Espai afí

En aquest capítol introduïm la noció d’espai afí i presentem les seues propietats fonamentals.

Definició 9.1 (Espai afí) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial. Un espai afí associat a l’espai vectorial $V$ és una terna $(A,V,+)$ on

$A$ és un conjunt no buit d’elements que anomenarem punts;
$+$ és una operació del tipus \[ \begin{array}{rccl} +\colon&A\times V &\longrightarrow &A\\ &(P,v)&\longmapsto &P+v \end{array} \] satisfent les següents condicions

Per a tot parell de punts $P,Q\in A$ existeix un únic vector $v\in V$ tal que \[P+v=Q.\] Aquest vector s’anomenarà el vector que va de $P$ a $Q$ i el denotarem per $\overrightarrow{PQ}$.
Per a tot punt $P\in A$ i tot parell de vectors $v,w\in V$ es té que \[ (P+v)+w=P+(v+w). \]

Anomenarem dimensió de l’espai afí $(A,V,+)$ a la dimensió de l’espai vectorial subjacent $V$.

Exemple 9.1 Donat un cos $\mathbb{K}$ i $n\in\mathbb{N}$, podem considerar $A=\mathbb{K}^{n}$, $V=\mathbb{K}^{n}$ i $+$ la suma habitual en $\mathbb{K}^{n}$, és a dir, \[ \begin{array}{rccl} +\colon&\mathbb{K}^{n}\times\mathbb{K}^{n} &\longrightarrow &\mathbb{K}^{n} \\ &(P,v)&\longmapsto &P+v \end{array} \]

Aleshores $(\mathbb{K}^{n},\mathbb{K}^{n},+)$ forma un espai afí, que anomenarem espai afí estàndard sobre $\mathbb{K}$ de dimensió $n$.

Proposició 9.1 Siga $(A,V,+)$ un espai afí. Aleshores, per a qualssevol $P,Q,R,S\in A$ es té que

$\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$ (relació de Chasles);
$\overrightarrow{PQ}=0$ si, i només si, $P=Q$;
$\overrightarrow{QP}=-\overrightarrow{PQ}$;
Si $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}$, aleshores $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{QS}$ (regla del paral·lelogram).

Demostració. Per al primer ítem notem que \[ P+(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR})= (P+\overrightarrow{PQ})+\overrightarrow{QR}= Q+\overrightarrow{QR}= R. \] Com que $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}$ és un vector tal que, en sumar-lo a $P$, ens permet arribar a $R$ aleshores, per la unicitat d’aquest tipus de vector en un espai afí, concloem que $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$.

Per al segon ítem, siguen $P,Q$ punts qualssevol en $A$, aleshores per la relació de Chasles \[ \overrightarrow{PP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PQ}. \] Per tant, concloem que $\overrightarrow{PP}=0$.

Així, si $P=Q$, trobem que $\overrightarrow{PQ}=0$. Per altra banda, si $\overrightarrow{PQ}=0$, aleshores trobem que \[ P=P+\overrightarrow{PP}= P+0=P+\overrightarrow{PQ}=Q. \]

Per al tercer ítem, siguen $P,Q$ punts qualssevol en $A$, aleshores per la relació de Chasles \[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PP}=0. \] Per tant, $\overrightarrow{QP}=-\overrightarrow{PQ}$.

Finalment, siguen $P,Q,R,S$ punts en $A$. Així, per la relació de Chasles trobem que \[ \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QS}=\overrightarrow{PS} =\overrightarrow{PR}+\overrightarrow{RS}. \] Aleshores trobem que, si $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{RS}$, necessàriament $\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{QS}$.

Proposició 9.2 Si $(A,V,+)$ és un espai afí i $P$ és un punt en $A$, aleshores l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \varphi_{P}\colon&A&\longrightarrow &V \\ &Q&\longmapsto &\overrightarrow{PQ} \end{array} \] és a dir, l’aplicació que a cada punt $Q$ de l’espai li associa el vector que va de $P$ a $Q$, és una aplicació bijectiva. En particular, $A$ i $V$ tenen el mateix cardinal.

Demostració. Siguen $Q,R$ punts en $A$ de forma que $\varphi_{P}(Q)=\varphi_{P}(R)$, és a dir, tals que $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PR}$, aleshores trobem que \[ Q=P+\overrightarrow{PQ}=P+\overrightarrow{PR}=R. \] Així, $\varphi_{P}$ és injectiva.

Per contra, siga $v$ un vector qualsevol en $V$, aleshores per al punt $Q=P+v$ trobem que $\overrightarrow{PQ}=v$. Per tant, \[ \varphi_{P}(Q)=v. \] Així, $\varphi_{P}$ és sobrejectiva.

9.1 Sistemes de referència afí

A continuació introduïm els sistemes de referència afí i deduïm les equacions del canvi de sistema de referència afí.

Definició 9.2 (Sistema de referència afí) Si $(A,V,+)$ és un espai afí de dimensió finita, aleshores un sistema de referència afí és un parell ordenat de la forma \[\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})\] on $O$ és un punt en $A$ que anomenarem origen i $\mathcal{B}$ és una base de $V$. Si $P$ és un punt en $A$, anomenarem coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ a les coordenades del vector $\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$.

