\), intercanviar la fila \(i\) per la fila \(j\). Notem que en multiplicar dues vegades la matriu \(\mathsf{E}^{(k)}_{ij}\) aquest canvi de files es desfà. \[ \left(\mathsf{E}^{(k)}_{ij}\right)^{-1}=\mathsf{E}^{(k)}_{ij}. \]
  2. Per a un índex \(1\leq i\leq k\) i un escalar no nul \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\), la matriu inversa de \(\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda i}\) és la matriu \(\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda^{-1}i}\), és a dir, la matriu que resulta de, a la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\) de tamany \(k\), multiplicar la fila \(i\) per \(\lambda^{-1}\). Notem que en multiplicar aquestes dues matrius, una multiplica per \(\lambda\) la fila \(i\) i l’altra per \(\lambda^{-1}\), tornant a l’\(1\) inicial. \[ \left(\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda i}\right)^{-1}=\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda^{-1}i}. \]
  3. Per a índexs \(1\leq i,j\leq k\) i un escalar \(\lambda\in\mathbb{K}\), la matriu inversa de \(\mathsf{E}^{(k)}_{i+\lambda j}\) és la matriu \(\mathsf{E}^{(k)}_{i-\lambda j}\), és a dir, la matriu que resulta de, a la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\) de tamany \(k\), restar a la fila \(i\) la fila \(j\) multiplicada per \(\lambda\). Notem que en multiplicar aquestes dues matrius, una suma a la fila \(i\) la fila \(j\) multiplicada per \(\lambda\) i l’altra resta aquesta mateixa fila multiplicada per \(\lambda\), tot tornant a la fila inicial. \[ \left(\mathsf{E}^{(k)}_{i+\lambda j}\right)^{-1}=\mathsf{E}^{(k)}_{i-\lambda j}. \]

Només cal comprovar que les respectives multiplicacions donen la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\).

Proposició 4.2 Per a nombres naturals \(m,n\in\mathbb{N}\), siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\). Siguen \(\mathsf{E}^{(m)}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}\) matrius elementals de qualsevol dels tres tipus. Aleshores

  • \(\mathsf{E}^{(m)}\mathsf{A}\) és la matriu que resulta de, a la matriu \(\mathsf{A}\), fer-li la mateixa operació per files que defineix la matriu elemental \(\mathsf{E}^{(m)}\);
  • \(\mathsf{A}\mathsf{E}^{(n)}\) és la matriu que resulta de, a la matriu \(\mathsf{A}\), fer-li la mateixa operació per columnes que defineix la matriu elemental \(\mathsf{E}^{(n)}\).

Recopilem a continuació tot el que coneixem sobre matrius invertibles.

Proposició 4.3 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Les següents afirmacions són equivalents.

  1. \(\mathsf{A}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\), és a dir, \(\mathsf{A}\) és invertible;
  2. Tot sistema d’equacions \(\mathcal{S}\) que en forma matricial s’expressa com a \(\mathsf{AX}=\mathsf{B}\) és compatible determinat;
  3. Tot sistema d’equacions homogeni \(\mathcal{S}\) que en forma matricial s’expressa com a \(\mathsf{AX}=\mathsf{0}\) és compatible determinat;
  4. \(\mathrm{rang}(\mathsf{A})=n\), és a dir, \(\mathsf{A}\) té rang màxim;
  5. La forma esglaonada reduïda per files de la matriu \(\mathsf{A}\) és igual a \(\mathsf{I}_{n}\), és a dir, la matriu identitat de tamany \(n\);
  6. \(\mathsf{A}\) pot expressar-se com a producte finit de matrius elementals.

Demostració. Considerem les diferents implicacions.

