Espais vectorials

Per a l’inici d’aquest capítol és crucial adonar-se que, en la resolució d’un sistema d’equacions lineal qualsevol, si trobem dues solucions concretes del sistema, aleshores la seua diferència serà solució del sistema d’equacions lineals homogeni associat. És a dir, si fixem una solució del sistema original i coneixem totes les solucions del sistema homogeni corresponent, podem recuperar totes les solucions del sistema original.

Les solucions del sistema homogeni corresponent tenen un comportament més interessant que les solucions del sistema original. Primer de tot, sabem que tot sistema homogeni té solució, només cal adonar-se que l’assignació a cada incògnita de l’element $0$ és solució d’un sistema homogeni. En segon lloc, es comporten bé amb les operacions de suma i producte per un escalar. Si tinc dues solucions d’un sistema homogeni, aleshores la seua suma, i diferència, són solució del sistema homogeni. Si, a més, tinc una solució del sistema homogeni i la multiplique per un escalar, aquesta nova assignació també és solució del sistema homogeni.

En aquest capítol farem abstracció d’aquestes propietats, parlarem d’espais vectorials, i descobrirem les estructures algebraiques que amaguen.

Definició 2.1 (Espai vectorial) Donat un cos $\mathbb{K}$, un $\mathbb{K}$-espai vectorial és una tupla $(V,+,\cdot, 0)$ on

$V$ és un conjunt d’elements els quals anomenarem vectors;
$+$ és una operació binària interna en $V$ que anomenarem suma. Aquesta operació compleix la propietat associativa i commutativa;
$0\in V$, el vector zero, és l’element neutre per a la suma;
Tot element de $V$ és invertible per a la suma;
L’operació $\cdot$, que anomenarem producte per un escalar, és una aplicació del tipus

\[ \begin{array}{rccl} \cdot\colon &\mathbb{K}\times V &\longrightarrow &V\\ &(\lambda,v) &\longmapsto &\lambda v \end{array} \]

que satisfà les següents propietats, per tot $v,w\in V$ i $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$,

$\lambda(v+w)=\lambda v+\lambda w$;
$(\lambda +\mu)v=\lambda v + \mu v$;
$\lambda(\mu v)=(\lambda\mu)v$;
$1v=v$.

Quan se sobreentenguen l’element nul i les operacions suma i producte per un escalar, utilitzarem únicament $V$ per a referir-nos al $\mathbb{K}$-espai vectorial $(V,+,\cdot, 0)$.

A continuació presentem diferents exemples d’espais vectorials.

Exemple 2.1 Siga $\mathcal{S}$ un sistema homogeni d’$m$ equacions amb $n$ incògnites sobre el cos $\mathbb{K}$. Aleshores el conjunt de totes les solucions del sistema $\mathcal{S}$, amb la suma component a component, la solució $0$ i el producte per un escalar, que associa a una solució i un escalar, la solució donada per la multiplicació de l’escalar component a component, és un espai vectorial sobre $\mathbb{K}$.

Exemple 2.2 Donat un cos $\mathbb{K}$ i un natural $n\in\mathbb{N}$, definim $\mathbb{K}^{n}$ com al producte cartesià de $\mathbb{K}$ amb ell mateix $n$ vegades, és a dir \[ \mathbb{K}^{n}= \{(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})\mid \forall i\in\{1,\cdots,n\}\,(\alpha_{i}\in\mathbb{K})\}. \]

El conjunt $\mathbb{K}^{n}$, d’$n$-tuples sobre $\mathbb{K}$, amb

vector $0$ donat per la $n$-tupla nul·la de $\mathbb{K}^{n}$ \[0=(0,\cdots,0);\]
suma donada component a component, és a dir, si $(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}), (\beta_{1},\cdots,\beta_{n})\in\mathbb{K}^{n}$, \[ (\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n}) + (\beta_{1},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1}+\beta_{1},\cdots,\alpha_{n}+\beta_{n}); \]
i producte per un escalar donat component a component, és a dir, si $\lambda\in\mathbb{K}$ i $(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})\in\mathbb{K}^{n}$, \[ \lambda(\alpha_{1},\cdots,\alpha_{n})= (\lambda\alpha_{1},\cdots,\lambda\alpha_{n}); \]

compleix que $(\mathbb{K}^{n},+,\cdot,0)$ és un $\mathbb{K}$-espai vectorial.

Exemple 2.3 Donat un cos $\mathbb{K}$ i un natural $n\in\mathbb{N}$, un polinomi sobre $\mathbb{K}$ de grau $n$ és una expressió formal del tipus \[ p(x)=\alpha_{0}+\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}+\cdots+\alpha_{n}x^{n} \qquad\qquad \mbox{o en forma compacta,} \qquad p(x)=\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i}x^{i}, \] on $x$ és una indeterminada i, per a tot $i\in\{0,\cdots, n\}$, $\alpha_{i}\in\mathbb{K}$. Amb l’expressió $\delta(p(x))$ denotarem el grau de $p(x)$, en aquest cas $n$.

Denotem per

$\mathbb{K}_{n}[{x}]$ al conjunt dels polinomis sobre $\mathbb{K}$ de grau $n$, és a dir \[\mathbb{K}_{n}[x]=\{p(x)\mid \delta(p(x))=n\};\]
$\mathbb{K}_{\leq n}[x]$ al conjunt dels polinomis sobre $\mathbb{K}$ de grau fitat per $n$, és a dir, \[\mathbb{K}_{\leq n}[x]=\{p(x)\mid\delta(p(x))\leq n\};\]
$\mathbb{K}[x]$ al conjunt de tots els polinomis sobre $\mathbb{K}$, és a dir, \[\mathbb{K}[x]=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{K}_{n}[x].\]

El conjunt $\mathbb{K}_{\leq n}[x]$, de polinomis sobre $\mathbb{K}$ de grau fitat per $n$, amb

vector $0$ donat pel polinomi nul de $\mathbb{K}_{\leq n}[x]$ \[p(x)=0;\]
suma donada component a component, és a dir, si $p_{1}(x), p_{2}(x)\in\mathbb{K}_{\leq n}[x]$, \[ p_{1}(x)+p_{2}(x) = \sum_{i=0}^{\mathrm{max}(n_{1},n_{2})}(\alpha_{i}+\beta_{i})x^{i}, \qquad \mbox{on } p_{1}(x)=\sum_{i=0}^{n_{1}}\alpha_{i}x^{i}, \quad p_{2}(x)=\sum_{i=0}^{n_{2}}\beta_{i}x^{i}; \]
i producte per un escalar donat component a component, és a dir, si $\lambda\in\mathbb{K}$ i $p_{1}(x)\in\mathbb{K}_{\leq n}[x]$, \[ \lambda p_{1}(x) = \sum_{i=0}^{n_{1}}(\lambda \alpha_{i})x^{i}, \qquad \mbox{on } p_{1}(x)=\sum_{i=0}^{n_{1}}\alpha_{i}x^{i}; \]

compleix que $(\mathbb{K}_{\leq n}[x],+,\cdot,0)$ és un $\mathbb{K}$-espai vectorial.

A continuació presentem diferents propietats que es dedueixen de la definició d’espai vectorial.

Proposició 2.1 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial, $v$ un vector en $V$, i $\lambda$ un escalar en $\mathbb{K}$, aleshores

$\lambda 0=0$;
$0v=0$;
$(-\lambda)v=\lambda(-v)=-(\lambda v)$.

Demostració. Per a (i) notem que se satisfà la següent seqüència d’identitats \[ \lambda 0 = \lambda (0+0) =\lambda 0+ \lambda 0, \] on la primera igualtat és conseqüència de que $0$ és l’element neutre per a la suma de $V$ i la segona igualtat empra la propietat 1 de la Definició 2.1. D’aquesta igualtat, restant $\lambda 0$ a ambdues parts, arribem a que $0 = \lambda 0$.

Per a (ii) notem que se satisfà la següent seqüència d’identitats \[ 0v=(0+0)v=0v+0v, \] on la primera igualtat és conseqüència de que $0$ és l’element neutre per a la suma en $\mathbb{K}$ i la segona igualtat empra la propietat 2 de la Definició 2.1. D’aquesta igualtat, restant $0v$ a ambdues parts, arribem a que $0=0v$.

Per a (iii) notem que se satisfan les següents seqüències d’identitats \[ \lambda v+(-\lambda)v=(\lambda-\lambda)v=0v=0, \qquad\qquad \lambda v+\lambda(-v)=\lambda (v-v)=\lambda 0 =0, \] on, per a la seqüència de l’esquerra, la primera igualtat és conseqüència de la propietat 2 de la Definició 2.1, la segona igualtat avalua l’operació de suma d’escalars i la tercera igualtat ha estat provada en (ii). Per altra banda, en la seqüència de la dreta, la primera igualtat és conseqüència de la propietat 1 de la Definició 2.1, la segona igualtat avalua l’operació de suma de vectors i la tercera igualtat ha estat provada en (i). De la primera i segona seqüència es dedueix, respectivament, que $(-\lambda)v=-(\lambda v)$ i que $\lambda(-v)=-(\lambda v)$.

2.1 Subespais vectorials

En aquesta secció introduirem els conceptes de subespai vectorial i les operacions d’intersecció i suma. Introduïm també la noció de suma directa de subespais.

Definició 2.2 (Subespai vectorial) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial. Direm que $W\subseteq V$ és un subespai vectorial de $V$ si

$W$ conté el vector nul, és a dir $0\in W$;
$W$ està tancat per a la suma, és a dir, si $w_{1},w_{2}\in W$, es té que $w_{1}+w_{2}\in W$;
$W$ està tancat per al producte per un escalar, és a dir, si $\lambda\in\mathbb{K}$ i $w\in W$, es té que $\lambda w\in W$.

Es dedueix de la definició que $(W,+,0)$ és un subgrup de $(V,+,0)$. De vegades emprarem la notació $W\leq V$ per a dir que $W$ és subespai vectorial de $V$. Denotem per $\mathrm{Sub}_{\mathbb{K}}(V)$ al conjunt de tots els subespais vectorials de $V$.

Donarem a continuació una caracterització alternativa de la noció de subespai vectorial.

