Afinitats

En aquest capítol introduïm el concepte d’afinitat entre espais afins sobre el mateix cos.

Definició 10.1 (Afinitat) Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins amb $V$ i $V'$ $\mathbb{K}$-espais vectorials. Una aplicació $f\colon A\longrightarrow A'$ s’anomena aplicació afí o afinitat si existeix una aplicació lineal $\overline{f}\colon V\longrightarrow V'$ de forma que, per a tot $P,Q\in A$, se satisfà la següent equació \[ \overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overline{f}\left(\overrightarrow{PQ}\right). \]

A l’aplicació $\overline{f}$ l’anomenarem aplicació lineal subjacent a $f$.

Exemple 10.1 Considerem els espais afins estàndard $(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{3}, +)$ i $(\mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{2}, +)$ i l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{R}^{3}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{2}\\ &(x,y,z)&\longmapsto& (3x+y+2, -z+1) \end{array} \]

Notem que $f$ no és lineal, perquè $f(0,0,0)\neq (0,0)$. Aquesta aplicació, en canvi, sí que és una afinitat, ja que, per a l’aplicació lineal \[ \begin{array}{rccl} \overline{f}\colon&\mathbb{R}^{3}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{2}\\ &(x,y,z)&\longmapsto& (3x+y, -z) \end{array} \] trobem que, si $P=(x,y,z)$ i $Q=(x',y',z')$ són dos punts arbitraris en $\mathbb{R}^{3}$, aleshores es dóna la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} \overrightarrow{f(P)f(Q)}&=\overrightarrow{ (3x+y+2, -z+1) (3x'+y'+2, -z'+1)} \\&=(3(x'-x)+(y'-y), -(z'-z)) \\&=\overline{f}(x'-x,y'-y,z'-z) \\&=\overline{f}(\overrightarrow{PQ}). \end{aligned} \]

Exemple 10.2 Siga $(A,V,+)$ un espai afí. L’aplicació identitat \[ \mathrm{id}_{A}\colon A\longrightarrow A \] és una aplicació afí amb aplicació lineal subjacent l’aplicació identitat $\mathrm{id}_{V}\colon V\longrightarrow V$, ja que per a qualsevol parell de punts $P,Q\in A$ es té que \[ \overrightarrow{\mathrm{id}_{A}(P)\mathrm{id}_{A}(Q)} = \overrightarrow{PQ} = \mathrm{id}_{V}\left(\overrightarrow{PQ}\right). \]

Nota

Nota. Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins amb $V$ i $V'$ $\mathbb{K}$-espais vectorials i $f\colon A\longrightarrow A'$ una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V\longrightarrow V'$. Aleshores, si $P,Q$ són punts en $A$, \[ \overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overline{f}(\overrightarrow{PQ}) \qquad \mbox{ si, i només si, } \qquad f(Q)=f(P)+\overline{f}(\overrightarrow{PQ}). \]

Equivalentment, si $P\in A$ i $v\in V$, aleshores \[ f(P+v)=f(P)+\overline{f}(v). \]

Proposició 10.1 Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins amb $V$ i $V'$ $\mathbb{K}$-espais vectorials i $f\colon A\longrightarrow A'$ una afinitat, aleshores l’aplicació lineal subjacent a $f$ és única.

Demostració. Suposem que $f$ admet dues aplicacions lineals subjacents \[ \overline{f}_{1}\colon V\longrightarrow V', \qquad\qquad \overline{f}_{2}\colon V\longrightarrow V'. \]

Siga $P$ un punt en $A$ i $v$ un vector en $V$. Si anomenem $Q=P+v$, aleshores $\overrightarrow{PQ}=v$. Emprant que $\overline{f}_{1}$ i $\overline{f}_{2}$ són aplicacions lineals subjacents a $f$ trobem que \[ \overline{f}_{1}(v)=\overline{f}_{1}(\overrightarrow{PQ})=\overrightarrow{f(P)f(Q)}= \overline{f}_{2}(\overrightarrow{PQ})=\overline{f}_{2}(v). \]

És a dir, $\overline{f}_{1}(v)=\overline{f}_{2}(v)$ per a tot $v\in V$. Per tant, $\overline{f}_{1}=\overline{f}_{2}$.