Proposició 9.3 Siga $(A,V,+)$ un espai afí de dimensió finita, $\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})$ un sistema de referència afí i siguen $P,Q$ punts en $A$. Anomenem

$\mathsf{X}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\mathsf{Y}$ les coordenades de $Q$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OQ}$ en $\mathcal{B}$).

Aleshores $\mathsf{Y}-\mathsf{X}$ són les coordenades del vector $\overrightarrow{PQ}$ en la base $\mathcal{B}$.

Demostració. Notem que, per la relació de Chasles, \[ \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}=-\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}. \] Per tant, com les coordenades del vector $\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$ són $\mathsf{X}$ i les coordenades del vector $\overrightarrow{OQ}$ són $\mathsf{Y}$, concloem que les coordenades del vector $\overrightarrow{PQ}$ en $\mathcal{B}$ vénen donades per $\mathsf{Y}-\mathsf{X}$.

Anem a descriure què ocorre amb les coordenades d’un mateix punt en dos sistemes de referència afí diferents. Siga $(A,V,+)$ un espai afí de dimensió finita per al qual considerem dos sistemes de referència afí diferents \[ \mathcal{R}=(O,\mathcal{B}), \qquad\qquad \overline{\mathcal{R}}=(\overline{O}, \overline{\mathcal{B}}). \] Siga $P$ un punt en $A$. Anomenem

$\mathsf{X}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\overline{\mathsf{X}}$ les coordenades de $P$ en $\overline{\mathcal{R}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{\overline{O}P}$ en $\overline{\mathcal{B}}$).

Així, per la relació de Chasles, \[ \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O\overline{O}}+\overrightarrow{\overline{O}P}. \]

Per tant, si anomenem

$\mathsf{B}$ les coordenades d’$\overline{O}$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{O\overline{O}}$ en $\mathcal{B}$);
$\mathsf{A}$ la matriu canvi de base d’$\overline{\mathcal{B}}$ a $\mathcal{B}$,

trobem que \[ \mathsf{X}=\mathsf{B}+\mathsf{A}\overline{\mathsf{X}}. \]

Aquesta expressió rep el nom d’equació del canvi de sistema de referència afí d’$\overline{\mathcal{R}}$ a $\mathcal{R}$.

Si suposem que la dimensió de l’espai és $n$ i desenvolupem l’equació del canvi de sistema de referència afí que acabem de deduir, trobem la següent equació entre matrius \[ \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \overline{x}_{1} \\ \vdots \\ \overline{x}_{n} \end{bmatrix}. \]

Aquesta darrera equació matricial admet una expressió compacta de la següent forma \[ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c|ccc} 1&0&\cdots&0 \\ \hline \beta_{1}&\alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ \beta_{n}&\alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline \overline{x}_{1} \\ \vdots \\ \overline{x}_{n} \end{array} \right]. \]

Definició 9.3 (Matriu de canvi de sistema de referència) Siga $(A,V,+)$ un espai afí de dimensió $n$ i siguen dos sistemes de referència afí \[ \mathcal{R}=(O, \mathcal{B}), \qquad\qquad \overline{\mathcal{R}}=(\overline{O}, \overline{\mathcal{B}}). \] Definim la matriu de canvi de sistema de referència afí d’$\overline{\mathcal{R}}$ a $\mathcal{R}$ com la matriu $\mathsf{P}\in\mathrm{M}_{n+1}(\mathbb{K})$ donada per \[ \mathsf{P} = \left[ \begin{array}{c|c} 1&\begin{matrix}0&\cdots&0\end{matrix} \\ \hline \mathsf{B}&\mathsf{A} \end{array} \right] \qquad\mbox{on}\quad \left\lbrace \begin{array}{ll} \mathsf{B}\in\mathrm{M}_{n1}(\mathbb{K})&\quad\mbox{coordenades d'}\overline{O}\mbox{ en }\mathcal{R},\\ \mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})&\quad\mbox{matriu canvi de base d'}\overline{\mathcal{B}}\mbox{ a }\mathcal{B}. \end{array} \right. \]

Nota

Nota. Les matrius de canvi de sistema de referència afí són invertibles. De fet, el seu determinant coincideix amb el determinant de la matriu canvi de base associada.

Proposició 9.4 Siga $(A,V,+)$ un espai afí de dimensió finita per al qual considerem dos sistemes de referència afí diferents \[ \mathcal{R}=(O,\mathcal{B}), \qquad\qquad \overline{\mathcal{R}}=(\overline{O},\overline{\mathcal{B}}). \] Siga $P$ un punt en $A$. Anomenem

$\mathsf{X}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\overline{\mathsf{X}}$ les coordenades de $P$ en $\overline{\mathcal{R}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{\overline{O}P}$ en $\overline{\mathcal{B}}$);
$\mathsf{P}$ la matriu canvi de sistema de referència afí d’$\overline{\mathcal{R}}$ a $\mathcal{R}$.