Proposició 2.2 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i $W$ un subconjunt de $V$ no buit. Són equivalents

$W$ és subespai vectorial de $V$;
Per a tot parell d’escalars $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$ i vectors $w_{1},w_{2}\in W$ es té que $\lambda w_{1}-\mu w_{2}\in W$.

Demostració. Provarem que (i) implica (ii).

Siguen $\lambda$ i $\mu$ escalars en $\mathbb{K}$ i siguen $w_{1}$ i $w_{2}$ vectors en $W$. Del fet que $W$ està tancat per al producte per un escalar, es dedueix que $\lambda w_{1}$ i $\mu w_{2}$ són vectors de $W$. Per la Proposició 2.1, tenim que $(-\mu)w_{2}=-(\mu w_{2})$. Del fet que $W$ està tancat per a la suma, es dedueix que $\lambda w_{1}-\mu w_{2}\in W$.

Provarem que (ii) implica (i).

Com que $W$ no és buit, podem prendre un vector $w\in W$. Aleshores, per a qualsevol escalar $\lambda\in\mathbb{K}$, podem deduir que $\lambda w-\lambda w=0\in W$. Així, el conjunt $W$ conté el vector nul. Siguen ara $w_{1}$ i $w_{2}\in W$, aleshores per als escalars $1$ i $-1$ de $\mathbb{K}$, podem deduir que $1w_{1}-(-1w_{2})=w_{1}+w_{2}\in W$. Notem que l’anterior igualtat se segueix de la propietat 4 de la Definició 2.1. Així, el conjunt $W$ està tancat per a la suma. Siguen ara $w\in W$ i $\lambda\in\mathbb{K}$, aleshores per a l’escalar $0\in\mathbb{K}$, podem deduir que $\lambda w-0w=\lambda w\in W$. Així, el conjunt $W$ està tancat per al producte per escalars. Per tant, $W$ és un subespai vectorial de $V$.

Presentem un exemple de subespai vectorial.

Exemple 2.4 Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{2}$. Siga $W$ el subconjunt d’$\mathbb{R}^{2}$ donat per \[ W=\{(\eta,2\eta)\in\mathbb{R}^{2}\mid\eta\in\mathbb{R}\}. \]

Anem a vore que $W$ és un subespai vectorial d’$\mathbb{R}^{2}$. Notem que, per a $\eta=0\in\mathbb{R}$, es té que $(0,0)\in W$. Així $W$ conté el vector nul. Siguen ara dos vectors $w_{1}, w_{2}\in W$ i dos escalars $\lambda,\mu\in\mathbb{R}$. Com que $w_{1}$ i $w_{2}\in W$ existeixen escalars $\eta_{1}$ i $\eta_{2}$ en $\mathbb{R}$, respectivament, tals que $w_{1}=(\eta_{1},2\eta_{1})$ i $w_{2}=(\eta_{2},2\eta_{2})$. Tenim la següent seqüència d’igualtats \[ \begin{aligned} \lambda w_{1}-\mu w_{2} &=\lambda (\eta_{1},2\eta_{1}) - \mu (\eta_{2}, 2\eta_{2})\\ &=(\lambda\eta_{1}, \lambda (2\eta_{1})) - (\mu\eta_{2}, \mu (2\eta_{2}))\\ &=((\lambda\eta_{1}-\mu\eta_{2}), 2(\lambda\eta_{1}-\mu\eta_{2})) \end{aligned} \]

En l’anterior seqüència, la primera igualtat substitueix els vectors $w_{1}$ i $w_{2}$ per la forma anteriorment descrita, en la segona igualtat utilitzem la definició de producte per escalar en $\mathbb{R}^{2}$ i en la tercera igualtat utilitzem la definició de suma en $\mathbb{R}^{2}$. Finalment, notem que l’última tupla està en $W$, ja que té la forma $(\eta,2\eta)$ per a l’escalar $\eta=\lambda\eta_{1}-\mu\eta_{2}\in\mathbb{R}$.

Per la Proposició 2.2, concloem que $W$ és un subespai vectorial d’$\mathbb{R}^{2}$.

2.1.1 Intersecció de subespais vectorials

A continuació veurem que, donat un $\mathbb{K}$-espai vectorial $V$ i dos subespais vectorials de $V$, aleshores la seua intersecció també és subespai vectorial.

Proposició 2.3 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siguen $W_{1}$ i $W_{2}$ dos subespais vectorials de $V$, aleshores $W_{1}\cap W_{2}$ també és subespai vectorial de $V$.

Demostració. Notem que $0\in W_{1}$ i $0\in W_{2}$, així la intersecció $W_{1}\cap W_{2}$ conté l’element $0$. En particular, aquesta intersecció no és buida. Comprovarem que $W_{1}\cap W_{2}$ és subespai vectorial de $V$ per la caracterització presentada en la Proposició 2.2.

Siguen $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$ i siguen $w_{1},w_{2}$ vectors en $W_{1}\cap W_{2}$. Volem comprovar que $\lambda w_{1}-\mu w_{2}$ és un vector de $W_{1}\cap W_{2}$. Com que $w_{1}$ pertany a $W_{1}\cap W_{2}$, aleshores $w_{1}$ pertany a $W_{1}$ i a $W_{2}$. D’igual forma $w_{2}$ pertany a $W_{1}$ i a $W_{2}$. Com que $W_{1}$ és subespai vectorial, tenim per la Proposició 2.2 que el vector $\lambda w_{1}-\mu w_{2}$ també pertany a $W_{1}$. Per un raonament similar, arribem a que $\lambda w_{1}-\mu w_{2}$ també pertany a $W_{2}$. Així $\lambda w_{1}-\mu w_{2}\in W_{1}\cap W_{2}$.

2.1.2 Unió de subespais vectorials

En contraposició al que ocorre amb la intersecció, donat un $\mathbb{K}$-espai vectorial $V$ i dos subespais vectorials de $V$, aleshores la seua unió no té per què ser subespai vectorial. Ho vorem clarament en el següent exemple.

Exemple 2.5 Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{2}$ i els subespais vectorials següents \[ W_{1}=\{(\lambda,2\lambda)\in \mathbb{R}^{2}\mid \lambda\in\mathbb{R}\}; \qquad\qquad W_{2}=\{(0,\mu)\in \mathbb{R}^{2}\mid \mu\in\mathbb{R}\}. \]

Així, els vectors $(1,2)$ i $(0,1)$ pertanyen a $W_{1}\cup W_{2}$ però el vector \[ (1,1)=(1,2)-(0,1)\not\in W_{1}\cup W_{2}. \]

Per la Proposició 2.2 deduïm que $W_{1}\cup W_{2}$ no és subespai vectorial d’$\mathbb{R}^{2}$.

2.1.3 Suma de subespais vectorials

A continuació veurem que, donat un $\mathbb{K}$-espai vectorial $V$ i dos subespais vectorials de $V$, aleshores la seua suma, que definirem a continuació, també és subespai vectorial.

Proposició 2.4 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siguen $W_{1}$ i $W_{2}$ dos subespais vectorials de $V$, aleshores la suma de $W_{1}$ i $W_{2}$, denotada per $W_{1}+W_{2}$, definida com segueix \[W_{1}+W_{2}=\{w_{1}+w_{2}\in V \mid w_{1}\in W_{1},\, w_{2}\in W_{2}\},\] també és subespai vectorial de $V$.

Demostració. El vector $0=0+0$ pertany a $W_{1}+W_{2}$. En particular, el conjunt $W_{1}+W_{2}$ no és buit. Comprovarem que $W_{1}+W_{2}$ és subespai vectorial de $V$ per la caracterització presentada en la Proposició 2.2.

Siguen $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$ i siguen $v_{1},v_{2}$ vectors en $W_{1}+W_{2}$. Volem comprovar que $\lambda v_{1}-\mu v_{2}$ és un vector de $W_{1}+W_{2}$. Per la forma que té el conjunt $W_{1}+W_{2}$, existeixen vectors $w_{11}, w_{12}$ en $W_{1}$ i vectors $w_{21}, w_{22}$ en $W_{2}$ tals que \[ v_{1}=w_{11}+w_{21},\qquad\qquad v_{2}=w_{12}+w_{22}. \] Se segueix la següent seqüència d’igualtats \[ \begin{aligned} \lambda v_{1} - \mu v_{2}&= \lambda(w_{11}+w_{21})-\mu (w_{12}+w_{22})\\ &=\lambda w_{11} + \lambda w_{21} -\mu w_{12} -\mu w_{22}\\ &=(\lambda w_{11}-\mu w_{12}) + ( \lambda w_{21}- \mu w_{22}). \end{aligned} \] En la primera igualtat utilitzem les equacions anteriors que descriuen els vectors $v_{1}$ i $v_{2}$ com a vectors en $W_{1}+W_{2}$; en la segona igualtat emprem la propietat 1 de la Definició 2.1; en la tercera igualtat simplement reagrupem termes.

Notem que, com $w_{11}$ i $w_{12}$ són vectors en $W_{1}$, per la Proposició 2.2, el vector $\lambda w_{11}-\mu w_{12}$ pertany a $W_{1}$. Per altra banda, com que $w_{21}$ i $w_{22}$ són vectors en $W_{2}$, per la Proposició 2.2, el vector $\lambda w_{21}-\mu w_{22}$ pertany a $W_{2}$. Així, garantim que el vector $\lambda v_{1} - \mu v_{2}$ pertany a $W_{1}+W_{2}$.

Nota

Nota. Es pot comprovar que el conjunt $\mathrm{Sub}_{\mathbb{K}}(V)$ amb les operacions d’intersecció i suma i els elements mínim $\{0\}$ i màxim $V$ té estructura de reticle algebraic $(\mathrm{Sub}_{\mathbb{K}}(V),\cap, +, \{0\}, V)$.

Definició 2.3 (Suma directa) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siguen $W_{1}$ i $W_{2}$ dos subespais vectorials de $V$, direm que la suma $W_{1}+W_{2}$ és directa si $W_{1}\cap W_{2}=\{0\}$. En aquest cas, utilitzarem $W_{1}\oplus W_{2}$ en compte de $W_{1}+W_{2}$.

A continuació presentem una caracterització per a les sumes directes.