La següent proposició ens diu que per a donar una afinitat només cal conéixer la imatge d’un punt i l’aplicació lineal subjacent.

Proposició 10.2 Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins amb $V$ i $V'$ $\mathbb{K}$-espais vectorials, $g\colon V\longrightarrow V'$ una aplicació lineal i $P\in A$ i $P'\in A'$ dos punts. Aleshores existeix una única afinitat \[ f\colon A\longrightarrow A' \] que satisfà les següents condicions

$f(P)=P'$;
$\overline{f}=g$.

Demostració. Definim l’aplicació $f$ com segueix \[ \begin{array}{rccl} f\colon&A&\longrightarrow&A'\\ &P+v&\longmapsto&P'+g(v) \end{array}. \]

Ens caldrà demostrar que $f$ és afinitat, envia $P$ a $P'$, té com a aplicació lineal subjacent a $g$ i, a més, és l’única afinitat amb aquestes propietats.

Per definició d’$f$, \[f(P)=f(P+0)=P'+g(0)=P'+0=P'.\]

Siguen $Q,R$ dos punts qualssevol en $A$, aleshores tenim que \[ f(Q)=f(P+\overrightarrow{PQ})=P'+g(\overrightarrow{PQ}), \qquad\qquad f(R)=f(P+\overrightarrow{PR})=P'+g(\overrightarrow{PR}). \]

Així, trobem que \[ \begin{aligned} \overrightarrow{f(Q)f(R)} &= -g(\overrightarrow{PQ})+g(\overrightarrow{PR}) &&\text{(per l'anterior discussió)} \\&= g(-\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PR}) &&\text{($g$ és lineal)} \\&= g(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PR}) &&\text{(1)} \\&= g(\overrightarrow{QR}), &&\text{(Chasles)} \end{aligned} \] on en (1) hem emprat les propietats bàsiques dels espais afins.

Per tant $f$ és afinitat amb aplicació lineal subjacent $g$.

Finalment, si $f'\colon A\longrightarrow A'$ fóra una altra afinitat satisfent que $f'(P)=P'$ i tal que la seua aplicació lineal subjacent fóra $g$, aleshores tindríem que, per a tot $v\in V$, es donaria la següent cadena d’igualtats \[ f'(P+v)=f'(P)+\overline{f}'(v) =P'+g(v)=f(P+v). \]

Queda, així, demostrada la proposició.

Exemple 10.3 Considerem els espais afins estàndard $(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{2},+)$ i $(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{3},+)$. Considerem els punts $(0,1)\in\mathbb{R}^{2}$ i $(0,1,-2)\in\mathbb{R}^{3}$ i l’aplicació lineal \[ \begin{array}{rccl} g\colon&\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{3}\\ &(x,y)&\longmapsto&(x,x+y,0) \end{array}. \]

Per la Proposició 10.2 l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{3}\\ &(0,1)+v&\longmapsto&(0,1,-2)+g(v) \end{array} \] és l’única afinitat d’$\mathbb{R}^{2}$ a $\mathbb{R}^{3}$ que satisfà $f(0,1)=(0,1,-2)$ i que té a $g$ com a aplicació lineal subjacent. Notem que tot punt d’$\mathbb{R}^{2}$ de la forma $(x,y)$ es pot escriure com \[ (x,y)=(0,1)+(x,y-1). \] A més, \[(0,1,-2)+g(x,y-1)=(0,1,-2)+(x,x+y-1,0)=(x,x+y,-2). \]

Per tant, l’afinitat $f$ es pot escriure com \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{3}\\ &(x,y)&\longmapsto&(x,x+y,-2). \end{array} \]

Es comprova fàcilment que aquesta és l’afinitat desitjada.

Presentem la definició de punt fixe.

Definició 10.2 (Punt fixe) Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $f\colon A\longrightarrow A$ una afinitat. Direm que $P\in A$ és un punt fixe per a $f$ si \[ f(P)=P. \]

Denotem per $\mathrm{Fix}(f)$ al conjunt de punts fixos d’$f$, és a dir, \[ \mathrm{Fix}(f)=\{P\in A\mid f(P)=P\}. \]

A continuació vorem que, si no és buit, el conjunt de punts fixos d’una afinitat és una varietat afí.