Aleshores, $\mathsf{P}$ és l’única matriu en $\mathrm{M}_{n+1}(\mathbb{K})$ que satisfà \[ \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline \mathsf{X} \end{array} \right] = \mathsf{P} \left[ \begin{array}{c} 1 \\ \hline \overline{\mathsf{X}} \end{array} \right]. \]

Exemple 9.2 Es considera l’$\mathbb{R}$-espai afí estàndard $(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{2},+)$ i els sistemes de referència afí donats per \[ \begin{aligned} \mathcal{R}&=(O,\mathcal{B})=((0,1),\{(1,1),(0,1)\});\\ \overline{\mathcal{R}}&=(\overline{O},\overline{\mathcal{B}}) =((-1,0),\{(1,2),(-1,1)\}). \end{aligned} \]

Siga $P=(1,3)$ un punt en $\mathbb{R}^{2}$. Anomenem

$\mathsf{X}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\overline{\mathsf{X}}$ les coordenades de $P$ en $\overline{\mathcal{R}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{\overline{O}P}$ en $\overline{\mathcal{B}}$).

Notem que \[ \overrightarrow{OP}=(1,2)=1(1,1)+1(0,1); \qquad\qquad \overrightarrow{\overline{O}P}=(2,3)=\frac{5}{3}(1,2)-\frac{1}{3}(-1,1). \]

Així, obtenim que \[ \mathsf{X}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad\qquad \overline{\mathsf{X}}=\begin{bmatrix} \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{bmatrix}. \]

Anomenem

$\mathsf{B}$ les coordenades d’$\overline{O}$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{O\overline{O}}$ en $\mathcal{B}$);
$\mathsf{A}$ la matriu canvi de base d’$\overline{\mathcal{B}}$ a $\mathcal{B}$.

Notem que $\overrightarrow{O\overline{O}}=(-1,-1)=-1(1,1)+0(0,1)$ i que \[ (1,2)=1(1,1)+1(0,1); \qquad\qquad (-1,1)=-1(1,1)+2(0,1). \]

Així, obtenim que \[ \mathsf{B}=\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad\qquad \mathsf{A}=\begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&2 \end{bmatrix}. \]

Per tant, obtenim l’expressió de canvi de sistema de referència $\mathsf{X}=\mathsf{B}+\mathsf{A}\overline{\mathsf{X}}$ \[ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&-1 \\ 1&2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{bmatrix}. \]

Finalment, si anomenem $\mathsf{P}$ la matriu canvi de sistema de referència d’$\overline{\mathcal{R}}$ a $\mathcal{R}$, trobem que \[ \mathsf{P}= \left[ \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline -1&1&-1\\ 0&1&2 \end{array} \right]. \]

Així, recuperem l’expressió de canvi de sistema de referència d’$\overline{\mathcal{R}}$ a $\mathcal{R}$ donada per \[ \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline 1\\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline -1&1&-1\\ 0&1&2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline \frac{5}{3}\\ -\frac{1}{3} \end{array} \right]. \]

9.2 Varietats afins

En aquesta secció presentem les varietats afins i obtenim les seues propietats bàsiques, així com les presentacions paramètrica i cartesiana d’una varietat afí respecte d’un sistema de referència afí.

Definició 9.4 (Varietat afí) Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $W$ un subespai vectorial de $V$ i $P$ un punt en $A$. Definim la varietat afí que passa per $P$ i té a $W$ com a espai director al conjunt de punts \[W_{P}=P+W=\{P+w\in A\mid w\in W\}.\]

Exemple 9.3 Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $W$ un subespai vectorial de $V$ i $P$ un punt en $A$.

Si $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=0$, és a dir, si $W=\{0\}$, tenim que \[W_{P}=\{P+w\in A\mid w\in \{0\}\}=\{P\}.\] Així, $\{P\}$ és una varietat afí.

Si $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=1$, és a dir, si $W=\langle w\rangle$, tenim que \[W_{P}=\{P+\lambda w\in A\mid \lambda\in \mathbb{K}\}.\] A la varietat afí $W_{P}$ l’anomenarem recta que passa per $P$ i té a $w$ com a vector director.

Si $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=2$, és a dir, si $W=\langle u,w\rangle$, tenim que \[W_{P}=\{P+\lambda w+\mu u\in A\mid \lambda,\mu\in \mathbb{K}\}.\] A la varietat afí $W_{P}$ l’anomenarem pla que passa per $P$ i té a $W$ com a espai director.

Si $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=n-1$, a la varietat afí $W_{P}$ l’anomenarem hiperplà que passa per $P$ i té a $W$ com a espai director.

Proposició 9.5 Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $W$ un subespai vectorial de $V$ i $P$ un punt en $A$. Aleshores $(W_{P},W,+)$, on \[ \begin{array}{rccl} +\colon&W_{P}\times W&\longrightarrow&W_{P}\\ &(Q,w)&\longmapsto&Q+w \end{array}, \] és un espai afí.

Demostració. En aquest cas $W_{P}$ és el conjunt de punts, $W$ l’espai vectorial subjacent i la suma ve donada per la suma en $(A,V,+)$ restringida a $W_{P}\times W$. Només cal comprovar que se satisfan les dues condicions que defineixen un espai afí.

Siguen $Q,R$ dos punts en $W_{P}$, aleshores existeixen dos vectors $u,w\in W$ de forma que $Q=P+u$ i $R=P+w$. Per la relació de Chasles, trobem que \[ \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR}=-u+w\in W. \]

Per altra banda, si $Q$ és un punt en $W_{P}$ i $u,w\in W$, aleshores, com a conseqüència de que $(A,V,+)$ és un espai afí, trobem que \[ Q+(u+w)=(Q+u)+w. \]

Per tant, concloem que $(W_{P},W,+)$ és un espai afí.