Proposició 2.5 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siguen $W_{1}$ i $W_{2}$ dos subespais vectorials de $V$. Són equivalents

La suma $W_{1}+W_{2}$ és directa;
Per a tot parell de vectors $w_{1}\in W_{1}$ i $w_{2}\in W_{2}$, si $w_{1}+w_{2}=0$, aleshores $w_{1}=w_{2}=0$;
Tot vector no nul de $W_{1}+W_{2}$ s’escriu de forma única com a suma d’un vector de $W_{1}$ i un vector de $W_{2}$.

Demostració. Provarem que (i) implica (ii). Siguen $w_{1}\in W_{1}$ i $w_{2}\in W_{2}$ tals que $w_{1}+w_{2}=0$, aleshores es té que $w_{1}=-w_{2}$. Per tant, $w_{1}\in W_{1}\cap W_{2}=\{0\}$ i $w_{2}\in W_{1}\cap W_{2}=\{0\}$.

Provarem que (ii) implica (iii). Siga $v\in W_{1}+W_{2}$. Suposem que podem escriure $v=w_{1}+w_{2}$ i $v=u_{1}+u_{2}$, amb $w_{1},u_{1}\in W_{1}$ i $w_{2},u_{2}\in W_{2}$. Aleshores $(w_{1}-u_{1})+(w_{2}-u_{2})=0$ i $w_{1}-u_{1}\in W_{1}$ i $w_{2}-u_{2}\in W_{2}$. Per la suposició, arribem a que $w_{1}-u_{1}=0$ i $w_{2}-u_{2}=0$. Així, $w_{1}=u_{1}$ i $w_{2}=u_{2}$.

Provarem que (iii) implica (i). Suposem que $v$ és un vector en $W_{1}\cap W_{2}$. Suposem, per reducció a l’absurd, que $v$ no és nul. Aleshores pot expressar-se com a $v=v+0$ i com a $v=0+v$. És a dir, hem trobat un vector no nul que admet dues expressions com a suma de vectors en $W_{1}$ i $W_{2}$, contradient la suposició. Per tant, $v=0$.

2.2 Sistemes generadors, independència lineal i bases

En aquesta secció introduïm, per a un subconjunt de vectors d’un espai vectorial, les nocions de sistema generador, independència lineal i base.

Definició 2.4 (Combinació lineal | Subespai generat) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $S\subseteq V$ un conjunt de vectors. Una combinació lineal de vectors d’$S$ és un vector del tipus \[ \lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\cdots +\lambda_{k}v_{k},\qquad\qquad\mbox{ o en forma compacta, }\quad \sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}v_{j}, \] on $k\in\mathbb{N}$, i per a tot $j\in\{1,\cdots, k\}$, $\lambda_{j}$ és un escalar en $\mathbb{K}$ i $v_{j}$ és un vector en $S$.

Anomenem subespai vectorial generat per $S$, denotat $\langle S\rangle$, al conjunt de totes les combinacions lineals d’$S$, és a dir, \[ \left\langle S\right\rangle =\left\lbrace \sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}v_{j}\in V \;\middle|\; k\in\mathbb{N} \mbox{ i } \forall j\in\{1,\cdots, k\},\, (\lambda_{j}\in \mathbb{K} \mbox{ i } v_{j}\in S) \right\rbrace. \]

En cas que $S=\varnothing$, prendrem el conveni $\langle\varnothing\rangle=\{0\}$. Direm que un vector $v\in V$ és combinació lineal d’$S$ si $v\in\langle S\rangle$. Si $S$ és no buit i finit, és a dir, si $S=\{v_{1},\cdots ,v_{k}\}$, per a algun $k\in\mathbb{N}$, i $v$ és un vector en $\langle S\rangle$, direm que $v$ és combinació lineal dels vectors $v_{1},\cdots , v_{k}$. En aquest cas, direm que $\langle S\rangle$ és finitament generat.

Exemple 2.6 Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{3}$ i el conjunt de vectors \[ S=\{(1,2,0), (1,-2,1), (-1,-1,3)\}\subseteq \mathbb{R}^{3}. \]

El vector $(-2,2,5)$ és combinació lineal de $(1,2,0), (1,-2,1)$ i $(-1,-1,3)$ ja que \[(-2,2,5)= (1,2,0)-(1,-2,1)+2(-1,-1,3). \]

Notem també que cadascun dels vectors que componen $S$ és combinació lineal d’$S$.

A continuació comprovarem que per a tot $\mathbb{K}$-espai vectorial $V$ i per a qualsevol conjunt de vectors en $V$, el subespai generat per aquest conjunt de vectors és, efectivament, un subespai vectorial.

Proposició 2.6 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $S\subseteq V$ un conjunt de vectors. Aleshores, el conjunt de combinacions lineals d’$S$, és a dir $\langle S\rangle$, és un subespai vectorial de $V$.

Demostració. Si $S=\varnothing$, aleshores $\langle S\rangle=\{0\}$. Es comprova fàcilment que aquest conjunt és un subespai vectorial de $V$.

Així, podem suposar que $S$ és no buit. Siga $v\in S$, aleshores $v\in \langle S\rangle$. En particular, el conjunt $\langle S\rangle$ tampoc és buit. Comprovarem que $\langle S\rangle$ és subespai vectorial de $V$ per la caracterització presentada en la Proposició 2.2.

Siguen $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$ i siguen $v,w$ vectors en $\langle S\rangle$. Volem comprovar que $\lambda v-\mu w$ és un vector de $\langle S\rangle$. Per la forma que té el conjunt $\langle S\rangle$, els vectors $v$ i $w$ són combinacions lineals d’elements d’$S$, així existeixen naturals $m,n\in\mathbb{N}$, escalars $\lambda_{k},\mu_{l}\in\mathbb{K}$ i vectors $v_{k},w_{l}\in S$, per a $k\in\{1,\cdots, m\}$, $l\in\{1,\cdots, n\}$, respectivament, per als quals, \[ v=\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k} v_{k},\qquad\qquad w=\sum_{l=1}^{n}\mu_{l} w_{l}. \] Se segueix la següent seqüència d’igualtats \[ \lambda v-\mu w= \lambda \left(\sum_{k=1}^{m}\lambda_{k} v_{k}\right) -\mu \left(\sum_{l=1}^{n}\mu_{l} w_{l}\right) =\sum_{k=1}^{m}(\lambda\lambda_{k}) v_{k} -\sum_{l=1}^{n}(\mu\mu_{l}) w_{l}. \] En la primera igualtat utilitzem les equacions anteriors que descriuen els vectors $v$ i $w$ com a vectors en $\langle S\rangle$; mentre que la segona igualtat és conseqüència de la propietat 1 de la Definició 2.1. Notem que els escalars que acompanyen els vectors, bé siguen $\lambda\lambda_{k}$ o $\mu\mu_{l}$, per a algun $k\in\{1,\cdots, m\}$ i algun $l\in\{1,\cdots, n\}$, són escalars en $\mathbb{K}$. Si algun vector apareguera tant en la combinació lineal que defineix $v$ com en la de $w$, una vegada reagrupats els termes, l’escalar que acompanyaria aquest vector tindria la forma $\lambda\lambda_{k}-\mu\mu_{l}$, per a algun $k\in\{1,\cdots, m\}$ i algun $l\in\{1,\cdots, n\}$. En qualsevol cas, vegem que $\lambda v-\mu w$ és combinació lineal de vectors en $S$.

Definició 2.5 (Sistema generador) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $S\subseteq V$ un conjunt de vectors. Direm que $S$ és sistema generador de $V$ si $\langle S\rangle=V$, és a dir, si tot vector de $V$ es pot escriure com a combinació lineal dels vectors en $S$.

Si $S$ és finit, és a dir, si $S=\{v_{1},\cdots ,v_{k}\}\subseteq V$, per a algun $k\in\mathbb{N}$, i $S$ és sistema generador de $V$, direm que els vectors $v_{1},\cdots , v_{k}$ generen $V$. En aquest cas direm que $V$ és finitament generat.

Exemple 2.7 Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{3}$ i el conjunt de vectors \[ S=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,1,-1),(2,3,1)\}\subseteq \mathbb{R}^{3}. \] Siga $(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$ un vector qualsevol d’$\mathbb{R}^{3}$. Notem la següent igualtat \[ (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})=\alpha_{1}(1,0,0)+(\alpha_{2}+\alpha_{3})(0,1,0)-\alpha_{3}(0,1,-1)+0(2,3,1). \] D’ací deduïm que tot vector d’$\mathbb{R}^{3}$ es pot escriure com a combinació lineal dels vectors en $S$. Per tant, $S$ és sistema generador d’$\mathbb{R}^{3}$.

Proposició 2.7 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $S\subseteq V$ un conjunt de vectors. Aleshores les següents condicions són equivalents

$S$ és sistema generador;
Tot subconjunt $R\subseteq V$ amb $S\subseteq R$ és sistema generador.

Definició 2.6 (Independència lineal) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $S\subseteq V$ un conjunt de vectors. Direm que $S$ és linealment independent si tota combinació lineal de vectors d’$S$ igualada a $0$ \[ \lambda_{1}v_{1}+\cdots +\lambda_{k}v_{k}=0 \qquad\qquad \mbox{o en forma compacta,} \qquad \sum_{j=1}^{k}\lambda_{j}v_{j}=0, \] satisfà que, per a tot $j\in\{1,\cdots, k\}$, l’escalar $\lambda_{j}$ ha de ser nul, és a dir $\lambda_{j}=0$.

És a dir, $S$ és linealment independent si el vector $0$ només es pot escriure com a combinació lineal dels vectors $v_{1},\cdots, v_{k}$ d’$S$ en la forma $0v_{1}+\cdots + 0v_{k}$.

En cas que $S=\varnothing$, prendrem el conveni que $\varnothing$ és un conjunt linealment independent. Si $S$ és un conjunt finit linealment independent, és a dir, si $S=\{v_{1},\cdots, v_{k}\}$, per a algun $k\in\mathbb{N}$, direm que els vectors $v_{1},\cdots, v_{k}$ són linealment independents.

Exemple 2.8 Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{3}$ i el conjunt de vectors \[ \{(1,0,0),(0,1,0),(0,1,-1),(2,3,1)\}\subseteq \mathbb{R}^{3}. \]

Aquest conjunt és linealment dependent, ja que podem trobar la següent combinació lineal \[ 2(1,0,0)+ 4(0,1,0) -(0,1,-1) -(2,3,1)= (0,0,0). \]

Notem que cap dels escalars que intervenen és igual a zero.