Proposició 10.3 Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $f\colon A\longrightarrow A$ una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V\longrightarrow V$. Si $P\in \mathrm{Fix}(f)$, aleshores \[ \mathrm{Fix}(f)=\mathrm{Ker}(\overline{f}-\mathrm{id}_{V})_{P}. \]

Demostració. Siga $Q$ un punt en $\mathrm{Fix}(f)$, aleshores ocorre que \[ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ}&=\overrightarrow{f(P)f(Q)} &&\text{($P$ i $Q$ són punts fixos)} \\&= \overline{f}(\overrightarrow{PQ}). &&\text{($f$ és afinitat)} \end{aligned} \]

Per tant, $(\overline{f}-\mathrm{id}_{V})(\overrightarrow{PQ})=0$, és a dir, $\overrightarrow{PQ}\in\mathrm{Ker}(\overline{f}-\mathrm{id}_{V})$. Així, \[ Q=P+\overrightarrow{PQ}\in \mathrm{Ker}(\overline{f}-\mathrm{id}_{V})_{P}. \]

Per altra banda, suposem que $Q$ és un punt en $\mathrm{Ker}(\overline{f}-\mathrm{id}_{V})_{P}$, aleshores existeix un vector $v\in \mathrm{Ker}(\overline{f}-\mathrm{id}_{V})$ de forma que $Q=P+v$. Notem en particular que $\overline{f}(v)=v$. Així, trobem que \[ \begin{aligned} f(Q)&=f(P+v) &&\text{(caracterització de $Q$)} \\&= f(P)+\overline{f}(v) &&\text{($f$ és afinitat)} \\&= P+v &&\text{($P\in\mathrm{Fix}(f)$ i $\overline{f}(v)=v$)} \\&= Q. &&\text{(caracterització de $Q$)} \end{aligned} \]

Aleshores, $Q\in \mathrm{Fix}(f)$.

Concloem, per tant, que $\mathrm{Fix}(f)=\mathrm{Ker}(\overline{f}-\mathrm{id}_{V})_{P}$.

A continuació vorem que les afinitats transformen varietats afins en varietats afins.

Proposició 10.4 Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins sobre $\mathbb{K}$, siga $W_{P}$ una varietat afí en $A$ i siga $f\colon A\longrightarrow A'$ una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V\longrightarrow V'$. Aleshores \[ f[W_{P}]=\overline{f}[W]_{f(P)}. \]

Demostració. Siga $Q$ un punt en $f[W_{P}]$, aleshores existeix un punt $R\in W_{P}$ de forma que $f(R)=Q$. Així trobem que \[ Q=f(R)=f(P+\overrightarrow{PR})=f(P)+\overline{f}(\overrightarrow{PR}). \]

Notem que, per la caracterització de l’espai director, el vector $\overrightarrow{PR}\in W$. Així, concloem que \[ Q=f(P)+\overline{f}(\overrightarrow{PR})\in \overline{f}[W]_{f(P)}. \]

Siga ara $Q$ un punt en $\overline{f}[W]_{f(P)}$, aleshores $Q=f(P)+u$, on $u$ és un vector en $\overline{f}[W]$. Ocorre, llavors, que existeix un $w\in W$ de forma que $\overline{f}(w)=u$. Ajuntant-ho tot, trobem que \[ Q=f(P)+u=f(P)+\overline{f}(w)=f(P+w)\in f[W_{P}]. \]

Concloem, per tant, que $f[W_{P}]=\overline{f}[W]_{f(P)}$.

10.1 Expressió matricial d’una afinitat

Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins de dimensió finita sobre un cos $\mathbb{K}$. Considerem dos sistemes de referència afí

$\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})$, sistema de referència afí per a $A$;
$\overline{\mathcal{R}}=(\overline{O}, \overline{\mathcal{B}})$, sistema de referència afí per a $A'$.

Siga $f\colon A\longrightarrow A'$ una afinitat i $P$ un punt en $A$. Anomenem

$\mathsf{X}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\mathsf{Y}$ les coordenades d’$f(P)$ en $\overline{\mathcal{R}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{\overline{O}f(P)}$ en $\overline{\mathcal{B}}$).