Proposició 9.6 Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $W$ un subespai vectorial de $V$ i $P,Q$ dos punts en $A$. Aleshores, les següents condicions són equivalents

$Q\in W_{P}$;
$W_{P}=W_{Q}$.

Demostració. Suposem que $Q\in W_{P}$, aleshores existeix un vector $w\in W$ tal que $Q=P+w$. Aleshores $P=Q-w$. Anem a demostrar que $W_{P}=W_{Q}$.

Si $R$ és un punt en $W_{P}$, aleshores existeix un vector $u\in W$ de forma que $R=P+u$. Així, $R=P+u=(Q-w)+u=Q+(-w+u)\in W_{Q}$ i obtenim que $W_{P}\subseteq W_{Q}$. Per altra banda, si $R$ és un punt en $W_{Q}$, aleshores existeix un vector $u\in W$ de forma que $R=Q+u$. Així, $R=Q+u=(P+w)+u=P+(w+u)\in W_{P}$ i obtenim que $W_{Q}\subseteq W_{P}$. Per tant $W_{P}=W_{Q}$.

Per contra, si $W_{P}=W_{Q}$, aleshores, com que $Q\in W_{Q}$, concloem que $Q\in W_{P}$.

Proposició 9.7 Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $U,W$ dos subespais vectorials de $V$ i $P$ un punt en $A$. Aleshores són equivalents

$U\leq W$;
$U_{P}\subseteq W_{P}$.

Demostració. Suposem que $U\leq W$. Si $Q\in U_{P}$, aleshores existeix un $u\in U$ tal que $Q=P+u$. Com que $U\leq W$, trobem que $Q\in W_{P}$. Així, $U_{P}\subseteq W_{P}$.

Per altra banda, suposem que $U_{P}\subseteq W_{P}$. Aleshores, si $u$ és un vector en $U$, tenim que $P+u\in U_{P}$. Com que $U_{P}\subseteq W_{P}$, existeix un vector $w\in W$ de forma que $P+u=P+w$. En particular, $\overrightarrow{PP}=w-u$. Per la Proposició 9.1, trobem que $0=w-u$, és a dir, $u=w\in W$. Així, $U\leq W$.

Proposició 9.8 Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $W$ un subespai vectorial de $V$ i $P$ un punt en $A$. Aleshores \[W=\{\overrightarrow{QR}\in V\mid Q,R\in W_{P}\}.\]

Demostració. Siga $w\in W$, aleshores $P$ i $P+w$ són dos punts en $W_{P}$. Per tant \[ w=\overrightarrow{P(P+w)}\in \{\overrightarrow{QR}\in V\mid Q,R\in W_{P}\}. \]

Per altra banda, siguen $Q,R$ dos punts en $W_{P}$, aleshores existeixen dos vectors $u,w\in W$ de forma que $Q=P+u$ i $R=P+w$. Així, \[ \overrightarrow{QR}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR}= -u+w\in W. \] Concloem que $W=\{\overrightarrow{QR}\in V\mid Q,R\in W_{P}\}$.

9.2.1 Presentacions d’una varietat afí

Siga $(A,V,+)$ un espai afí amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, $W$ un subespai vectorial de $V$ amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=r$ i $P$ un punt en $A$. Siga $\mathcal{B}_{W}=\{w_{1},\cdots, w_{r}\}$ una base de $W$. Considerem la varietat afí \[ W_{P}=\{P+w\in A\mid w\in W\}=\{P+\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}\in A\mid \lambda_{1},\cdots,\lambda_{r}\in\mathbb{K}\}. \]

Per tant, $Q\in A$ estarà en $W_{P}$ si existeixen escalars $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{r}\in \mathbb{K}$ de forma que \[ Q=P+\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}. \tag{Equació vectorial d'un punt $Q\in W_{P}$} \]

Siga $\mathcal{R}=(O, \mathcal{B})$ un sistema de referència afí on $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$. Considerem

$\begin{bmatrix} p_{1}& \cdots& p_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\begin{bmatrix} q_{1}& \cdots& q_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $Q$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OQ}$ en $\mathcal{B}$).

Per la relació de Chasles, \[ \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OQ}. \]

Aleshores, trobem que $\begin{bmatrix} q_{1}-p_{1}& \cdots& q_{n}-p_{n} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades d’$\overrightarrow{PQ}$ en $\mathcal{B}$.