  • (i)\(\rightarrow\)(ii) Com \(\mathsf{A}\) és invertible, podem considerar la seua inversa \(\mathsf{A}^{-1}\). Aleshores el sistema \(\mathsf{AX}=\mathsf{B}\) pot resoldre’s multiplicant per \(\mathsf{A}^{-1}\) a ambdues bandes per obtindre que \(\mathsf{X}=\mathsf{A}^{-1}\mathsf{B}\). Aquesta solució és única.
  • (ii)\(\rightarrow\)(iii) Cas particular quan \(\mathsf{B}=\mathsf{0}\).
  • (iii)\(\rightarrow\)(iv) Com el sistema \(\mathsf{AX}=\mathsf{0}\) és compatible determinat, pel teorema de Rouché-Frobenius tenim que \(\mathrm{rang}(\mathsf{A})=n\), és a dir, el rang d’\(\mathsf{A}\) coincideix amb el nombre d’incògnites i, per tant, com \(\mathsf{A}\) és quadrada, aquest rang és màxim.
  • (iv)\(\rightarrow\)(v) L’única matriu esglaonada reduïda per files de tamany \(n\) que té rang \(n\) és la matriu \(\mathsf{I}_{n}\), és a dir, la matriu identitat de tamany \(n\). Per tant, la forma esglaonada reduïda per files d’\(\mathsf{A}\) és igual a \(\mathsf{I}_{n}\).
  • (v)\(\rightarrow\)(vi) Per a passar d’\(\mathsf{A}\) a la seua forma esglaonada reduïda per files hem d’aplicar, pel mètode de Gauss-Jordan, una seqüència finita d’operacions elementals sobre \(\mathsf{A}\). Aquestes aplicacions queden codificades, segons la Proposició 4.2, com a productes a esquerra d’\(\mathsf{A}\) per matrius elementals. Com la forma esglaonada reduïda d’\(\mathsf{A}\) és \(\mathsf{I}_{n}\), es té l’existència d’una família finita de matrius elementals \(\mathsf{E}^{(n)}_{1},\cdots, \mathsf{E}^{(n)}_{l}\) per a les quals \[ \mathsf{E}^{(n)}_{l}\cdots\mathsf{E}^{(n)}_{1}\mathsf{A}=\mathsf{I}_{n}. \] Notem que, per la Proposició 4.1, les matrius elementals són invertibles i, per tant, podem passar-les a l’altra banda en l’expressió de dalt fins a obtindre que \[ \mathsf{A}=\left(\mathsf{E}^{(n)}_{1}\right)^{-1}\cdots\left(\mathsf{E}^{(n)}_{l}\right)^{-1}. \] Com les inverses de les matrius elementals tornen a ser matrius elementals, trobem que \(\mathsf{A}\) s’expressa com a producte finit de matrius elementals.
  • (vi)\(\rightarrow\)(i) Com \(\mathsf{A}\) pot expressar-se com a producte finit de matrius elementals i les matrius elementals són invertibles per la Proposició 4.1, es té que \(\mathsf{A}\) és invertible.

Queda així provada la proposició.

Les matrius elementals poden vore’s com a matrius canvi de base.

Proposició 4.4 Siga \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espai vectorial amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n\). Siga \(\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}\) una base de \(V\) i siga \(\mathsf{E}^{(n)}\) una matriu elemental, aleshores existeix una base \(\overline{\mathcal{B}}\) de \(V\) per a la qual \(\mathsf{E}^{(n)}\) és la matriu canvi de base de \(\overline{\mathcal{B}}\) a \(\mathcal{B}\). D’igual forma existeix una base \(\overline{\overline{\mathcal{B}}}\) de \(V\) per a la qual \(\mathsf{E}^{(n)}\) és la matriu canvi de base de \(\mathcal{B}\) a \(\overline{\overline{\mathcal{B}}}\).

Demostració. Considerem els diferents tipus d’operacions elementals.

  1. Per a índexs \(1\leq i,j\leq n\), es considera la base \(\mathcal{B}_{ij}=\{e_{1},\cdots, e_{j},\cdots, e_{i},\cdots, e_{n}\}\) que resulta d’intercanviar en \(\mathcal{B}\) el vector \(e_{i}\) pel vector \(e_{j}\). Es pot comprovar fàcilment que \(\mathcal{B}_{ij}\) és base de \(V\). A més, la matriu canvi de base de \(\mathcal{B}_{ij}\) a \(\mathcal{B}\) és precisament \(\mathsf{E}^{(n)}_{ij}\).
  2. Per a un índex \(1\leq i\leq n\) i un escalar no nul \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\), es considera la base \(\mathcal{B}_{\lambda i}=\{e_{1},\cdots, \lambda e_{i}, \cdots, e_{n}\}\) que resulta de substituir en \(\mathcal{B}\) el vector \(e_{i}\) pel vector \(\lambda e_{i}\). Es pot comprovar fàcilment que \(\mathcal{B}_{\lambda i}\) és base de \(V\). A més, la matriu canvi de base de \(\mathcal{B}_{\lambda i}\) a \(\mathcal{B}\) és precisament \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\).
  3. Per a índexs \(1\leq i,j\leq n\) i un escalar \(\lambda\in\mathbb{K}\), es considera la base \(\mathcal{B}_{i+\lambda j}=\{e_{1},\cdots, e_{i}+\lambda e_{j}, \cdots, e_{n}\}\) que resulta de substituir en \(\mathcal{B}\) el vector \(e_{i}\) pel vector \(e_{i}+\lambda e_{j}\). Es pot comprovar fàcilment que \(\mathcal{B}_{i +\lambda j}\) és base de \(V\). A més, la matriu canvi de base de \(\mathcal{B}_{i+\lambda j}\) a \(\mathcal{B}\) és precisament \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\).