Exemple 2.9 Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{3}$ i el conjunt de vectors \[ \{ (0,1,0),(0,1,-1),(2,3,1) \} \subseteq \mathbb{R}^{3}. \]

Comprovem que aquest conjunt de vectors és linealment independent. Per a demostrar-ho, suposem que tenim una combinació lineal dels vectors anteriors igualada a $0$ \[ \lambda_{1}(0,1,0)+ \lambda_{2}(0,1,-1)+ \lambda_{3}(2,3,1)=(0,0,0) \]

Operant, arribem a que els següents vectors són iguals \[ (2\lambda_{3}, \lambda_{1}+\lambda_{2}+3\lambda_{3},-\lambda_{2}+\lambda_{3})=(0,0,0) \]

Per tant, els escalars $\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$ són solució del següent sistema d’equacions lineal homogeni, a esquerra, que, per Gauss-Jordan, podem escriure en forma normal, a dreta. \[ \left. \begin{array}{ccccccc} & & & &2\lambda_{3} &= &0\\ \lambda_{1} &+ &\lambda_{2} &+ &3\lambda_{3} &= &0\\ &- &\lambda_{2} &+ &\lambda_{3} &= &0\\ \end{array} \right\rbrace \qquad\qquad \left. \begin{array}{ccc} \lambda_{1} &= &0\\ \lambda_{2} &= &0\\ \lambda_{3} &= &0\\ \end{array} \right\rbrace \] Per tant, els vectors $(0,1,0),(0,1,-1),(2,3,1)$ són linealment independents.

Proposició 2.8 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $S\subseteq V$ un conjunt de vectors. Aleshores les següents condicions són equivalents

$S$ és linealment independent;
Tot subconjunt $R\subseteq S$ és linealment independent.

Definició 2.7 (Base) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $\mathcal{B}\subseteq V$ un conjunt de vectors. Direm que $\mathcal{B}$ és base de $V$ si és sistema generador i conjunt linealment independent.

Per a denotar bases emprarem $\mathcal{B}$ i derivats.

Exemple 2.10 Siga $\mathbb{K}$ un cos i siga el $\mathbb{K}$-espai vectorial $\mathbb{K}^{n}$. Per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$ definim el vector $e_{j}$ com el vector que té en tota posició diferent a la $j$ un $0$ i un $1$ en la posició $j$, és a dir \[ e_{j}=(0,\cdots, 1, \cdots, 0). \] Comprovarem que el conjunt $\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ és base de $\mathbb{K}^{n}$. Per a demostrar-ho, caldrà comprovar que $\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ és sistema generador i linealment independent.

Siga $(\alpha_{1},\cdots, \alpha_{n})$ un vector qualsevol de $\mathbb{K}^{n}$. Aleshores, podem escriure aquest vector com a combinació lineal dels vectors $e_{1},\cdots, e_{n}$ com segueix \[ \alpha_{1}e_{1}+\cdots + \alpha_{n}e_{n}=(\alpha_{1},\cdots, \alpha_{n}). \] Per tant, $\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ és sistema generador.

Suposem ara que tenim una combinació lineal dels vectors $e_{1},\cdots, e_{n}$ igualada a $0$ \[ \lambda_{1}e_{1}+\cdots +\lambda_{n}e_{n}=(0,\cdots, 0). \]

Operant, arribem a que els següents vectors són iguals \[ (\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n})=(0,\cdots, 0). \]

D’on deduïm que per a tot $j\in\{1,\cdots, n\}$, es té que $\lambda_{j}=0$. Per tant, els vectors $e_{1},\cdots, e_{n}$ són linealment independents.

El conjunt $\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ s’anomenarà base canònica de $\mathbb{K}^{n}$ i la denotarem per $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$.

La següent proposició ens dóna caracteritzacions d’una base com a sistema generador minimal i com a conjunt de vectors linealment independents maximal.

Proposició 2.9 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $\mathcal{B}$ un conjunt finit de vectors en $V$. Aleshores, són equivalents

$\mathcal{B}$ és base de $V$;
$\mathcal{B}$ és sistema generador minimal;
$\mathcal{B}$ és conjunt de vectors linealment independents maximal.

Demostració. Provarem que (i) implica (ii). Notem que, com $\mathcal{B}$ és base, aleshores és un sistema generador. Per a vore que és minimal, considerem un subconjunt $S$ de vectors en $V$ tal que $S\subset\mathcal{B}$. Comprovarem que $S$ no pot ser sistema generador.

Suposem que $S=\{v_{1},\cdots, v_{k}\}$. Com que $S$ és un subconjunt estricte de $\mathcal{B}$, podem trobar un vector $v\in\mathcal{B}$ que no estiga en $S$. Suposem, per reducció a l’absurd, que $S$ és sistema generador. Aleshores el vector $v$ pot escriure’s com a combinació lineal dels vectors $v_{1},\cdots, v_{k}$. Així, existeixen escalars $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{k}$ en $\mathbb{K}$, per als quals \[ v=\lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{k}v_{k} \]

D’on podem derivar l’expressió següent \[v-\lambda_{1}v_{1}-\cdots -\lambda_{k}v_{k}=0.\]

Així, hem pogut trobar una combinació lineal de vectors en $\mathcal{B}$ igualada a $0$ on no tots els escalars són nuls. Açò contradiu el fet que $\mathcal{B}$ és un conjunt de vectors linealment independents. Per tant, $S$ no pot ser sistema generador.

Provarem que (ii) implica (iii). Suposem que $\mathcal{B}=\{v_{1},\cdots, v_{k}\}$. Cal provar en primer lloc que $\mathcal{B}$ és linealment independent. Siguen escalars $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{k}$ en $\mathbb{K}$ i una expressió del tipus \[ \lambda_{1}v_{1}+\cdots +\lambda_{k}v_{k}=0. \]

Suposem, per reducció a l’absurd, que existeix un índex $j\in\{1,\cdots, k\}$, per al qual l’escalar $\lambda_{j}$ és diferent de $0$. Així, de l’expressió de dalt, aïllant $v_{j}$, trobem que \[ v_{j}=\frac{1}{\lambda_{j}}(-\lambda_{1}v_{1}-\cdots -\lambda_{j-1}v_{j-1}-\lambda_{j+1}v_{j+1}-\cdots - \lambda_{k}v_{k}). \]

És a dir, el vector $v_{j}$ pot escriure’s com a combinació lineal de tota la resta de vectors. Així el conjunt $\mathcal{B}-\{v_{j}\}$ és generador, contradient el fet que $\mathcal{B}$ era minimal respecte aquesta condició.

Per tant, per a tot $j\in\{1,\cdots, k\}$, l’escalar $\lambda_{j}$ ha de ser, necessàriament, igual a $0$.

Ara faltarà vore que $\mathcal{B}$ és maximal respecte aquesta propietat. Siga $S$ un conjunt de vectors en $V$ tal que $\mathcal{B}\subset S$. Provarem que $S$ no pot ser linealment independent. Com $\mathcal{B}\subset S$, podem trobar un vector $v\in S-\mathcal{B}$. Com que $\mathcal{B}$ és sistema generador, podem trobar escalars $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{k}$ en $\mathbb{K}$ per als quals \[ v=\lambda_{1}v_{1}+\cdots +\lambda_{k}v_{k}. \]

De l’equació de dalt, passant tots els termes a l’esquerra, tenim que \[ v-\lambda_{1}v_{1}-\cdots -\lambda_{k}v_{k}=0. \]

És a dir, hem trobat una combinació lineal de vectors en $S$ igualada a $0$ on no tots els escalars són igual a $0$. Per tant, $S$ és linealment dependent.

Finalment, provarem que (iii) implica (i). El conjunt $\mathcal{B}$ ja és linealment independent. Per a vore que és base només queda provar que és sistema generador. Siga $v$ un vector en $V$ qualsevol. Si $v$ és un vector en $\mathcal{B}$, òbviament $v\in\langle\mathcal{B}\rangle$. Per tant, podem suposar que $v$ és un vector que no està en $\mathcal{B}$. Així, per la maximalitat de $\mathcal{B}$ com a conjunt linealment independent es té que, necessàriament, el conjunt $\mathcal{B}\cup\{v\}$ ha de ser linealment dependent.

Així podem trobar escalars $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{k},\mu\in \mathbb{K}$, on no tots siguen $0$, per als quals \[ \lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{k}v_{k}+\mu v=0. \]

Notem que $\mu$ no pot ser igual a $0$. D’altra forma, el conjunt $\mathcal{B}$ no seria linealment independent. Com a conseqüència d’aquest fet, tenim que el vector $v$ pot aïllar-se de l’expressió de dalt. Així \[ v=\frac{1}{\mu}(-\lambda_{1}v_{1}-\cdots -\lambda_{k}v_{k}). \]

És a dir, $v$ és combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}$. Per tant, $\langle\mathcal{B}\rangle=V$.

El següent teorema ens garantitza que, en un espai vectorial finitament generat, sempre podem trobar bases.

Teorema 2.1 (Existència de bases en espais vectorials finitament generats) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat. Aleshores $V$ té una base finita.

Demostració. Siga $S$ un sistema generador finit de $V$. Si $S$ és minimal, per la Proposició 2.9, tenim que $S$ és base. En cas contrari, si $S$ no fóra minimal, voldria dir que podem trobar un sistema generador $S'$ estrictament menor que $S$. Repetim el procediment amb $S'$. Notem que aquest procediment no pot repetir-se indefinidament perquè $S$ és finit. Així, en algun moment, trobarem un sistema generador minimal. Aquest sistema, per la Proposició 2.9, serà una base finita de $V$.

Exemple 2.11 L’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{3}$ admet diferents bases, per exemple

$\mathcal{B}_{\mathrm{c}}=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$;
$\mathcal{B}=\{(1,2,3),(-1,2,1),(0,-1,0)\}$;
$\overline{\mathcal{B}}=\{(2,1,0),(1,1,0), (-1,0,1)\}$;
$\cdots$

L’anterior teorema ens garantitza l’existència, però no la unicitat de bases.

2.3 Dimensió

El següent resultat ens permet afirmar que, donada una base i un conjunt de vectors linealment independents, podem substituir vectors de la base pels vectors del conjunt tot garantint que el conjunt resultant continue sent una base.