Per altra banda, com que $P,Q$ són dos punts en $W_{P}$, per la Proposició 9.8, trobem que $\overrightarrow{PQ}\in W$ i, per tant, podrà recuperar-se com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{W}$. Així \[ \overrightarrow{PQ}=\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r}. \]

Però com $\mathcal{B}$ és base de $V$, cada vector $w_{i}$, amb $1\leq i\leq r$, podrà escriure’s com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}$. Així, per a cada $1\leq i\leq r$, podem trobar una expressió del tipus \[ w_{i}=\alpha_{1i}e_{1}+\cdots +\alpha_{ni}e_{n}=\sum_{j=1}^{n}\alpha_{ji}e_{j}. \]

Per tant, \[ \overrightarrow{PQ}=\lambda_{1}w_{1}+\cdots+\lambda_{r}w_{r} = \lambda_{1}\left(\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j1}e_{j}\right) +\cdots+ \lambda_{r}\left(\sum_{j=1}^{n}\alpha_{jr}e_{j}\right). \]

Com que les coordenades d’un vector en una base són úniques per la proposició corresponent, trobem que \[ \begin{bmatrix} q_{1}-p_{1} \\ \vdots \\ q_{n}-p_{n} \end{bmatrix} = \lambda_{1} \begin{bmatrix} \alpha_{11} \\ \vdots \\ \alpha_{n1} \end{bmatrix} +\cdots+ \lambda_{r} \begin{bmatrix} \alpha_{1r} \\ \vdots \\ \alpha_{nr} \end{bmatrix} \tag{E} \] o, equivalentment, \[ \begin{bmatrix} q_{1}\\ \vdots\\ q_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_{1}\\ \vdots\\ p_{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1r} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nr} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} \\ \vdots \\ \lambda_{r} \end{bmatrix} \tag{Equació paramètrica d'un punt $Q\in W_{P}$} \]

Per eliminació de paràmetres podem aconseguir l’equació cartesiana dels punts que estan en $W_{P}$. Per una banda, sabem que la matriu \[ \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1r} \\ \vdots&\ddots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nr} \end{bmatrix} \] té rang $r$ per la independència lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{W}$. Per altra banda, tenim l’equació en (E). Aleshores, la matriu \[ \left[ \begin{array}{ccc|c} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1r}&q_{1}-p_{1} \\ \vdots&\ddots&\vdots&\vdots \\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nr}&q_{n}-p_{n}\\ \end{array} \right] \] també té rang $r$. Així, si esglaonem, trobarem que les últimes $n-r$ files han de ser nul·les. Aquestes $n-r$ equacions s’anomenaran equacions cartesianes de $W_{P}$.

Exemple 9.4 Considerem l’espai afí estàndard $(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{3},+)$. Per al subespai vectorial $W\leq \mathbb{R}^{3}$ i el punt $P\in \mathbb{R}^{3}$ donats per \[ P=(1,1,0), \qquad\qquad W=\langle (1,0,1),(2,1,0)\rangle, \] treballarem les diferents presentacions de la varietat afí $W_{P}$. Notem que \[ W_{P}=\{P+w\in \mathbb{R}^{3}\mid w\in W\} = \{(1,1,0)+\lambda (1,0,1)+\mu (2,1,0)\in\mathbb{R}^{3}\mid \lambda,\mu\in\mathbb{R}\}. \]

Així, un punt $Q\in \mathbb{R}^{3}$ estarà en $W_{P}$ si, i només si, existeixen escalars $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ de forma que \[ Q=(1,1,0)+\lambda (1,0,1)+\mu (2,1,0) \tag{Equació vectorial d'un punt $Q\in W_{P}$} \]

Considerem el sistema de referència afí canònic $\mathcal{R}_{\mathrm{c}}=(0_{\mathbb{R}^{3}},\mathcal{B}_{\mathrm{c}})$. Si anomenem $\begin{bmatrix} x&y&z \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $Q$ en $\mathcal{R}_{\mathrm{c}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{0_{\mathbb{R}^{3}}Q}$ en $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$), trobem que

$\begin{bmatrix} 1&1&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}_{\mathrm{c}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{0_{\mathbb{R}^{3}}P}$ en $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$);
$\begin{bmatrix} x-1&y-1&z \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades d’$\overrightarrow{PQ}$ en $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$.

Per altra banda, per la Proposició 9.8, tenim que $\overrightarrow{PQ}\in W$. Així, hauran d’existir escalars $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$ de forma que \[\overrightarrow{PQ}=\lambda (1,0,1)+\mu(2,1,0).\]

A més, $\begin{bmatrix} 1&0&1 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $(1,0,1)$ en $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ i $\begin{bmatrix} 2&1&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $(2,1,0)$ en $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$.

Com que les coordenades d’un vector en una base són úniques per la proposició corresponent, trobem que \[ \begin{bmatrix} x-1\\ y-1\\ z \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} + \mu \begin{bmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}. \tag{E} \] Equivalentment, \[ \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda\\ \mu \end{bmatrix}. \tag{Equació paramètrica d'un punt $Q\in W_{P}$} \] De l’equació en (E) i del fet que $\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(W)=2$, concloem que \[ \mathrm{rang}\left( \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 1&0&z \end{array} \right] \right) = \mathrm{rang}\left( \begin{bmatrix} 1&2\\ 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix} \right) =2. \]

Així, si fem Gauss-Jordan, les últimes $3-2$ files de la matriu ampliada hauran de ser zero. Així \[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 1&0&z \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}-f_{1}} \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 0&-2&-x+z+1 \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}+2f_{2}} \left[ \begin{array}{cc|c} 1&2&x-1\\ 0&1&y-1\\ 0&0&-x+2y+z-1 \end{array} \right]. \]

Per tant, \[ \begin{aligned} W_{P}&= \left\lbrace Q\in\mathbb{R}^{3} \, \middle| \, \begin{gathered} Q\mbox{ té coordenades }\begin{bmatrix} x& y& z \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} \mbox{ en }\mathcal{R}_{\mathrm{c}} \mbox{ i} \\ -x+2y+z-1=0 \end{gathered} \right\rbrace \\&=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid -x+2y+z-1=0\}. \end{aligned} \tag{Equació cartesiana d'un punt $Q\in W_{P}$} \]