Considerem l’aplicació lineal subjacent a l’afinitat $f$, és a dir, $\overline{f}\colon V\longrightarrow V'$, i prenem $\mathsf{A}$ la matriu coordenada d’$\overline{f}$ de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$.

Aleshores trobem que $\mathsf{AX}$ són les coordenades d’$\overline{f}\left( \overrightarrow{OP} \right)$ en la base $\overline{\mathcal{B}}$.

Notem, en particular, que $\mathsf{AX}$ no és, necessàriament, igual a $\mathsf{Y}$ en aquest cas. No obstant, trobem, per Chasles i pel fet que $f$ és una afinitat, que \[ \overrightarrow{\overline{O}f(P)}= \overrightarrow{\overline{O}f(O)}+ \overrightarrow{f(O)f(P)} = \overrightarrow{\overline{O}f(O)}+ \overline{f}\left( \overrightarrow{OP}\right). \tag{$\square$} \]

Anomenem, finalment, $\mathsf{B}$ les coordenades d’$f(O)$ en $\overline{\mathcal{R}}$ (coordenades d’$\overrightarrow{\overline{O}f(O)}$ en $\overline{\mathcal{B}}$).

Aleshores, per $(\square)$, trobem que \[ \mathsf{Y}=\mathsf{B}+\mathsf{AX}. \]

Anomenarem a aquesta última expressió l’equació coordenada de l’afinitat $f$ del sistema de referència afí $\mathcal{R}$ al sistema de referència afí $\overline{\mathcal{R}}$. Aquesta expressió també pot escriure’s en forma compacta com segueix \[ \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline \mathsf{Y} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c|c} 1&0\\ \hline \mathsf{B}&\mathsf{A} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline \mathsf{X} \end{array} \right]. \]

Exemple 10.4 Considerem els espais afins estàndard $(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R}^{2},+)$ i $(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{3},+)$ i l’aplicació afí \[ \begin{array}{rccl} f\colon&\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{3}\\ &(x,y)&\longmapsto&(x+y+1,x-2,3x) \end{array} \]

La corresponent aplicació lineal subjacent ve donada per \[ \begin{array}{rccl} \overline{f}\colon&\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{3}\\ &(x,y)&\longmapsto&(x+y,x,3x) \end{array} \]

Considerem els sistemes de referència afí canònics en $\mathbb{R}^{2}$ i $\mathbb{R}^{3}$ i considerem

$\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&0\\ 3&0 \end{bmatrix}$ la matriu coordenada d’$\overline{f}$ de la base canònica d’$\mathbb{R}^{2}$ a la base canònica d’$\mathbb{R}^{3}$;
$\begin{bmatrix} 1& -2& 0 \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ les coordenades d’$f(O_{\mathbb{R}^{2}})$ en el sistema de referència canònic d’$\mathbb{R}^{3}$.

Així, si $(x,y)$ és un punt qualsevol d’$\mathbb{R}^{2}$, tenim que

$\begin{bmatrix} x& y \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades de $(x,y)$ en el sistema de referència canònic d’$\mathbb{R}^{2}$;
$\begin{bmatrix} x+y+1& x-2& 3x \end{bmatrix}^{\mathsf{t}}$ són les coordenades d’$f(x,y)$ en el sistema de referència canònic d’$\mathbb{R}^{3}$.

Així, efectivament, trobem l’expressió coordenada \[ \begin{bmatrix} x+y+1\\ x-2\\ 3x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1&1\\ 1&0\\ 3&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}, \] o, en la seua forma compacta, \[ \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline x+y+1\\ x-2\\ 3x \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline 1&1&1\\ -2&1&0\\ 0&3&0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} 1\\ \hline x\\ y \end{array} \right]. \]

Siga $(A,V,+)$ un espai afí de dimensió $n$ i siga $f\colon A\longrightarrow A$ una afinitat. Considerem un sistema de referència afí $\mathcal{R}=(O, \mathcal{B})$ per a $A$ i anomenem

$\mathsf{A}$ la matriu coordenada d’$\overline{f}$ en $\mathcal{B}$;
$\mathsf{B}$ les coordenades d’$f(O)$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{Of(O)}$ en $\mathcal{B}$).