Lema 2.1 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $\mathcal{B}$ una base de $V$. Siga $\{u_{1},\cdots, u_{k}\}$ un conjunt de vectors linealment independents de $V$, per a algun $k\in\mathbb{N}$. Aleshores podem substituir $k$ vectors de $\mathcal{B}$ pels vectors $u_{1},\cdots, u_{k}$ de forma que el conjunt resultant siga una base.

Demostració. Considerem el primer vector del conjunt linealment independent $u_{1}$. Com que $\mathcal{B}$ és base, per a algun $n\in\mathbb{N}$, podrem trobar escalars $\lambda_{1},\cdots ,\lambda_{n}\in \mathbb{K}$ i vectors $v_{1},\cdots, v_{n}\in\mathcal{B}$ per als quals \[u_{1}=\lambda_{1}v_{1}+\cdots +\lambda_{n}v_{n}.\]

Notem que $u_{1}\neq 0$ ja que pertany a un conjunt linealment independent. Per tant, en l’anterior expressió hi haurà algun escalar $\lambda_{j}$, per a algun $j\in\{1,\cdots, n\}$, amb $\lambda_{j}\neq 0$.

Siga $\mathcal{B}_{1}$ el conjunt de vectors que resulta de substituir en $\mathcal{B}$ el vector $v_{j}$ pel vector $u_{1}$. Anem a provar que $\mathcal{B}_{1}$ és base de $V$.

Cal demostrar que $\mathcal{B}_{1}$ és sistema generador i conjunt de vectors linealment independents. Però abans de res, cal notar la següent propietat. Per a l’elecció de l’anterior $j$, tenint en compte que $\lambda_{j}\neq 0$, podem aïllar $v_{j}$ en l’anterior expressió com segueix. \[ v_{j}=\frac{1}{\lambda_{j}}u_{1}-\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{j}}v_{1}-\cdots -\frac{\lambda_{j-1}}{\lambda_{j}}v_{j-1}-\frac{\lambda_{j+1}}{\lambda_{j}}v_{j+1}- \cdots -\frac{\lambda_{n}}{\lambda_{j}}v_{n}. \]

Així es té que $\langle \mathcal{B}_{1}\rangle=\langle \mathcal{B}\rangle$. Com que $\mathcal{B}$ és base, tenim que $\langle \mathcal{B}\rangle=V$. És a dir, $\mathcal{B}_{1}$ és sistema generador. Siga ara una combinació lineal dels elements de $\mathcal{B}_{1}$ igualada a $0$. Si aquesta expressió no conté el vector $u_{1}$, com que $\mathcal{B}$ és linealment independent, aleshores els escalars hauran de ser $0$. Per tant, podem suposar que la combinació lineal igualada a $0$ sí que conté a $u_{1}$.

És a dir, per a un natural $p\in\mathbb{N}$, siguen $\mu_{1},\cdots, \mu_{p}$ escalars en $\mathbb{K}$ i $w_{2},\cdots, w_{p}$ vectors en $\mathcal{B}-\{v_{j}\}$ per als quals \[ \mu_{1}u_{1}+ \mu_{2}w_{2} + \cdots + \mu_{p}w_{p}=0. \]

Volem comprovar que tots els escalars $\mu_{1},\cdots, \mu_{p}$ són nuls. En l’anterior equació substituïm $u_{1}$ per la seua expressió com a combinació lineal dels elements de $\mathcal{B}$ i reagrupem termes fins obtindre la següent expressió. \[ \mu_{1}(\lambda_{1}v_{1}+\cdots +\lambda_{n}v_{n}) + \mu_{2}w_{2} + \cdots + \mu_{p}w_{p} = 0. \]

Notem que aquesta expressió és una combinació lineal de vectors en $\mathcal{B}$ igualada a $0$, per tant tots els escalars han de ser $0$. Notem que l’escalar que acompanya al vector $v_{j}$ en l’anterior expressió és $\mu_{1}\lambda_{j}$. Com que $\lambda_{j}$ l’havíem elegit amb la propietat que $\lambda_{j}\neq 0$, aleshores $\mu_{1}=0$. D’ací, deduïm immediatament que la resta d’escalars $\mu_{2},\cdots, \mu_{p}$ han de ser $0$. És a dir, el conjunt $\mathcal{B}_{1}$ és linealment independent.

Ara, suposem que ja hem substituït $l\in\mathbb{N}$, amb $l<k$, dels vectors de $\mathcal{B}$ per $u_{1},\cdots, u_{l}$ i que el nou conjunt resultant, diem-li $\mathcal{B}_{l}$, és base de $V$. Anem a vore que podem substituir un dels vectors de $\mathcal{B}_{l}-\{u_{1},\cdots, u_{l}\}$ restants per $u_{l+1}$.

Com que $\mathcal{B}_{l}$ és base, podrem trobar un $n\in \mathbb{N}$ amb $n>l$, escalars $\gamma_{1},\cdots ,\gamma_{n}\in \mathbb{K}$ i vectors $v_{l+1},\cdots, v_{n}\in\mathcal{B}_{l}-\{u_{1},\cdots, u_{l}\}$ per als quals \[u_{l+1}=\gamma_{1}u_{1}+\cdots +\gamma_{l}u_{l}+\gamma_{l+1}v_{l+1}+\cdots +\gamma_{n}v_{n}.\]

Notem que $u_{l+1}\neq 0$ ja que pertany a un conjunt linealment independent. Per tant, en l’anterior expressió hi haurà algun escalar $\gamma_{j}\neq 0$, per a algun $j\in\{1,\cdots, n\}$. De fet, aquest índex $j$ el podem prendre en el conjunt $\{l+1,\cdots, n\}$, ja que si açò no fóra possible, és a dir, si els escalars $\gamma_{j}$ amb $j\in\{l+1,\cdots, n\}$ foren tots nuls, en l’anterior expressió estaríem dient que $u_{l+1}$ és combinació lineal dels vectors $\{u_{1},\cdots , u_{l}\}$. Aquest fet entra en contradicció amb el fet que el conjunt de vectors $\{u_{1},\cdots, u_{k}\}$ és linealment independent.

A partir d’aquest punt procedim com en el cas base.

Nota

Nota. En la demostració del Lema 2.1 cal anar amb compte en la substitució que es fa. Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{3}$, la seua base canònica $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ i el conjunt $\{(1,1,0)\}$ de vectors linealment independents. Notem que si en $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ canviem el vector $(0,0,1)$ pel vector $(1,1,0)$, el conjunt resultant, $\{(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)\}$, és linealment dependent. Per aquest motiu, la substitució no pot ser arbitrària. Cal cenyir-se a les condicions que demana el Lema 2.1.

El següent teorema ens garantitza que, en un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat, tot subconjunt finit de vectors linealment independents pot ampliar-se fins a trobar una base.

Teorema 2.2 (Teorema d’ampliació) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat i siga $S\subseteq V$ un subconjunt finit de vectors linealment independents. Aleshores podem trobar una base de $V$ que conté els vectors d’$S$.

Demostració. Pel Teorema 2.1, siga $\mathcal{B}$ una base de $V$. Com $S$ és un subconjunt finit de vectors linealment independents, pel Lema 2.1 podem substituir $\left|S\right|$ vectors de $\mathcal{B}$ pels vectors d’$S$ de forma que el conjunt resultant siga una base. Aquesta base conté els vectors d’$S$.

Com a corol·lari del Lema 2.1 podem garantir que totes les bases d’un espai vectorial finitament generat tenen el mateix cardinal.

Corol·lari 2.1 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat. Aleshores totes les bases de $V$ són finites i tenen el mateix cardinal.

Demostració. Es dedueix del Teorema 2.1 que tot $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat admet una base finita $\mathcal{B}$. Si suposem que existeix alguna base infinita $\overline{\mathcal{B}}$, pel Lema 2.1 podem substituir en $\overline{\mathcal{B}}$ una quantitat $\left|\mathcal{B}\right|$ de vectors pels vectors de $\mathcal{B}$ i obtindre una base. Aquesta base resultant conté estrictament a $\mathcal{B}$. Açò entra en contradicció amb el resultat de la Proposició 2.9, on s’especifica que $\mathcal{B}$ és maximal per a aquesta propietat. Per tant $\overline{\mathcal{B}}$ ha de ser finit.

Per altra banda, si hi haguera alguna base $\overline{\mathcal{B}}$ amb $\left|\overline{\mathcal{B}}\right|\neq\left|\mathcal{B}\right|$, podríem d’igual forma construir una nova base, que continguera estrictament tots els vectors de la menor base, siga $\mathcal{B}$ o $\overline{\mathcal{B}}$. Açò entra en contradicció amb el resultat de la Proposició 2.9, on s’especifica que tota base és maximal per a aquesta propietat. Per tant, $\left|\overline{\mathcal{B}}\right|=\left|\mathcal{B}\right|$.

Definició 2.8 (Dimensió) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial. Si $V$ és finitament generat, anomenarem dimensió de $V$, denotada per $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)$, al cardinal de qualsevol de les seues bases. Si $V$ no és finitament generat, direm que té dimensió infinita.

El següent corol·lari fita el cardinal de tot conjunt de vectors linealment independents i de tot sistema generador en termes de la dimensió de l’espai.

Corol·lari 2.2 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat, siga $L\subseteq V$ un subconjunt de vectors linealment independents i siga $G\subseteq V$ un sistema generador de $V$. Aleshores \[ \left|L\right|\leq\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)\leq\left|G\right|. \]

Demostració. Suposem que $L$ té una quantitat finita, però estrictament major a $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)$, de vectors. Aleshores, pel Teorema 2.2, d’Ampliació de la Base, podem trobar una base de $V$ que conté tots els vectors d’$L$. Aquesta base tindria una quantitat estrictament major a $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)$ de vectors. Açò entra en contradicció amb el Corol·lari 2.1, ja que hi hauria dues bases amb tamanys diferents. Per tant, s’ha de donar la desigualtat $\left|L\right|\leq\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)$.