La segona part de la proposició es pot comprovar fàcilment ja que, donada una matriu canvi de base de \(\overline{\mathcal{B}}\) a \(\mathcal{B}\), aleshores la matriu inversa és la matriu canvi de base de \(\mathcal{B}\) a \(\overline{\mathcal{B}}\). A més, per la Proposició 4.1, les inverses de matrius elementals tornen a ser matrius elementals.

Corol·lari 4.2 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Les següents afirmacions són equivalents.

  1. \(\mathsf{A}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\), és a dir, \(\mathsf{A}\) és invertible;
  2. Siga \(V\) un \(\mathbb{K}\)-espai vectorial amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n\) i siga \(\mathcal{B}\) una base de \(V\). Aleshores existeix una base \(\overline{\mathcal{B}}\) de \(V\) per a la qual \(\mathsf{A}\) és la matriu canvi de base de \(\overline{\mathcal{B}}\) a \(\mathcal{B}\). D’igual forma existeix una base \(\overline{\overline{\mathcal{B}}}\) de \(V\) per a la qual \(\mathsf{A}\) és la matriu canvi de base de \(\mathcal{B}\) a \(\overline{\overline{\mathcal{B}}}\).

Demostració. Considerem les diferents implicacions.

Queda així demostrat el corol·lari.

L’anterior corol·lari ens ajuda a comprendre el recíproc del Corol·lari 4.1. Així, donades dues matrius equivalents, aquestes representen el mateix homomorfisme en dues bases diferents.

Corol·lari 4.3 Siguen \(\mathsf{A}\) i \(\overline{\mathsf{A}}\) dues matrius en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) equivalents. Siguen \(V_{1}\) i \(V_{2}\) dos \(\mathbb{K}\)-espais vectorials amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n\) i \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m\). Aleshores existeix una aplicació lineal \[f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2},\] i existeixen

  • \(\mathcal{B}_{1},\overline{\mathcal{B}}_{1}\) dues bases de \(V_{1}\);
  • \(\mathcal{B}_{2},\overline{\mathcal{B}}_{2}\) dues bases de \(V_{2}\);

per a les quals

  • \(\mathsf{A}\) és la matriu associada a \(f\) de \(\mathcal{B}_{1}\) a \(\mathcal{B}_{2}\);
  • \(\overline{\mathsf{A}}\) és la matriu associada a \(f\) de \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\).

Demostració. Com \(\mathsf{A}\) i \(\overline{\mathsf{A}}\) són equivalents, existeixen matrius invertibles \(\mathsf{P}\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{Q}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) per a les quals es té que \[ \mathsf{PAQ}=\overline{\mathsf{A}}. \] Siga \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) una base de \(V_{1}\) i siga \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\) una base de \(V_{2}\). Considerem \(f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}\) l’aplicació que té a \(\overline{\mathsf{A}}\) com a matriu associada de la base \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\). Com \(\mathsf{Q}\) i \(\mathsf{P}\) són matrius invertibles, pel Corol·lari 4.2, existeixen bases \(\mathcal{B}_{1}\) i \(\mathcal{B}_{2}\) de \(V_{1}\) i \(V_{2}\), respectivament, per a les quals

  • \(\mathsf{Q}\) és la matriu canvi de base de \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a \(\mathcal{B}_{1}\);
  • \(\mathsf{P}\) és la matriu canvi de base de \(\mathcal{B}_{2}\) a \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\).

Siga \(g\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}\) l’aplicació que té a \(\mathsf{A}\) com a matriu associada de la base \(\mathcal{B}_{1}\) a la base \(\mathcal{B}_{2}\). Aleshores, com que se satisfà l’equació \(\mathsf{PAQ}=\overline{\mathsf{A}}\), es té que \[ \mathrm{id}_{V_{2}}\circ g\circ\mathrm{id}_{V_{1}}=f, \] ja que en les bases marcades, \(\mathsf{P}\) i \(\mathsf{Q}\) són matrius associades a l’aplicació identitat corresponent. Així \(f=g\), és a dir, \(\mathsf{A}\) i \(\overline{\mathsf{A}}\) representen la mateixa aplicació lineal en bases diferents.