Aleshores, si $P$ és un punt en $A$ i anomenem

$\mathsf{X}$ les coordenades de $P$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{OP}$ en $\mathcal{B}$);
$\mathsf{Y}$ les coordenades d’$f(P)$ en $\mathcal{R}$ (coordenades d’$\overrightarrow{Of(P)}$ en $\mathcal{B}$),

trobem l’expressió coordenada d’$f$ en $\mathcal{R}$ donada per \[ \mathsf{Y}=\mathsf{B}+\mathsf{AX}. \]

Notem que $f$ tindrà un punt fixe si, i només si, els sistemes següents, que són equivalents, tenen solució \[ \mathsf{X}=\mathsf{B}+\mathsf{AX}; \qquad\qquad (\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n})\mathsf{X}=-\mathsf{B}. \]

Proposició 10.5 Siga $(A,V,+)$ un espai afí de dimensió $n$ i siga $f\colon A\longrightarrow A$ una afinitat. Siga $\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})$ un sistema de referència afí i siga \[ \mathsf{Y}=\mathsf{B}+\mathsf{AX} \] l’expressió coordenada d’$f$ en $\mathcal{R}$. Les següents afirmacions són equivalents

$f$ té punts fixos;
El sistema d’equacions $(\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n})\mathsf{X}=-\mathsf{B}$ té solució.

Corol·lari 10.1 Siga $(A,V,+)$ un espai afí de dimensió $n$ i siga $f\colon A\longrightarrow A$ una afinitat. Siga $\mathcal{R}=(O,\mathcal{B})$ un sistema de referència afí i siga \[ \mathsf{Y}=\mathsf{B}+\mathsf{AX} \] l’expressió coordenada d’$f$ en $\mathcal{R}$. Si $f$ té punts fixos, és a dir, si $\mathrm{Fix}(f)\neq \varnothing$, aleshores el conjunt de punts fixos és la varietat afí que, en el sistema de referència $\mathcal{R}$, té equacions cartesianes \[ (\mathsf{A}-\mathsf{I}_{n})\mathsf{X}=-\mathsf{B}. \]

10.2 Grup afí

En aquesta secció comprovarem les propietats bàsiques de la composició d’afinitats i estudiarem la caracterització de les condicions d’injectivitat i sobrejectivitat d’una afinitat en relació a aquestes condicions sobre l’aplicació lineal subjacent.

Proposició 10.6 Siguen $(A,V,+)$, $(A',V',+)$ i $(A'',V'',+)$ tres espais afins sobre un cos $\mathbb{K}$. Siguen

$f\colon A\longrightarrow A'$ una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V\longrightarrow V'$;
$g\colon A'\longrightarrow A''$ una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{g}\colon V'\longrightarrow V''$.

Aleshores $g\circ f\colon A\longrightarrow A''$ és una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{g}\circ\overline{f}\colon V\longrightarrow V''$, és a dir, la composició de les respectives aplicacions lineals subjacents.

Demostració. Siguen $P,Q$ punts en $A$, aleshores es dóna la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} \overrightarrow{(g\circ f)(P)(g\circ f)(Q)} &= \overrightarrow{g(f(P))g(f(Q))} &&\text{(definició de la composició)} \\&= \overline{g}\left( \overrightarrow{f(P)f(Q)} \right) &&\text{($g$ és afinitat)} \\&= \overline{g}\left(\overline{f}\left( \overrightarrow{PQ} \right)\right) &&\text{($f$ és afinitat)} \\&= \left( \overline{g} \circ \overline{f} \right) \left( \overrightarrow{PQ} \right). &&\text{(definició de la composició)} \end{aligned} \]

Recordem que, per la proposició sobre la composició d’aplicacions lineals, la composició d’aplicacions lineals torna a ser una aplicació lineal. Així doncs, $g\circ f$ torna a ser una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{g}\circ \overline{f}$.

Proposició 10.7 Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins sobre un cos $\mathbb{K}$. Siga $f\colon A\longrightarrow A'$ una aplicació afí amb aplicació lineal subjacent $\overline{f}\colon V\longrightarrow V'$. Aleshores

$f$ és injectiva si, i només si, $\overline{f}$ és injectiva;
$f$ és sobrejectiva si, i només si, $\overline{f}$ és sobrejectiva;
$f$ és bijectiva si, i només si, $\overline{f}$ és bijectiva.