Exemple 9.5 Reprenem l’Exemple 9.4. Anem a deduir les equacions paramètrica i cartesiana d’un punt $Q\in W_{P}$ en un altre sistema de referència. En aquest cas considerarem $\overline{\mathcal{R}}$ donat per \[ \overline{\mathcal{R}} =(\overline{O},\overline{\mathcal{B}}) =((3,1,0),\{(1,1,0),(-1,1,0),(0,0,1)\}). \]

Anomenem $\begin{bmatrix} \overline{x}&\overline{y}&\overline{z} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades de $Q$ en $\overline{\mathcal{R}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{\overline{O}Q}$ en $\overline{\mathcal{B}}$).

Com que \[ \overrightarrow{\overline{O}P}=(1,1,0)-(3,1,0)=(-2,0,0)=-1(1,1,0)+1(-1,1,0), \] trobem que

$\begin{bmatrix} -1&1&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $P$ en $\overline{\mathcal{R}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{\overline{O}P}$ en $\overline{\mathcal{B}}$);
$\begin{bmatrix} \overline{x}+1&\overline{y}-1&\overline{z} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades d’$\overrightarrow{PQ}$ en $\overline{\mathcal{B}}$.

A més, $\begin{bmatrix} \frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $(1,0,1)$ en $\overline{\mathcal{B}}$ i $\begin{bmatrix} \frac{3}{2}&-\frac{1}{2}&0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $(2,1,0)$ en $\overline{\mathcal{B}}$.

Com que les coordenades d’un vector en una base són úniques per la proposició corresponent, trobem que \[ \begin{bmatrix} \overline{x}+1\\ \overline{y}-1\\ \overline{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1 \end{bmatrix} + \mu \begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0 \end{bmatrix}. \tag{$\overline{\mathrm{E}}$} \] Equivalentment, \[ \begin{bmatrix} \overline{x}\\ \overline{y}\\ \overline{z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda\\ \mu \end{bmatrix}. \tag{Equació paramètrica d'un punt $Q\in W_{P}$} \] De l’equació en ($\overline{\mathrm{E}}$) i del fet que $\mathrm{dim}_{\mathbb{R}}(W)=2$, concloem que \[ \mathrm{rang}\left( \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\overline{y}-1\\ 1&0&\overline{z} \end{array} \right] \right) = \mathrm{rang}\left( \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\ 1&0 \end{bmatrix} \right) =2. \]

Així, si fem Gauss-Jordan, les últimes $3-2$ files de la matriu ampliada hauran de ser zero. Així \[ \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\overline{y}-1\\ 1&0&\overline{z} \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}-2f_{1}} \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ -\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\overline{y}-1\\ 0&-3&-2\overline{x}+\overline{z}-2 \end{array} \right] \] \[ \xrightarrow{f_{2}=f_{2}+f_{1}} \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ 0&1&\overline{x}+\overline{y}\\ 0&-3&-2\overline{x}+\overline{z}-2 \end{array} \right] \xrightarrow{f_{3}=f_{3}+3f_{2}} \left[ \begin{array}{cc|c} \frac{1}{2}&\frac{3}{2}&\overline{x}+1\\ 0&1&\overline{x}+\overline{y}\\ 0&0&\overline{x}+3\overline{y}+\overline{z}-2 \end{array} \right]. \]

Per tant, \[ W_{P}= \left\lbrace Q\in\mathbb{R}^{3} \, \middle| \, \begin{gathered} Q\mbox{ té coordenades }\begin{bmatrix} \overline{x}& \overline{y}& \overline{z} \end{bmatrix}^{\mathsf{t}} \mbox{ en }\overline{\mathcal{R}} \mbox{ i} \\ \overline{x}+3\overline{y}+\overline{z}-2=0 \end{gathered} \right\rbrace. \tag{Equació cartesiana d'un punt $Q\in W_{P}$} \]

9.2.2 La menor varietat que conté un conjunt de punts

Definició 9.5 Siga $(A,V,+)$ un espai afí i siga $\mathcal{P}\subseteq A$ un conjunt de punts en $A$. Denotem per $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ a la menor varietat afí que conté a $\mathcal{P}$.

Proposició 9.9 Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}$ un conjunt finit de punts en $A$. Aleshores \[ \mathcal{A}(\mathcal{P})=P_{1}+\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle. \]

Demostració. Anomenem $\mathcal{L}=P_{1}+\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle$. Comprovem que $\mathcal{A}(\mathcal{P})=\mathcal{L}$.

Notem que $\mathcal{L}$ és una varietat afí i $P_{1}\in\mathcal{L}$. A més, per a cada $1\leq i\leq t$ trobem que $P_{i}\in\mathcal{L}$, ja que $P_{i}=P_{1}+\overrightarrow{P_{1}P_{i}}$, on $\overrightarrow{P_{1}P_{i}}$ és un vector en l’espai director d’$\mathcal{L}$. Per tant, $\mathcal{P}\subseteq \mathcal{L}$.