4.2 Equivalència i rang

A continuació presentarem algunes proposicions que relacionen l’equivalència de matrius amb els respectius rangs. La primera part d’aquesta secció es dedicarà a construir un representant canònic de la classe d’equivalència per a cada matriu.

Proposició 4.5 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) amb \(\mathrm{rang}(\mathsf{A})=r\). Aleshores existeixen matrius invertibles \(\mathsf{P}\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{Q}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) per a les quals \[ \mathsf{PAQ}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \] on \(\mathsf{I}_{r}\) és la matriu identitat de tamany \(r\). En particular, \(\mathsf{A}\) és equivalent a la matriu de la dreta en l’expressió anterior.

Demostració. Considerem totes les operacions elementals fila que ens permeten dur, seguint l’algorisme de Gauss-Jordan, la matriu \(\mathsf{A}\) a la seua forma esglaonada reduïda per files. Aquesta matriu té \(r\) pivots. Siga \(\mathsf{P}\) la matriu que resulta de considerar totes aquestes operacions elementals fila com a matrius elementals i multiplicar-les en l’ordre pertinent. Per a aquesta matriu \(\mathsf{P}\) es té que \(\mathsf{PA}\) és la forma esglaonada reduïda per files d’\(\mathsf{A}\).

Una vegada en aquest punt, considerarem operacions elementals columna. En un primer pas, eliminem totes les entrades a la dreta dels pivots mitjançant operacions elementals columna de tipus iii. En un segon pas, movem les columnes amb pivots a les primeres posicions, tot respectant l’ordre, amb operacions elementals de tipus i. Siga \(\mathsf{Q}\) la matriu que resulta de considerar totes aquestes operacions elementals columna com a matrius elementals i multiplicar-les en l’ordre pertinent. Per a aquesta matriu \(\mathsf{Q}\) es té que \[ \mathsf{PAQ}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \] Queda així provada la proposició.

Corol·lari 4.4 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\). Aleshores la matriu \(\mathsf{A}\) i la matriu \[ \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right], \] on \(r=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\), són matrius equivalents.

Anem a reflexionar sobre l’anterior proposició en el següent exemple on, a més, enllacem amb el que hem vist sobre matrius invertibles i matrius canvi de base.

Exemple 4.1 Es consideren els \(\mathbb{R}\)-espais vectorials \(\mathbb{R}^{3}\) i \(\mathbb{R}^{2}\) i l’aplicació lineal \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{R}^{3}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{2}\\ &(x,y,z)&\longmapsto&(x+z,x+y) \end{array} \]

Es consideren les bases canòniques d’\(\mathbb{R}^{3}\) i \(\mathbb{R}^{2}\), respectivament. \[ \begin{array}{lll} \mathcal{B}^{(3)}_{\mathrm{c}}&=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}& \mbox{base canònica d'}\mathbb{R}^{3};\\ \mathcal{B}^{(2)}_{\mathrm{c}}&=\{(1,0),(0,1)\}& \mbox{base canònica d'}\mathbb{R}^{2}.\\ \end{array} \] Així, per a la matriu \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{23}(\mathbb{R})\), matriu coordenada d’\(f\) de \(\mathcal{B}^{(3)}_{\mathrm{c}}\) a \(\mathcal{B}^{(2)}_{\mathrm{c}}\), es té que \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix}. \]

Seguint la demostració de la Proposició 4.5, anem a trobar les matrius invertibles \(\mathsf{P}\in\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{R})\) i \(\mathsf{Q}\in\mathrm{GL}_{3}(\mathbb{R})\) de forma que \[ \mathsf{PAQ}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \]

Recordem que \(\mathsf{P}\) apareix enllaçada a les operacions elementals fila necessàries per a transformar la matriu \(\mathsf{A}\) en la seua forma esglaonada reduïda per files. En aquest cas concret, \[ \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 1&1&0 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;f_{2}=f_{2}-f_{1}\;} \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-1 \end{bmatrix} \]

Així, per a la matriu invertible \(\mathsf{P}=\mathsf{E}^{(2)}_{2-1}\) es té que \[ \mathsf{P}\mathsf{A}= \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-1 \end{bmatrix}. \]