Per altra banda, com que $V$ és finitament generat, sempre podem trobar un subconjunt finit $G'\subseteq G$ de forma que $G'$ siga sistema generador. Per la demostració del Teorema 2.1 sempre podem obtindre un subconjunt $G''\subseteq G'$ que siga sistema generador minimal. Per la Proposició 2.9 aquest conjunt serà una base. Així \[ \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=\left|G''\right|\leq\left|G'\right|\leq\left|G\right|. \] En definitiva, $\left|L\right|\leq\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)\leq\left|G\right|$.

Proposició 2.10 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i siga $\mathcal{B}\subseteq V$ un subconjunt d’$n$ vectors. Aleshores, són equivalents

$\mathcal{B}$ és base;
$\mathcal{B}$ és sistema generador;
$\mathcal{B}$ és linealment independent.

Demostració. Si $\mathcal{B}$ és sistema generador i té $n$ elements aleshores, pel Corol·lari 2.2, tenim que $\mathcal{B}$ és necessàriament minimal. Si $\mathcal{B}$ és linealment independent i té $n$ elements aleshores, pel Corol·lari 2.2, tenim que $\mathcal{B}$ és necessàriament maximal.

Dels dos casos es dedueix que $\mathcal{B}$ és base, en virtut de la Proposició 2.9. Així, (ii) i (iii), respectivament, impliquen (i). Trivialment es compleix que (i) implica els altres dos ítems.

Proposició 2.11 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i siga $W\leq V$ un subespai vectorial de $V$. Aleshores $W$ és finitament generat i $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)\leq n$. En particular, $W=V$ si, i només si, $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=n$.

Demostració. Siga $\mathcal{B}$ una base de $V$. Aquesta base existeix pel Teorema 2.1. En particular $\mathcal{B}$ és finita i, llavors, tot conjunt de vectors linealment independent en $V$ ha de tindre, com a molt, $\left|\mathcal{B}\right|$ vectors.

Si $W=\{0\}$, aleshores $\varnothing$ és sistema generador de $W$. Per tant, podem suposar que $W\neq\{0\}$. Siga $w_{1}\in W-\{0\}$ un vector no nul en $W$. Aleshores, $\{w_{1}\}$ és linealment independent. Si aquest conjunt fóra maximal per la propietat de ser linealment independent en $W$, tindríem que $\{w_{1}\}$ seria base de $W$ per la Proposició 2.9. En cas contrari, açò vol dir que podem trobar un conjunt de vectors $\{w_{1},w_{2}\}\subseteq W$, estrictament major que l’anterior i amb la propietat de ser linealment independent. Raonaríem ara sobre aquest conjunt. Aquest procediment no pot allargar-se indefinidament perquè el cardinal d’un conjunt de vectors linealment independent està fitat. En última instància trobaríem un conjunt de vectors linealment independent en $W$ maximal per a aquesta propietat. Aquest conjunt seria una base de $W$ per la Proposició 2.9. En particular, $W$ és finitament generat.

Com $W$ és finitament generat, pel Teorema 2.1, siga $\mathcal{B}_{W}$ una base de $W$. Aleshores $\mathcal{B}_{W}$ és un conjunt de vectors linealment independents en $V$. Pel Corol·lari 2.2, tenim que \[\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=\left|\mathcal{B}_{W}\right|\leq \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n.\]

Per a l’últim apartat, si $W=V$ es té trivialment que $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=n$. Per altra banda, si $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=n$, tota base $\mathcal{B}_{W}$ de $W$ és un conjunt d’$n$ vectors linealment independents en $V$. Com que $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$, per la Proposició 2.10, tota base $\mathcal{B}_{W}$ de $W$ és base de $V$. En particular, $W=\langle\mathcal{B}_{W}\rangle=V$.

Proposició 2.12 (Fórmula de Grassmann per a les dimensions) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat i siguen $U,W\leq V$ subespais vectorials en $V$. Aleshores \[ \mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U+W)=\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U)+\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)-\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U\cap W). \]

Demostració. Suposem que $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U\cap W)=r$, $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U)=s$ i $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=t$. Per la Proposició 2.11, tenim que $r\leq s$ i que $r\leq t$.

Siga $\{v_{1},\cdots, v_{r}\}$ una base de $U\cap W$. Pel Teorema 2.2, d’Ampliació de la Base, podem obtindre una base $\{v_{1},\cdots, v_{r}, u_{r+1},\cdots, u_{s}\}$ d’$U$ que conté l’anterior conjunt. D’igual forma també podem ampliar-lo fins obtindre una base $\{v_{1},\cdots, v_{r}, w_{r+1},\cdots, w_{t}\}$ de $W$.

Anem a provar que el conjunt següent $\mathcal{B}=\{v_{1},\cdots, v_{r}, u_{r+1},\cdots, u_{s}, w_{r+1},\cdots, w_{t}\}$ és base de l’espai suma $U+W$. Notem que aquest conjunt té tamany $s+t-r$.

Cal vore que el conjunt és sistema generador i linealment independent. Siga $v$ un vector de l’espai suma $U+W$. Aleshores existeixen vectors $u\in U$ i $w\in W$ de forma que \[ v=u+w. \]

Per una banda, com que $\{v_{1},\cdots, v_{r}, u_{r+1},\cdots, u_{s}\}$ és base d’$U$, podem trobar escalars $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{s}$ en $\mathbb{K}$ de forma que \[u=\lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{r}v_{r}+\lambda_{r+1}u_{r+1}+\cdots +\lambda_{s}u_{s}.\]

Per l’altra banda, com que $\{v_{1},\cdots, v_{r}, w_{r+1},\cdots, w_{t}\}$ és base de $W$, podem trobar escalars $\mu_{1},\cdots, \mu_{t}$ en $\mathbb{K}$ de forma que \[w=\mu_{1}v_{1}+\cdots+\mu_{r}v_{r}+\mu_{r+1}w_{r+1}+\cdots +\mu_{t}w_{t}.\]

Així es té que \[ v=u+w=(\lambda_{1}+\mu_{1})v_{1}+\cdots+(\lambda_{r}+\mu_{r})v_{r} +\lambda_{r+1}u_{r+1}+\cdots +\lambda_{s}u_{s}+ \mu_{r+1}w_{r+1}+\cdots +\mu_{t}w_{t}. \]

És a dir, tot vector de $U+W$ pot escriure’s com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}$.

Siga ara una combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}$ igualada a $0$ \[ \lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{r}v_{r} +\lambda_{r+1}u_{r+1}+\cdots +\lambda_{s}u_{s}+ \lambda_{s+1}w_{r+1}+\cdots +\lambda_{s+t-r}w_{t}=0 \tag{$\triangle$} \]

on, per a tot $j\in\{1,\cdots, s+t-r\}$, $\lambda_{j}$ és un escalar en $\mathbb{K}$. Volem provar que, per a tot $j\in\{1,\cdots, s+t-r\}$, $\lambda_{j}=0$. Notem que, en l’anterior expressió, en passar l’expressió que acompanya els vectors $w_{r+1}, \cdots, w_{t}$ a la dreta, tenim que \[ \lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{r}v_{r} +\lambda_{r+1}u_{r+1}+\cdots +\lambda_{s}u_{s} = -\lambda_{s+1}w_{r+1} -\cdots -\lambda_{s+t-r}w_{t}. \]

Notem que l’element $-\lambda_{s+1}w_{r+1} -\cdots -\lambda_{s+t-r}w_{t}$ està en $W$, per escriure’s com a combinació lineal d’elements en $W$. D’igual forma, per l’anterior igualtat, notem que aquest mateix element també està en $U$, per escriure’s com a combinació lineal d’elements en $U$. Així, \[-\lambda_{s+1}w_{r+1} -\cdots -\lambda_{s+t-r}w_{t}\in U\cap W.\]

Com que $\{v_{1},\cdots, v_{r}\}$ és base d’$U\cap W$, podem trobar escalars $\mu_{1},\cdots, \mu_{r}$ en $\mathbb{K}$ de forma que \[-\lambda_{s+1}w_{r+1} -\cdots -\lambda_{s+t-r}w_{t}=\mu_{1}v_{1}+\cdots +\mu_{r}v_{r}. \tag{$\square$} \]

Així, l’equació en ($\triangle$) es pot escriure com a \[ (\lambda_{1}-\mu_{1})v_{1}+\cdots+(\lambda_{r}-\mu_{r})v_{r} +\lambda_{r+1}u_{r+1}+\cdots +\lambda_{s}u_{s}=0 \]

Aquesta és una combinació lineal de vectors en $\{v_{1},\cdots, v_{r}, u_{r+1},\cdots, u_{s}\}$ igualada a $0$. Com aquest conjunt és base d’$U$, deduïm que $\lambda_{1}=\mu_{1}$, , $\lambda_{r}=\mu_{r}$ i que $\lambda_{r+1}=\cdots=\lambda_{s}=0$.

Així, l’equació en ($\square$) es pot escriure com a \[ \lambda_{1}v_{1}+\cdots+\lambda_{r}v_{r} +\lambda_{s+1}w_{r+1}+\cdots +\lambda_{s+t-r}w_{t}=0. \]

Aquesta és una combinació lineal de vectors en $\{v_{1},\cdots, v_{r}, w_{r+1},\cdots, w_{t}\}$ igualada a $0$. Com aquest conjunt és base de $W$, deduïm que $\lambda_{1}=\cdots =\lambda_{r}=0$ i que $\lambda_{s+1}=\cdots =\lambda_{s+t-r}=0$.

Per tant $\mathcal{B}$ és linealment independent.

Així, \[\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U+W)=s+t-r=\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U)+\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)-\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U\cap W).\]

Corol·lari 2.3 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat i siguen $U,W\leq V$ subespais vectorials en $V$. Les següents afirmacions són equivalents

La suma $U+W$ és directa;
$\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U+W)=\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U)+\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)$.

Demostració. Per a provar que (i) implica (ii), com que la suma $U+W$ és directa, aleshores $U\cap W=\{0\}$. Per tant, $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U\cap W)=0$. La igualtat de (ii) ix directament de la Fórmula de Grassmann demostrada en la Proposició 2.12.

Per altra banda, de la igualtat en (ii) i la Fórmula de Grassmann demostrada en la Proposició 2.12, tenim que $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(U\cap W)=0$, és a dir, el conjunt $\varnothing$ és base de $U\cap W$. Així $U\cap W=\langle\varnothing\rangle=\{0\}$. Per tant, la suma $U+W$ és directa.