Com $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ és la menor varietat afí que conté a $\mathcal{P}$, concloem que $\mathcal{A}(\mathcal{P})\subseteq \mathcal{L}$.

Per a l’altra inclusió. Com que $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ és una varietat afí i conté a $\mathcal{P}$, aleshores $\mathcal{A}(\mathcal{P})$ pot escriure’s com $W_{P_{1}}$ per a algun subespai vectorial $W\leq V$. Per altra banda, com que per a tot $1\leq i\leq t$, $P_{i}\in\mathcal{P}$, concloem, per la Proposició 9.8, que $\overrightarrow{P_{1}P_{i}}$ és un vector en $W$, per a tot $1\leq i\leq t$. Per tant, $\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle\leq W$. Així doncs, per la Proposició 9.7, trobem que $\mathcal{L}\subseteq \mathcal{A}(\mathcal{P})$.

Concloem que $\mathcal{A}(\mathcal{P})=P_{1}+\langle \overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle$.

Proposició 9.10 Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}$ un conjunt finit de punts en $A$. El conjunt de vectors $\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}$ és linealment independent si, i només si, per a cada $1\leq i\leq t$, el conjunt de vectors \[\{ \overrightarrow{P_{i}P_{1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{i-1}}, \overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{t}} \}\] és linealment independent. A més, per a cada $1\leq i\leq t$, es té que \[ \langle\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle = \langle \overrightarrow{P_{i}P_{1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{i-1}}, \overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{t}} \rangle. \]

Demostració. Comencem amb la independència lineal. De dreta a esquerra ens trobem amb un cas particular. Per a l’altra implicació, suposem que $\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}$ és un conjunt de vectors linealment independent. Fixem un índex $1\leq i\leq t$ i considerem una combinació lineal del tipus \[ \lambda_{1}\overrightarrow{P_{i}P_{1}}+ \cdots +\lambda_{i-1}\overrightarrow{P_{i}P_{i-1}} +\lambda_{i+1}\overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}+ \cdots +\lambda_{t}\overrightarrow{P_{i}P_{t}} =0. \tag{$\star$} \] Volem comprovar que tots els escalars que apareixen en l’anterior equació han de ser, necessàriament, igual a $0$. Ara bé, per a tot $1\leq k\leq t$ amb $k\neq i$, trobem, per la relació de Chasles, que \[ \overrightarrow{P_{i}P_{k}}=\overrightarrow{P_{i}P_{1}}+\overrightarrow{P_{1}P_{k}} =-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{k}}. \tag{$\square$} \]

Si substituïm en $(\star)$ trobem la següent expressió \[ \begin{aligned} 0&= \lambda_{1}\overrightarrow{P_{i}P_{1}}+ \cdots +\lambda_{i-1}\overrightarrow{P_{i}P_{i-1}} +\lambda_{i+1}\overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}+ \cdots +\lambda_{t}\overrightarrow{P_{i}P_{t}} \\&= \lambda_{1}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{1}}\right) + \cdots +\lambda_{i-1}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{i-1}}\right) \\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\lambda_{i+1}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{i+1}}\right) + \cdots + \lambda_{t}\left(-\overrightarrow{P_{1}P_{i}}+\overrightarrow{P_{1}P_{t}}\right) \\&= -\left(\sum_{k=1,\, k\neq i}^{t}\lambda_{k}\right) \overrightarrow{P_{1}P_{i}}+ \lambda_{2}\overrightarrow{P_{1}P_{2}}+ \cdots +\lambda_{i-1}\overrightarrow{P_{1}P_{i-1}} +\lambda_{i+1}\overrightarrow{P_{1}P_{i+1}} +\cdots +\lambda_{t}\overrightarrow{P_{1}P_{t}}. \end{aligned} \] Com que $\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}$ és linealment independent, concloem que \[ -\left(\sum_{k=1,\, k\neq i}^{t}\lambda_{k}\right) = \lambda_{2}=\cdots =\lambda_{i-1}=\lambda_{i+1}=\cdots=\lambda_{t}=0. \] Açò ens permet concloure que $\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{i-1}=\lambda_{i+1}=\cdots=\lambda_{t}=0$, com volíem demostrar.

Finalment, per a cada $1\leq i\leq t$, es té que la igualtat \[ \langle\overrightarrow{P_{1}P_{2}}, \cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\rangle = \langle \overrightarrow{P_{i}P_{1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{i-1}}, \overrightarrow{P_{i}P_{i+1}}, \cdots, \overrightarrow{P_{i}P_{t}} \rangle \] es dóna com a conseqüència de $(\square)$.

Definició 9.6 (Punts afiment independents) Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}$ un conjunt finit de punts en $A$. Direm que $\mathcal{P}$ és afiment independent si el conjunt de vectors $\{\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\cdots, \overrightarrow{P_{1}P_{t}}\}$ és linealment independent.

Corol·lari 9.1 Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $\mathcal{P}=\{P_{1},\cdots, P_{t}\}$ un conjunt finit de punts en $A$ afiment independents. Aleshores existeix una única varietat afí de dimensió $t-1$ que conté tots els punts de $\mathcal{P}$.

9.3 Operacions entre varietats afins

En aquesta secció vorem com es comporten les operacions de suma i intersecció de subespais vectorials quan els considerem com a espais directors en varietats afins.