Demostració. Per al primer ítem. Suposem que $f$ és injectiva. Anem a demostrar que $\overline{f}$ és injectiva. Siguen $v$ i $w$ vectors en $V$ tals que $\overline{f}(v)=\overline{f}(w)$. Aleshores, si $P$ és un punt qualsevol en $A$, com que $f$ és una afinitat, trobem que \[ f(P+v)=f(P)+\overline{f}(v)=f(P)+\overline{f}(w)=f(P+w). \]

Per la injectivitat d’$f$ trobem que $P+v=P+w$. Així doncs, \[ 0=\overrightarrow{(P+v)(P+w)}=w-v. \] Per tant, $v=w$ i tenim que $\overline{f}$ és injectiva.

Suposem ara que $\overline{f}$ és injectiva. Anem a demostrar que $f$ és injectiva. Siguen $P$ i $Q$ dos punts en $A$ tals que $f(P)=f(Q)$. Aleshores, com que $f$ és una afinitat, trobem que \[ 0=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overline{f}(\overrightarrow{PQ}). \]

Aleshores $\overrightarrow{PQ}$ és un vector en $\mathrm{Ker}(\overline{f})$. Per la injectivitat d’$\overline{f}$, obtenim que $\overrightarrow{PQ}$ és el vector $0$. Per tant, $P=P+0=P+\overrightarrow{PQ}=Q$, i tenim que $f$ és injectiva.

Per al segon ítem. Suposem que $f$ és sobrejectiva. Anem a demostrar que $\overline{f}$ és sobrejectiva. Siga $v'$ un vector en $V'$. Fixem un punt $P\in A$ i considerem el punt $f(P)+v'\in A'$. Aleshores, com que l’aplicació $f$ és sobrejectiva, existeix un punt $Q$ en $A$ de forma que $f(Q)=f(P)+v'$. Així, emprant que $f$ és una afinitat, trobem que \[ f(P)+v'=f(Q)=f\left(P+\overrightarrow{PQ}\right)=f(P)+\overline{f}\left(\overrightarrow{PQ}\right). \]

Aleshores \[ 0=\overrightarrow{(f(P)+v')\left(f(P)+\overline{f}\left(\overrightarrow{PQ}\right)\right)} =\overline{f}\left(\overrightarrow{PQ}\right)-v'. \] Així, obtenim que $\overline{f}(\overrightarrow{PQ})=v'$, és a dir, $\overline{f}$ és sobrejectiva.

Suposem ara que $\overline{f}$ és sobrejectiva. Anem a demostrar que $f$ és sobrejectiva. Siga $P'$ un punt en $A'$. Considerem un punt $P$ en $A$ i la seua imatge $f(P)\in A'$. Aleshores podem considerar el vector $\overrightarrow{f(P)P'}\in V'$. Com que $\overline{f}$ és sobrejectiva, existeix un vector $v\in V$ de manera que $\overline{f}(v)=\overrightarrow{f(P)P'}$. Aleshores, per al punt $P+v$ en $A$ i tenint en compte que $f$ és una afinitat, trobem que \[ f(P+v)=f(P)+\overline{f}(v)=f(P)+\overrightarrow{f(P)P'}=P'. \]

És a dir, $f$ és sobrejectiva.

Finalment, la condició sobre la bijectivitat és conseqüència de les altres dues equivalències.

Nota

Nota. Com a conseqüència de la Proposició 10.7 podrem parlar de monomorfismes, epimorfismes i isomorfismes afins per a referir-nos a afinitats injectives, sobrejectives i bijectives, respectivament.

Proposició 10.8 Siguen $(A,V,+)$ i $(A',V',+)$ dos espais afins sobre un cos $\mathbb{K}$ i $f\colon A\longrightarrow A'$ un isomorfisme afí amb isomorfisme subjacent $\overline{f}\colon V\longrightarrow V'$. Aleshores $f^{-1}\colon A'\longrightarrow A$ és un isomorfisme afí amb isomorfisme subjacent $\overline{f}^{-1}\colon V'\longrightarrow V$.