Acabem aquesta secció presentant la noció de subespai complementari i demostrant que, en un espai vectorial finitament generat, tot subespai admet un complementari.

Definició 2.9 (Subespai complementari) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i siga $W\leq V$ un subespai vectorial. Diem que $W$ té un subespai complementari si existeix un subespai vectorial $U\leq V$ de forma que $W\oplus U=V.$

Proposició 2.13 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat, aleshores tot subespai de $V$ admet un subespai complementari.

Demostració. Siga $W\leq V$ un subespai vectorial de $V$. Com $V$ és finitament generat, existeix un natural $n\in\mathbb{N}$ per al qual $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$. Notem que $W$, al seu torn, també és un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat per la Proposició 2.11. Per tant, existeix $k\in\mathbb{N}$ per al qual $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(W)=k$. Com $W\leq V$, es té $k\leq n$.

Siga $\{w_{1},\cdots, w_{k}\}$ una base de $W$. Pel Teorema 2.2, d’Ampliació de la Base, podem trobar vectors $u_{k+1},\cdots, u_{n}\in V$ per als quals $\{w_{1},\cdots, w_{k}, u_{k+1},\cdots, u_{n}\}$ és base de $V$.

Prenem $U=\langle u_{k+1},\cdots, u_{n}\rangle$.

Com $\{w_{1},\cdots, w_{k}, u_{k+1},\cdots, u_{n}\}$ és base tenim, en particular, que és sistema generador de $V$. Per altra banda, com que $\langle w_{1},\cdots, w_{k}\rangle=W$ i $\langle u_{k+1},\cdots, u_{n}\rangle=U$, tenim que $\langle w_{1},\cdots, w_{k}, u_{k+1},\cdots, u_{n}\rangle$ és sistema generador per a $W+U$. Així, \[ W+U=\langle w_{1},\cdots, w_{k}, u_{k+1},\cdots, u_{n}\rangle=V. \]

Només quedaria comprovar que la suma és directa. Siga $z\in W\cap U$. Així $z$ pot escriure’s com a combinació lineal d’elements en $W$ i d’elements en $U$, és a dir \[ \begin{aligned} z&=\,\,\,\,\,\sum_{i=1}^{k}\lambda_{i}w_{i}&&\mbox{ on }\forall i\in\{1,\cdots, k\}\,(\lambda_{i}\in\mathbb{K});\\ z&=\sum_{j=k+1}^{n}\lambda_{j}u_{j}&&\mbox{ on }\forall j\in\{k+1,\cdots, n\}\,(\lambda_{j}\in\mathbb{K}). \end{aligned} \]

Igualant les dues expressions i passant tots els termes a l’altra banda tenim que \[ \lambda_{1}w_{1}+\cdots +\lambda_{k}w_{k}-\lambda_{k+1}u_{k+1}-\cdots -\lambda_{n}u_{n}=0. \] Com $\{w_{1},\cdots, w_{k}, u_{k+1},\cdots, u_{n}\}$ és base de $V$ tenim que aquest conjunt és linealment independent. Així, en l’anterior expressió trobem que tots els escalars han de ser zero. Així, $z=0$.

Per tant, $W\oplus U=V$. És a dir, tot subespai admet un complementari.

Nota

Nota. L’existència d’un complementari no garantitza la seua unicitat. Considerem l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{2}$. Per a $W=\langle (1,0)\rangle$, tant $U=\langle (0,1)\rangle$ com $U'=\langle (1,1)\rangle$ són subespais complementaris per a $W$, però $U\neq U'$.

2.4 Coordenades

En aquesta secció introduïm la noció de coordenades d’un vector respecte a una base. Les nocions bàsiques sobre matrius que emprarem (transposada, identitat, producte i matriu invertible) es troben recollides als preliminars.

Donada una base d’un espai vectorial i donat un vector en l’espai, podem escriure’l com a combinació lineal dels vectors de la base. El que provarem a continuació és que aquesta expressió és única.

Proposició 2.14 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat i siga $v$ un vector en $V$. Aleshores, donada una base $\mathcal{B}$ de $V$, el vector $v$ s’escriu de forma única com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}$.

Demostració. Siga $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i siga $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$. Suposarem que tenim dues formes d’escriure el vector $v$ com a combinació lineal dels vectors $e_{1},\cdots, e_{n}$ en $\mathcal{B}$ i provarem que aquestes expressions són iguals. Siguen $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{n}$ i $\mu_{1},\cdots, \mu_{n}$, dues famílies d’escalars en $\mathbb{K}$ per a les quals \[ v=\lambda_{1}e_{1}+\cdots +\lambda_{n}e_{n}; \qquad\qquad v=\mu_{1}e_{1}+\cdots +\mu_{n}e_{n}. \]

Igualant ambdues expressions i movent els termes a l’esquerra trobem la següent equació \[ (\lambda_{1}-\mu_{1})e_{1}+\cdots +(\lambda_{n}-\mu_{n})e_{n} =0. \] Com els vectors $e_{1},\cdots, e_{n}$ són linealment independents, deduïm que, per a tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, es té que $\lambda_{i}-\mu_{i}=0$. D’on, per a tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, tenim que $\lambda_{i}=\mu_{i}$.

Definició 2.10 (Matriu de coordenades) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i siga $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V$. Siga $v$ un vector qualsevol de $V$. La matriu de coordenades de $v$ en la base $\mathcal{B}$ és la matriu en $\mathrm{M}_{n1}(\mathbb{K})$, denotada per $[v]_{\mathcal{B}}$, que conté els únics escalars $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{n}\in\mathbb{K}$ que satisfan \[ v=\lambda_{1}e_{1}+\cdots +\lambda_{n}e_{n}. \]

Així, \[ [v]_{\mathcal{B}}= \begin{bmatrix} \lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{n} \end{bmatrix}. \]

En certs casos, quan el vector i la base on treballem estiguen clares, utilitzarem lletres majúscules com per exemple $\mathsf{X}$ per a denotar la matriu de coordenades. En tot cas sempre s’especificarà què denota cada símbol.

Si $\mathsf{X}$ és la matriu de coordenades del vector $v$ en la base $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$, aleshores \[ v=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(e_{i}). \]

Aquesta equació s’anomenarà expressió coordenada de $v$ en $\mathcal{B}$. Per la Proposició 2.14 l’expressió coordenada de $v$ en $\mathcal{B}$ és única.

Les coordenades d’un vector depenen de la base en la qual treballem. Un mateix vector pot tindre coordenades diferents en bases diferents. En tot cas, sempre podrem trobar una forma de passar d’unes coordenades a altres com il·lustra el següent exemple.

Exemple 2.12 Es considera l’$\mathbb{R}$-espai vectorial $\mathbb{R}^{2}$ i el vector $v=(1,4)\in\mathbb{R}^{2}$. Per a les bases \[ \mathcal{B}=\{(1,7),(0,1)\}; \qquad\qquad \overline{\mathcal{B}}=\{(2,2),(1,-2)\}, \]

les coordenades de $v$ en, respectivament, $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$, són \[ \mathsf{X}= \begin{bmatrix} 1\\ -3 \end{bmatrix}; \qquad\qquad \overline{\mathsf{X}}= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}. \]

Notem per altra banda que els vectors de cadascuna de les bases es poden escriure en les altres bases com segueix \[ \begin{array}{l} (1,7)=\frac{3}{2}(2,2)-2(1,-2)\\ \\ (0,1)=\frac{1}{6}(2,2)-\frac{1}{3}(1,-2) \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{l} (2,2)=2(1,7)-12(0,1)\\ \\ (1,-2)=1(1,7)-9(0,1) \end{array} \]

Per a les matrius \[ \mathsf{P}= \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{6}\\ -2 & -\frac{1}{3} \end{bmatrix}; \qquad\qquad \mathsf{Q}= \begin{bmatrix} 2 & 1\\ -12 & -9 \end{bmatrix}; \]

es té que \[ \mathsf{P}\mathsf{X}=\overline{\mathsf{X}}; \qquad\qquad \mathsf{Q}\overline{\mathsf{X}}=\mathsf{X}. \]

Aquestes relacions són vàlides per a qualsevol vector de coordenades en les bases $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$. És a dir, tenim un procediment per a passar d’unes coordenades a altres.

Definició 2.11 (Matriu canvi de base) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i siguen $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ i $\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{n}\}$ dues bases de $V$. Definim la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$ a la matriu en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ que té, per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, com a columna $i$ les coordenades del vector $e_{i}$ en la base $\overline{\mathcal{B}}$.

Proposició 2.15 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i siguen $\mathcal{B}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ i $\overline{\mathcal{B}}=\{\overline{e}_{1},\cdots, \overline{e}_{n}\}$ dues bases de $V$. Siga $\mathsf{P}=(\alpha_{ij})$ en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$. Aleshores, $\mathsf{P}$ és l’única matriu que satisfà que, per a tot vector $v\in V$, si $\mathsf{X}$ i $\overline{\mathsf{X}}$ són les coordenades del vector $v$ en, respectivament, $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$, aleshores \[ \mathsf{P}\mathsf{X}=\overline{\mathsf{X}}. \]

Demostració. Siga $v$ un vector en $V$ i siguen $\mathsf{X}$ i $\overline{\mathsf{X}}$ les coordenades de $v$ en, respectivament, $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$. Aleshores \[ v=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(e_{i}); \qquad\qquad v=\overline{\mathsf{X}}^{\mathsf{t}}(\overline{e}_{i}). \]

Siga $\mathsf{P}=(\alpha_{ij})$ la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$. Aleshores, les columnes de $\mathsf{P}$ tenen les coordenades dels vectors de $\mathcal{B}$ en la base $\overline{\mathcal{B}}$. Així, s’han de satisfer les $n$ equacions de la dreta \[ \mathsf{P}= \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \cdots &\alpha_{1n} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ \alpha_{n1} & \cdots &\alpha_{nn} \\ \end{bmatrix} \qquad\qquad \begin{array}{l} e_{1}=\alpha_{11}\overline{e}_{1}+\cdots +\alpha_{n1}\overline{e}_{n}\\ \,\vdots\quad\qquad\vdots\quad\qquad\qquad\vdots\\ e_{n}=\alpha_{1n}\overline{e}_{1}+\cdots +\alpha_{nn}\overline{e}_{n}\\ \end{array} \]

Aquestes $n$ equacions queden descrites en l’expressió matricial $(e_{i})=\mathsf{P}^{\mathsf{t}}(\overline{e}_{i})$.