Nota

Nota. Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $\mathcal{R}$ un sistema de referència afí i siguen $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues varietats afins donades en la seua presentació cartesiana en $\mathcal{R}$. És clar que si $R$ és un punt en $A$ que satisfà les equacions que defineixen $W_{P}$ i les equacions que defineixen $U_{Q}$, podem concloure que $R\in W_{P}\cap U_{Q}$.

Proposició 9.11 Siga $(A,V,+)$ un espai afí, $P,Q,R$ punts en $A$ i $W,U$ subespais vectorials de $V$. Llavors, si $R\in W_{P}\cap U_{Q}$, aleshores \[ W_{P}\cap U_{Q}=(W\cap U)_{R}. \]

Demostració. Siga $T$ un punt en $A$. Aleshores trobem la següent cadena d’equivalències \[ \begin{aligned} T\in W_{P}\cap U_{Q}&\leftrightarrow T\in W_{P}\mbox{ i }T\in U_{Q} &&\text{(definició d'intersecció)} \\&\leftrightarrow T\in W_{R}\mbox{ i }T\in U_{R} &&\text{(1)} \\&\leftrightarrow \overrightarrow{RT}\in W\mbox{ i }\overrightarrow{RT}\in U &&\text{(2)} \\&\leftrightarrow \overrightarrow{RT}\in W\cap U &&\text{(definició d'intersecció)} \\&\leftrightarrow T\in (W\cap U)_{R}, &&\text{(2)} \end{aligned} \] on en (1) hem emprat la Proposició 9.6, tenint en compte que $R\in W_{P}$ i $R\in U_{Q}$, i en (2) hem emprat la Proposició 9.8. Per tant, $W_{P}\cap U_{Q}=(W\cap U)_{R}$.

Nota

Nota. Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $\{(W_{i})_{P_{i}}\}_{i\in I}$ una família de varietats afins en $A$. En general podem afirmar que, si $R\in \bigcap_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}$, aleshores \[ \bigcap_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}=\left(\bigcap_{i\in I}W_{i}\right)_{R}. \]

Nota

Nota. En general, la unió de varietats afins no té per què ser una varietat afí. Siga $(A,V,+)$ un espai afí sobre un $\mathbb{R}$-espai vectorial que té, almenys, dos punts diferents $P$ i $Q$. Per a les varietats afins $\{P\}$ i $\{Q\}$, la seua unió ve donada per $\{P,Q\}$. Aquest conjunt de punts no és una varietat afí.

Definició 9.7 (Suma de varietats afins) Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $\{(W_{i})_{P_{i}}\}_{i\in I}$ una família de varietats afins. Definim la suma de la família $\{(W_{i})_{P_{i}}\}_{i\in I}$ com la menor varietat afí que conté la unió de la família, és a dir, \[ \sum_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}=\mathcal{A}\left(\bigcup_{i\in I}(W_{i})_{P_{i}}\right). \]

Proposició 9.12 Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues varietats afins en $A$, aleshores \[ W_{P}+U_{Q}= \left(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle\right)_{P}. \]

Demostració. Recordem que $W_{P}+U_{Q}=\mathcal{A}(W_{P}\cup U_{Q})$. Anem a demostrar les dues inclusions.

Per una banda, notem que $(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}$ és una varietat afí. A més, per la Proposició 9.7, $W_{P}\subseteq (W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}$, ja que $W\leq W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle$. Per altra banda, $Q=P+\overrightarrow{PQ}\in(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}$. Per la Proposició 9.6 tenim que $(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}=(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{Q}$. Aleshores, per la Proposició 9.7, $U_{Q}\subseteq (W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{Q}$, ja que $U\leq W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle$. Concloem, per tant, que $W_{P}+U_{Q}\subseteq(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}$.

Per a l’altra inclusió, notem que $P\in W_{P}$ i que $Q\in U_{Q}$. Així doncs, per la Proposició 9.6 podem escriure la varietat afí $W_{P}+U_{Q}$ indistintament com $T_{P}$ o com $T_{Q}$, amb $T\leq V$ un subespai vectorial. Per construcció, $W_{P}\subseteq T_{P}$ i, d’igual forma, $U_{Q}\subseteq T_{Q}$. Aleshores, per la Proposició 9.7, $W\leq T$ i $U\leq T$. A més, per la Proposició 9.8, $\overrightarrow{PQ}\in T$. Concloem que $W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle\leq T$. Llavors, per la Proposició 9.7, obtenim que $(W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}\subseteq W_{P}+U_{Q}$.

Així doncs, $W_{P}+U_{Q}= (W+U+\langle \overrightarrow{PQ}\rangle)_{P}$.

Definició 9.8 (Posicions relatives) Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $W_{P}$ i $U_{Q}$ dues varietats afins. Direm que

$W_{P}$ i $U_{Q}$ es tallen si $W_{P}\cap U_{Q}\neq \varnothing$;
$W_{P}$ i $U_{Q}$ són paral·leles si $W\leq U$ o $U\leq W$;
$W_{P}$ i $U_{Q}$ es creuen si no es tallen i no són paral·leles.

Nota

Nota. Dues varietats afins poden ser paral·leles i tallar-se al mateix temps. En aquest cas, una de les varietats afins estarà completament inclosa en l’altra.

Torna a dalt