En particular \(\mathsf{A}\) i la seua forma esglaonada reduïda per files són matrius equivalents. Pel Corol·lari 4.3 es té que \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{PA}\) són matrius coordenades d’\(f\) en bases diferents. Aquesta base, a més, es pot recuperar per la demostració de la Proposició 4.4. En aquest cas, si considerem la següent base d’\(\mathbb{R}^{2}\), \[ \overline{\mathcal{B}}^{(2)}=\{(1,1),(0,1)\} \] i anomenem \(\mathsf{B}\) a la matriu coordenada d’\(f\) de \(\mathcal{B}^{(3)}_{\mathrm{c}}\) a \(\overline{\mathcal{B}}^{(2)}\), es comprova fàcilment que \[ \mathsf{B}=\mathsf{PA}. \]

Continuem des de \(\mathsf{B}\) amb les operacions elementals columna fins obtindre la matriu desitjada \[ \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;c_{3}=c_{3}-c_{1}\;} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&-1 \end{bmatrix} \xrightarrow{\;c_{3}=c_{3}+c_{2}\;} \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix}. \]

Notem que per a la matriu invertible \(\mathsf{Q}=\mathsf{E}^{(3)}_{3-1}\mathsf{E}^{(3)}_{3+2}\), on aquestes matrius elementals estan definides per les corresponents operacions columna, es té que \[ \mathsf{PAQ}= \mathsf{BQ}= \begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0 \end{bmatrix} = \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{2} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right]. \]

En particular \(\mathsf{A}\) i la matriu que hem trobat a la Proposició 4.5 són matrius equivalents. Pel Corol·lari 4.3 es té que \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{PAQ}\) són matrius coordenades d’\(f\) en bases diferents. Aquesta base, a més, es pot recuperar per la demostració de la Proposició 4.4. En aquest cas, si considerem la següent base d’\(\mathbb{R}^{3}\), \[ \overline{\mathcal{B}}^{(3)}=\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,1,1)\} \] i anomenem \(\mathsf{C}\) a la matriu coordenada d’\(f\) de \(\overline{\mathcal{B}}^{(3)}\) a \(\overline{\mathcal{B}}^{(2)}\), es comprova fàcilment que \[ \mathsf{C}=\mathsf{PAQ}. \]

Cal tindre present que la matriu original \(\mathsf{A}\) i la matriu \[ \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right], \] on \(r=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\), són matrius equivalents. Així, si \(\mathsf{A}\) és una matriu coordenada d’una aplicació lineal \(f\), l’altra matriu també. Ara bé, aquesta darrera matriu és una matriu molt més senzilla i d’açò ens podrem aprofitar de seguida.

El següent teorema arreplega un resultat molt interessant i es basa en el fet que una matriu \(\mathsf{A}\) i la matriu diagonal corresponent, associada al rang d’\(\mathsf{A}\), obtinguda en la Proposició 4.5, són matrius equivalents.

Teorema 4.1 Siguen \(V_{1}\) i \(V_{2}\) dos \(\mathbb{K}\)-espais vectorials amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n\) i \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m\). Siguen \(\mathcal{B}_{1}\) i \(\mathcal{B}_{2}\) bases de \(V_{1}\) i \(V_{2}\), respectivament. Siga \(f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}\) una aplicació lineal i siga \(\mathsf{A}\) la matriu coordenada d’\(f\) de \(\mathcal{B}_{1}\) a \(\mathcal{B}_{2}\).

Aleshores

  1. \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Im}(f))+\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Ker}(f))\);
  2. \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Im}(f))=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\).

Demostració. Anomenem \(r=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\). Pel Corol·lari 4.4 la matriu \(\mathsf{A}\) i la matriu diagonal associada al seu rang són matrius equivalents. Pel Corol·lari 4.3, podem trobar bases \[ \begin{array}{lll} \overline{\mathcal{B}}_{1}&=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}& \mbox{base de }V_{1};\\ \overline{\mathcal{B}}_{2}&=\{d_{1},\cdots, d_{m}\}& \mbox{base de }V_{2},\\ \end{array} \] per a les quals \[ \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \] és la matriu coordenada d’\(f\) de \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\).