Així, substituint en l’expressió coordenada de $v$ en la base $\mathcal{B}$ tenim que \[ v=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(e_{i})=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}\mathsf{P}^{\mathsf{t}}(\overline{e}_{i})=(\mathsf{P}\mathsf{X})^{\mathsf{t}}(\overline{e}_{i}). \]

Per la Proposició 2.14, les coordenades d’un vector en una base són úniques, així \[\mathsf{PX}=\overline{\mathsf{X}}.\]

Siga ara $\mathsf{P}'$ una matriu en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ amb la propietat que, per a tot vector $v\in V$, si $\mathsf{X}$ i $\overline{\mathsf{X}}$ són les coordenades de $v$ en, respectivament, $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$, aleshores es té que \[ \mathsf{P}'\mathsf{X}=\overline{\mathsf{X}}. \]

Anem a provar que $\mathsf{P}'=\mathsf{P}$. Considerem, per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, el vector $e_{i}$ de la base $\mathcal{B}$. Siguen $\mathsf{X}_{i}$ i $\overline{\mathsf{X}}_{i}$ les coordenades d’$e_{i}$ en, respectivament, $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$. Així, per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, es té que \[ \mathsf{P}'\mathsf{X}_{i}=\overline{\mathsf{X}}_{i}. \]

Notem que, per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, la matriu de coordenades del vector $e_{i}$ en la base $\mathcal{B}$, és a dir $\mathsf{X}_{i}$, ve donada per una matriu tota $0$ a excepció de la posició $i$, on conté un $1$. Així, per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, la multiplicació $\mathsf{P}'\mathsf{X}_{i}$ retornarà la columna $i$ de la matriu $\mathsf{P}'$. Per altra banda, la matriu de coordenades del vector $e_{i}$ en la base $\overline{\mathcal{B}}$, és a dir $\overline{\mathsf{X}}_{i}$, és, per definició, la columna $i$ de la matriu $\mathsf{P}$. Així, en l’expressió anterior, per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, es té que la columna $i$ de $\mathsf{P}'$ ha de ser igual a la columna $i$ de la matriu $\mathsf{P}$.

Per tant $\mathsf{P}'=\mathsf{P}$.

Proposició 2.16 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat i siguen $\mathcal{B}$, $\overline{\mathcal{B}}$ i $\overline{\overline{\mathcal{B}}}$ tres bases de $V$. Siguen $\mathsf{P}$ i $\mathsf{Q}$ en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$ les matrius de canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$ i de canvi de base de $\overline{\mathcal{B}}$ a $\overline{\overline{\mathcal{B}}}$, respectivament. Aleshores, $\mathsf{QP}$ és la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\overline{\mathcal{B}}}$.

Demostració. Siga $v$ un vector de $V$ i siguen $\mathsf{X}$, $\overline{\mathsf{X}}$ i $\overline{\overline{\mathsf{X}}}$ les coordenades de $v$ en, respectivament, $\mathcal{B}$, $\overline{\mathcal{B}}$, $\overline{\overline{\mathcal{B}}}$. Aleshores se satisfan les següents equacions \[(\mathsf{Q}\mathsf{P})\mathsf{X}=\mathsf{Q}(\mathsf{PX})=\mathsf{Q}\overline{\mathsf{X}}=\overline{\overline{\mathsf{X}}}.\] Per la Proposició 2.15, la matriu $\mathsf{QP}$ és la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\overline{\mathcal{B}}}$.

Proposició 2.17 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat i siguen $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$ dues bases de $V$. Siga $\mathsf{P}$ la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$, aleshores $\mathsf{P}$ és una matriu invertible.

Demostració. Notem que la matriu identitat $\mathsf{I}$ és la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}$. Per altra banda, si considerem $\mathsf{Q}$, la matriu canvi de base de $\overline{\mathcal{B}}$ a $\mathcal{B}$, tenim per la Proposició 2.16 que $\mathsf{Q}\mathsf{P}$ és la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}$. Així, per la unicitat de la matriu canvi de base, demostrada a la Proposició 2.15, es dedueix que $\mathsf{Q}\mathsf{P}=\mathsf{I}$, és a dir, $\mathsf{P}$ és invertible.

Nota

Nota. Siga $n$ un natural en $\mathbb{N}$. Considerem el $\mathbb{K}$-espai vectorial $\mathbb{K}^{n}$. Siga $\mathcal{B}$ una base de $\mathbb{K}^{n}$ i siga $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ la base canònica de $\mathbb{K}^{n}$, aleshores la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ és la matriu que conté les components dels vectors de $\mathcal{B}$ escrites en columna.

Aquest fet pot facilitar el càlcul de la matriu canvi de base entre dues bases $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$. Si $\mathsf{P}$ és la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ i $\mathsf{Q}$ és la matriu canvi de base de $\overline{\mathcal{B}}$ a $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$, aleshores la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$ és $\mathsf{Q}^{-1}\mathsf{P}$.

Proposició 2.18 Siga $n$ un natural en $\mathbb{N}$. Siga $\mathsf{P}$ una matriu quadrada en $\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})$, aleshores les següents afirmacions són equivalents

$\mathsf{P}$ és una matriu invertible en $\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})$;
Els vectors columna de $\mathsf{P}$, transposats, formen una base de $\mathbb{K}^{n}$;
Existeixen bases $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$ de $\mathbb{K}^{n}$ per a les quals $\mathsf{P}$ és la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$.

Demostració. Provem les diferents implicacions.

Suposem que $\mathsf{P}$ té a la matriu $\mathsf{Q}$ com a matriu inversa, on \[ \mathsf{P}= \begin{bmatrix} \pi_{11}&\cdots&\pi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \pi_{n1}&\cdots&\pi_{nn}\\ \end{bmatrix}, \qquad\qquad \mathsf{Q}= \begin{bmatrix} \kappa_{11}&\cdots&\kappa_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \kappa_{n1}&\cdots&\kappa_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Aleshores de l’equació $\mathsf{PQ}=\mathsf{I}_{n}$, obtenim, considerant per a cada $i\in\{1,\cdots,n\}$ la columna $i$-èssima de $\mathsf{Q}$, l’equació següent \[ \begin{bmatrix} \pi_{11}&\cdots&\pi_{1i}&\cdots&\pi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \pi_{i1}&\cdots&\pi_{ii}&\cdots&\pi_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \pi_{n1}&\cdots&\pi_{ni}&\cdots&\pi_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_{1i} \\ \vdots \\ \kappa_{ii} \\ \vdots \\ \kappa_{ni} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \]

És a dir, la columna $i$-èssima de la matriu identitat de tamany $n$ es recupera com el producte de $\mathsf{P}$ per la columna $i$-èssima de $\mathsf{Q}$. Desenvolupant, obtenim la següent expressió \[ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \pi_{11}&\cdots&\pi_{1i}&\cdots&\pi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \pi_{i1}&\cdots&\pi_{ii}&\cdots&\pi_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \pi_{n1}&\cdots&\pi_{ni}&\cdots&\pi_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \kappa_{1i} \\ \vdots \\ \kappa_{ii} \\ \vdots \\ \kappa_{ni} \end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix} \kappa_{1i}\pi_{11}+\cdots+\kappa_{ii}\pi_{1i}+\cdots+\kappa_{ni}\pi_{1n} \\ \vdots \\ \kappa_{1i}\pi_{i1}+\cdots+\kappa_{ii}\pi_{ii}+\cdots+\kappa_{ni}\pi_{in} \\ \vdots \\ \kappa_{1i}\pi_{n1}+\cdots+\kappa_{ii}\pi_{ni}+\cdots+\kappa_{ni}\pi_{nn} \end{bmatrix} \\&= \kappa_{1i} \begin{bmatrix} \pi_{11} \\ \vdots \\ \pi_{i1} \\ \vdots \\ \pi_{n1} \end{bmatrix} +\cdots+ \kappa_{ii} \begin{bmatrix} \pi_{1i} \\ \vdots \\ \pi_{ii} \\ \vdots \\ \pi_{ni} \end{bmatrix} +\cdots+ \kappa_{ni} \begin{bmatrix} \pi_{1n} \\ \vdots \\ \pi_{in} \\ \vdots \\ \pi_{nn} \end{bmatrix} \end{aligned} \]

Aleshores, transposant l’anterior expressió arribem a que, per a cada $i\in\{1,\cdots,n\}$, s’obté que \[ \begin{aligned} (0,\cdots,1,\cdots,0) =\,& \kappa_{1i} (\pi_{11},\cdots,\pi_{i1},\cdots, \pi_{n1}) \\&+\cdots+ \kappa_{ii} (\pi_{1i},\cdots,\pi_{ii},\cdots,\pi_{ni}) \\&+\cdots+ \kappa_{ni} (\pi_{1n},\cdots,\pi_{in},\cdots,\pi_{nn}) \end{aligned} \]

És a dir, la columna $i$-èssima de la matriu $\mathsf{Q}$ són les coordenades del vector $i$-èssim de la base canònica, és a dir, $(0,\cdots,1,\cdots,0)$, respecte els vectors columna de la matriu $\mathsf{P}$ transposats.

És a dir, podem garantir que tots els vectors de la base canònica de $\mathbb{K}^{n}$ es recuperen com a combinació lineal dels vectors columna de $\mathsf{P}$ transposats. És a dir, aquests vectors columna, transposats, són sistema generador de $\mathbb{K}^{n}$. Com la dimensió de $\mathbb{K}^{n}$ com a $\mathbb{K}$-espai vectorial és $n$, per la Proposició 2.10, s’obté que aquests $n$ vectors formen base de $\mathbb{K}^{n}$.

Suposem ara (ii), és a dir, que els vectors columna de $\mathsf{P}$, transposats, formen base, diem-li $\mathcal{B}$, de $\mathbb{K}^{n}$. Per altra banda, considerem $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$, la base canònica de $\mathbb{K}^{n}$. Aleshores la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ és precisament $\mathsf{P}$.

Finalment, (iii) implica (i) apareix demostrat a la Proposició 2.17.

Torna a dalt