Demostració. Com $\overline{f}$ és un isomorfisme, la seua aplicació inversa, és a dir, $\overline{f}^{-1}$, és un isomorfisme. A més, si $P'$ i $Q'$ són dos punts en $A'$, com que $f$ és bijectiva, existeixen uns únics punts $P$ i $Q$ en $A$ tals que $f(P)=P'$ i $f(Q)=Q'$.

Com que $f$ és afinitat, tenim que \[ \overrightarrow{P'Q'}=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\overline{f}(\overrightarrow{PQ}). \]

Com que $\overline{f}$ és bijectiva, trobem que $\overline{f}^{-1}(\overrightarrow{P'Q'})=\overrightarrow{PQ}$. Aleshores, trobem que \[ \overrightarrow{f^{-1}(P')f^{-1}(Q')}= \overrightarrow{PQ} = \overline{f}^{-1}(\overrightarrow{P'Q'}). \]

Per tant, $f^{-1}$ és una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\overline{f}^{-1}$. Finalment, per la Proposició 10.7, concloem que $f^{-1}$ és un isomorfisme afí.

Definició 10.3 (Grup afí) Siga $(A,V,+)$ un espai afí. Definim el conjunt d’isomorfismes afins en $A$ com \[ \mathrm{GA}(A)=\{ f\colon A\longrightarrow A\mid f\mbox{ és isomorfisme afí} \}. \] Per les Proposicions 10.6 i 10.8 i l’Exemple 10.2, és fàcil comprovar que $\mathrm{GA}(A)$ admet una estructura de grup per a la composició d’aplicacions habitual, que anomenarem grup afí d’$A$.

Nota

Nota. Siga $(A,V,+)$ un espai afí i siga $\mathcal{R}$ un sistema de referència afí per a $A$. Aleshores l’aplicació que envia cada $f\in\mathrm{GA}(A)$ a la seua matriu coordenada respecte de $\mathcal{R}$ és un isomorfisme de grups.

10.3 Exemples d’afinitats

10.3.1 Translacions

Definició 10.4 (Translació) Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $v$ un vector en $V$. Aleshores la translació de vector $v$ es defineix com l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{t}_{v}\colon& A&\longrightarrow &A\\ &P&\longmapsto&P+v. \end{array} \]

Proposició 10.9 Siga $(A,V,+)$ un espai afí i $v$ un vector en $V$. Aleshores la translació de vector $v$ és un isomorfisme afí amb aplicació lineal subjacent l’aplicació identitat $\mathrm{id}_{V}\colon V\longrightarrow V$.

A més, si $v$ i $w$ són dos vectors en $V$, aleshores \[ \mathrm{t}_{v}\circ\mathrm{t}_{w}=\mathrm{t}_{v+w}. \]

En particular, \[\mathrm{t}^{-1}_{v}=\mathrm{t}_{-v}.\]

Demostració. Siguen $P$ i $Q$ dos punts en $A$. Aleshores es dóna la següent cadena d’igualtats \[ \overrightarrow{\mathrm{t}_{v}(P)\mathrm{t}_{v}(Q)} = \overrightarrow{(P+v)(Q+v)} = \overrightarrow{PQ} = \mathrm{id}_{V}\left(\overrightarrow{PQ}\right). \]

Així, $\mathrm{t}_{v}$ és una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\mathrm{id}_{V}$. Per la Proposició 10.7 es té que $\mathrm{t}_{v}$ és un isomorfisme afí.

Si $v$ i $w$ són dos vectors en $V$ i $P$ un punt en $A$, aleshores \[ \mathrm{t}_{v}(\mathrm{t}_{w}(P))= \mathrm{t}_{v}(P+w)=(P+w)+v=P+(v+w)=\mathrm{t}_{v+w}(P). \]

Finalment, notem que \[ \mathrm{t}_{v}\circ\mathrm{t}_{-v}=\mathrm{t}_{0}=\mathrm{id}_{A}. \]

Per tant, $\mathrm{t}^{-1}_{v}=\mathrm{t}_{-v}$.