Així, es donen les següents igualtats \[ \mathrm{Im}(f) = f[V_{1}] = f[\langle e_{1},\cdots, e_{n}\rangle] = \langle f(e_{1}),\cdots, f(e_{n})\rangle = \langle d_{1},\cdots, d_{r},0,\cdots, 0\rangle = \langle d_{1},\cdots, d_{r}\rangle. \] En la primera igualtat recuperem la definició del subespai imatge; en la segona igualtat ens aprofitem que \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) és sistema generador de \(V_{1}\); la tercera igualtat és conseqüència de la proposició sobre la imatge del subespai generat; la quarta igualtat ve d’observar que la matriu coordenada d’\(f\) de \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\) és la matriu diagonal associada al rang d’\(\mathsf{A}\), així, per columnes, aquesta matriu guarda la informació relativa a les coordenades dels vectors \(f(e_{1}),\cdots, f(e_{n})\) en la base \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\); l’última igualtat ve d’eliminar els vectors \(0\) en un subespai generat, ja que són vectors redundants.

Notem que el conjunt \(\{d_{1},\cdots, d_{r}\}\) és linealment independent, en ser subconjunt d’una base, i que genera tot \(\mathrm{Im}(f)\). Així, \(\{d_{1},\cdots, d_{r}\}\) és base de \(\mathrm{Im}(f)\). Per tant, \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Im}(f))=r=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\).

Per altra banda, notem les següents igualtats \[ \begin{aligned} \mathrm{Ker}(f) &= \{v\in V_{1}\mid f(v)=0\} \\&= \left\lbrace \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\in V_{1} \;\middle\vert\; \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \begin{bmatrix} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \right\rbrace \\&= \left\lbrace \sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\in V_{1} \;\middle\vert\; \alpha_{1}=\cdots=\alpha_{r}=0 \right\rbrace \\&= \left\lbrace \sum\limits_{i=r+1}^{n}\alpha_{i}e_{i}\in V_{1} \;\middle\vert\; \alpha_{r+1},\cdots,\alpha_{n}\in\mathbb{K} \right\rbrace \\&= \langle e_{r+1},\cdots, e_{n} \rangle. \end{aligned} \] En la primera igualtat recuperem la definició del subespai nucli d’\(f\); en la segona igualtat ens aprofitem de que \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) és base de \(V_{1}\) i que la matriu coordenada d’\(f\) de la base \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a la base \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\) és, precisament, la matriu diagonal associada al rang d’\(\mathsf{A}\); la tercera igualtat ve de multiplicar les anteriors matrius i igualar components; la quarta igualtat és conseqüència de que les \(r\) primeres coordenades són zero; la cinquena igualtat recupera la definició d’espai vectorial generat pels vectors \(e_{r+1},\cdots, e_{n}\).

Notem que el conjunt \(\{e_{r+1},\cdots, e_{n}\}\) és linealment independent, en ser subconjunt d’una base, i que genera tot \(\mathrm{Ker}(f)\). Així, \(\{e_{r+1},\cdots, e_{n}\}\) és base de \(\mathrm{Ker}(f)\). Per tant, \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Ker}(f))=n-r\).

Per tant, \[ \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n = r+(n-r) = \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Im}(f)) + \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Ker}(f)). \]

L’anterior teorema ens permet caracteritzar definitivament quan dues matrius són equivalents.

Proposició 4.6 Siguen \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) matrius en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\). Les següents afirmacions són equivalents

  1. \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) són equivalents;
  2. \(\mathrm{rang}(\mathsf{A})=\mathrm{rang}(\mathsf{B})\).

Demostració. Si \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) són matrius equivalents, aleshores pel Corol·lari 4.3, podem considerar \(V_{1}\) i \(V_{2}\) dos \(\mathbb{K}\)-espais vectorials amb \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n\) i \(\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m\) per als quals existeix una aplicació lineal \(f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}\) i existeixen

  • \(\mathcal{B}_{1},\overline{\mathcal{B}}_{1}\) dues bases de \(V_{1}\);
  • \(\mathcal{B}_{2},\overline{\mathcal{B}}_{2}\) dues bases de \(V_{2}\);

per a les quals

  • \(\mathsf{A}\) és la matriu associada a \(f\) de \(\mathcal{B}_{1}\) a \(\mathcal{B}_{2}\);
  • \(\mathsf{B}\) és la matriu associada a \(f\) de \(\overline{\mathcal{B}}_{1}\) a \(\overline{\mathcal{B}}_{2}\).

Com a conseqüència del Teorema 4.1, obtenim que \[ \mathrm{rang}(\mathsf{A})=\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Im}(f))= \mathrm{rang}(\mathsf{B}). \]

Suposem ara que \(\mathrm{rang}(\mathsf{A})=\mathrm{rang}(\mathsf{B})=r\). Aleshores, per la Proposició 4.5 podem trobar matrius invertibles \(\mathsf{P},\mathsf{R}\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{Q},\mathsf{S}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) per a les quals \[ \mathsf{PAQ}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right]; \qquad\qquad \mathsf{RBS}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right]. \] Així, de l’equació \(\mathsf{PAQ}=\mathsf{RBS}\), deduïm que \[ (\mathsf{R}^{-1}\mathsf{P})\mathsf{A}(\mathsf{QS}^{-1})=\mathsf{B}. \] Notem que \(\mathsf{R}^{-1}\mathsf{P}\) i \(\mathsf{QS}^{-1}\) són matrius invertibles. Així \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{B}\) són matrius equivalents.

Corol·lari 4.5 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\). Aleshores

  1. \(\mathrm{rang}(\mathsf{RA})=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\) per a tota \(\mathsf{R}\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})\);
  2. \(\mathrm{rang}(\mathsf{AS})=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\) per a tota \(\mathsf{S}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\).

Demostració. Notem que les matrius \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{RA}\) i \(\mathsf{AS}\) són matrius equivalents. El resultat es dedueix directament de la Proposició 4.6.

4.3 Rang i transposició

A continuació presentarem algunes proposicions que relacionen el rang d’una matriu amb el de la seua transposada.

Proposició 4.7 Les transposades de matrius elementals són matrius elementals del mateix tipus.

Demostració. Considerem un natural \(k\in\mathbb{N}\). Només cal notar les següents identitats.

  1. Per a índexs \(1\leq i,j\leq k\), la matriu transposada de \(\mathsf{E}^{(k)}_{ij}\) és ella mateixa. \[ \left(\mathsf{E}^{(k)}_{ij}\right)^{\mathsf{t}}=\mathsf{E}^{(k)}_{ij}. \]
  2. Per a un índex \(1\leq i\leq k\) i un escalar no nul \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\), la matriu transposada de \(\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda i}\) és ella mateixa. \[ \left(\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda i}\right)^{\mathsf{t}}=\mathsf{E}^{(k)}_{\lambda i}. \]
  3. Per a índexs \(1\leq i,j\leq k\) i un escalar \(\lambda\in\mathbb{K}\), la matriu transposada de \(\mathsf{E}^{(k)}_{i+\lambda j}\) és la matriu \(\mathsf{E}^{(k)}_{j+\lambda i}\), és a dir, la matriu que resulta de, a la matriu identitat \(\mathsf{I}_{k}\) de tamany \(k\), sumar a la fila \(j\) la fila \(i\) multiplicada per \(\lambda\). \[ \left(\mathsf{E}^{(k)}_{i+\lambda j}\right)^{\mathsf{t}}=\mathsf{E}^{(k)}_{j+\lambda i}. \]

Corol·lari 4.6 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Les següents afirmacions són equivalents.

  1. \(\mathsf{A}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\), és a dir, \(\mathsf{A}\) és invertible;
  2. \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\), és a dir, \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\) és invertible.

Demostració. Considerem les diferents implicacions.

  • (i)\(\rightarrow\)(ii) Si \(\mathsf{A}\) és invertible, aleshores per la Proposició 4.3 es té que \(\mathsf{A}\) pot expressar-se com a producte finit de matrius elementals. \[ \mathsf{A}=\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l}. \] Per tant, \[ \mathsf{A}^{\mathsf{t}}=\mathsf{E}_{l}^{\mathsf{t}}\cdots\mathsf{E}^{\mathsf{t}}_{1}. \] Cadascuna d’aquestes matrius transposades de matrius elementals és una matriu elemental d’acord a la Proposició 4.7. El corresponent producte, és a dir \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\), és, per la Proposició 4.3, una matriu invertible.
  • (ii)\(\rightarrow\)(i) Anàloga a l’anterior cas, tenint en compte que \((\mathsf{A}^{\mathsf{t}})^{\mathsf{t}}=\mathsf{A}\).

Queda així demostrat el corol·lari.

A continuació provem que el rang d’una matriu coincideix amb el de la seua transposada.

Proposició 4.8 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\), aleshores \(\mathrm{rang}(\mathsf{A})=\mathrm{rang}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}})\).