Exemple 10.5 En l’$\mathbb{R}$-espai afí estàndard $\mathbb{R}^{2}$ considerem la translació de vector $(1,3)$, és a dir, \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{t}_{(1,3)}\colon&\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{2}\\ &(x,y)&\longmapsto&(x+1,y+3). \end{array} \]

Si considerem el sistema de referència afí canònic, aleshores la matriu afí associada a aquesta translació ve donada per la matriu \[ \left[ \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline 1&1&0\\ 3&0&1 \end{array} \right]. \]

10.3.2 Homotècies

Definició 10.5 (Homotècia) Siga $(A,V,+)$ un espai afí sobre $\mathbb{K}$, $C$ un punt en $A$ i $\alpha$ un escalar en $\mathbb{K}$. Definim l’homotècia de centre $C$ i raó $\alpha$ com l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{h}_{C,\alpha}\colon&A&\longrightarrow&A\\ &P&\longmapsto& C+\alpha\overrightarrow{CP} \end{array} \]

Proposició 10.10 Siga $(A,V,+)$ un espai afí sobre $\mathbb{K}$, $C$ un punt en $A$ i $\alpha$ un escalar en $\mathbb{K}$. Aleshores l’homotècia de centre $C$ i raó $\alpha$ és una afinitat amb aplicació lineal subjacent l’aplicació \[\alpha\,\mathrm{id}_{V}\colon V\longrightarrow V.\]

A més, si $\alpha$ i $\beta$ són dos escalars en $\mathbb{K}$, aleshores \[ \mathrm{h}_{C,\alpha}\circ\mathrm{h}_{C,\beta}=\mathrm{h}_{C,\alpha\beta}. \]

En particular, si $\alpha\neq 0$, aleshores \[\mathrm{h}^{-1}_{C,\alpha}=\mathrm{h}_{C,\alpha^{-1}}.\]

Demostració. Siguen $P$ i $Q$ dos punts en $A$. Notem la següent cadena d’igualtats \[ \overrightarrow{ \mathrm{h}_{C,\alpha}(P) \mathrm{h}_{C,\alpha}(Q) } = \overrightarrow{ (C+\alpha\overrightarrow{CP}) (C+\alpha\overrightarrow{CQ}) } = -\alpha\overrightarrow{CP}+\alpha\overrightarrow{CQ} = \alpha\left( \overrightarrow{PC} + \overrightarrow{CQ} \right) = \alpha \overrightarrow{PQ} = \alpha\,\mathrm{id}_{V}\left( \overrightarrow{PQ} \right). \]

Així, $\mathrm{h}_{C,\alpha}$ és una afinitat amb aplicació lineal subjacent $\alpha\,\mathrm{id}_{V}$.

Si $\alpha$ i $\beta$ són dos escalars en $\mathbb{K}$ i $P$ un punt en $A$, aleshores \[ \mathrm{h}_{C,\alpha}\left( \mathrm{h}_{C,\beta}(P) \right) = \mathrm{h}_{C,\alpha}\left( C+\beta \overrightarrow{CP} \right) = C+\alpha\overrightarrow{C(C+\beta \overrightarrow{CP})} = C+\alpha\beta\overrightarrow{CP} = \mathrm{h}_{C,\alpha\beta}(P). \]

Finalment, si $\alpha\neq 0$, notem que \[ \mathrm{h}_{C,\alpha}\circ\mathrm{h}_{C,\alpha^{-1}} = \mathrm{h}_{C,1} = \mathrm{id}_{A}. \]

Per tant, $\mathrm{h}^{-1}_{C,\alpha}=\mathrm{h}_{C,\alpha^{-1}}$.

Exemple 10.6 En l’$\mathbb{R}$-espai afí estàndard $\mathbb{R}^{2}$ considerem l’homotècia de centre $(1,2)$ i raó $3$, \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{h}_{(1,2),3}\colon &\mathbb{R}^{2}&\longrightarrow&\mathbb{R}^{2}\\ &(x,y)&\longmapsto &(3x-2,3y-4). \end{array} \]

Notem que $(1,2)+3\overrightarrow{(1,2)(x,y)}=(1,2)+3(x-1,y-2)=(3x-2,3y-4)$. Si considerem el sistema de referència afí canònic, aleshores la matriu afí associada a aquesta homotècia ve donada per la matriu \[ \left[ \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline -2&3&0\\ -4&0&3 \end{array} \right]. \]

Torna a dalt