Demostració. Per a la demostració, considerem les matrius invertibles \(\mathsf{P}\in\mathrm{GL}_{m}(\mathbb{K})\) i \(\mathsf{Q}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) que, d’acord a la Proposició 4.5, satisfan l’equació \[ \mathsf{PAQ}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \qquad (\in\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})) \] on \(\mathsf{I}_{r}\) és la matriu identitat de tamany \(r=\mathrm{rang}(\mathsf{A})\). De l’anterior equació, prenent les respectives transposades s’obté que \[ \mathsf{Q}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\mathsf{P}^{\mathsf{t}}= (\mathsf{PAQ})^{\mathsf{t}}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right]^{\mathsf{t}}= \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \qquad (\in\mathrm{M}_{nm}(\mathbb{K})) \]

Notem, a més, que les matrius \(\mathsf{P}^{\mathsf{t}}\) i \(\mathsf{Q}^{\mathsf{t}}\) són matrius invertibles pel Corol·lari 4.6. Aleshores, emprant el Corol·lari 4.5, obtenim que \[ \mathrm{rang}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}})= \mathrm{rang}(\mathsf{Q}^{\mathsf{t}}\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\mathsf{P}^{\mathsf{t}})= \mathrm{rang}\left( \left[ \begin{array}{c|c} \mathsf{I}_{r} & \mathsf{0} \\ \hline \mathsf{0} & \mathsf{0} \\ \end{array} \right] \right) =r=\mathrm{rang}(\mathsf{A}). \]

Queda així provada la proposició.

A continuació estudiem l’aplicació transposició. És fàcil comprovar que la transposició de matrius és un isomorfisme.

Proposició 4.9 L’aplicació transposició \(({\cdot})^{\mathsf{t}}\), que a cada matriu li fa correspondre la seua transposada, és a dir, \[ \begin{array}{rccl} ({\cdot})^{\mathsf{t}}\colon&\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})&\longrightarrow&\mathrm{M}_{nm}(\mathbb{K})\\ &\mathsf{A}&\longmapsto&\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \end{array} \] és un isomorfisme de \(\mathbb{K}\)-espais vectorials.

Demostració. Es comprova fàcilment que \(({\cdot})^{\mathsf{t}}\) és una aplicació lineal. Si \(\mathsf{A},\mathsf{B}\) són dues matrius en \(\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) i \(\lambda,\mu\) escalars en \(\mathbb{K}\), aleshores \[ \left(\lambda\mathsf{A}+\mu\mathsf{B} \right)^{\mathsf{t}} = \lambda\mathsf{A}^{\mathsf{t}}+\mu\mathsf{B}^{\mathsf{t}}. \]

A més, per a comprovar que és bijectiva, només cal adonar-se que transposar una matriu transposada ens retorna la matriu original. Sense pèrdua de generalitat anomenem de la mateixa manera l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} ({\cdot})^{\mathsf{t}}\colon&\mathrm{M}_{nm}(\mathbb{K})&\longrightarrow&\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\\ &\mathsf{A}&\longmapsto&\mathsf{A}^{\mathsf{t}} \end{array} \]

Es comprova fàcilment que \(({\cdot})^{\mathsf{t}}\circ({\cdot})^{\mathsf{t}}=\mathrm{id}_{\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})}\), és a dir, \(({\cdot})^{\mathsf{t}}\) és invertible.

Acabem aquest capítol recuperant la caracterització d’invertibilitat de matrius presentada al capítol 2, aquesta vegada per files, gràcies a l’operació transposada.

Corol·lari 4.7 Siga \(n\) un natural en \(\mathbb{N}\). Siga \(\mathsf{P}\) una matriu quadrada en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\), aleshores les següents afirmacions són equivalents

  1. \(\mathsf{P}\) és una matriu invertible en \(\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\);
  2. Els vectors fila de \(\mathsf{P}\) formen una base de \(\mathbb{K}^{n}\).

Demostració. Pel Corol·lari 4.6, \(\mathsf{P}\) és invertible si, i només si, \(\mathsf{P}^{\mathsf{t}}\) és invertible. Emprant la caracterització d’invertibilitat de matrius, \(\mathsf{P}^{\mathsf{t}}\) és invertible si, i només si, els vectors columna de \(\mathsf{P}^{\mathsf{t}}\), transposats, formen una base de \(\mathbb{K}^{n}\). Ens adonem que els vectors columna de \(\mathsf{P}^{\mathsf{t}}\) transposats són els vectors fila de \(\mathsf{P}\).

Torna a dalt