Determinant

En aquest capítol introduirem l’aplicació determinant. Caracteritzarem aquesta aplicació per la seua acció sobre matrius elementals i en deduirem les seues propietats més importants, amb especial atenció a la caracterització de la invertibilitat de matrius en funció del seu determinant.

Definició 5.1 (Determinant) Anomenem aplicació determinant a tota aplicació \[ \mathrm{Det}\colon\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K} \] que satisfaça les condicions que s’enumeren a continuació.

\(\mathrm{Det}(\mathsf{I}_{n})=1\). És a dir, el determinant de la matriu identitat de tamany \(n\) és \(1\);
Siguen \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i\neq j\). Aleshores per a tota matriu \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{ij}\mathsf{A})=-\mathrm{Det}(\mathsf{A}); \]
Siga \(1\leq i\leq n\) i \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\). Aleshores per a tota matriu \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{\lambda i}^{(n)}\mathsf{A})=\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{A}); \]
Siguen \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i\neq j\) i \(\lambda\in\mathbb{K}\). Aleshores per a tota matriu \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{i+\lambda j}^{(n)}\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

L’objectiu principal d’aquest capítol serà demostrar que existeix una única aplicació determinant i que aquesta aplicació determinant ens permet caracteritzar la invertibilitat de matrius. No obstant, comprovarem en un primer pas que, de la definició d’aplicació determinant, podem obtindre moltes propietats.

5.1 Propietats del determinant

De la Definició 5.1 obtenim les següents conseqüències.

Corol·lari 5.1 Siga \(\mathrm{Det}\colon\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}\) una aplicació determinant. Aleshores

Siguen \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i\neq j\), aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{ij})=-1\);
Siga \(1\leq i\leq n\) i siga \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\), aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i})=\lambda\);
Siguen \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i\neq j\) i siga \(\lambda\in\mathbb{K}\), aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j})=1\).

Demostració. Només cal notar que tota matriu elemental s’expressa com a \(\mathsf{E}^{(n)}=\mathsf{E}^{(n)}\mathsf{I}_{n}\) i que, de la definició d’aplicació determinant, es té que \(\mathrm{Det}(\mathsf{I}_{n})=1\).

Corol·lari 5.2 Siga \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) i siga \(\mathsf{E}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) una matriu elemental. Aleshores \[\mathrm{Det}(\mathsf{E}\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{E})\mathrm{Det}(\mathsf{A}).\]

Demostració. Conseqüència directa de la definició d’aplicació determinant i del Corol·lari 5.1.

Nota

Nota. A partir d’ara suposarem que els cossos amb els quals treballem seran no trivials amb característica diferent a \(2\). Recordem que, per la proposició corresponent dels preliminars, aquests cossos contenen més elements que \(0\) i \(1\).

Corol·lari 5.3 Siga \(\mathrm{Det}\colon\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}\) una aplicació determinant. Siga \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\), aleshores

Si \(\mathsf{A}\) té una fila de zeros, aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})=0\);
Si \(\mathsf{A}\) té dues files diferents i proporcionals, aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})=0\).

Demostració. Suposem que per a un índex \(1\leq i\leq n\), es té que la fila \(i\) d’\(\mathsf{A}\) és una fila de zeros. Considerem un escalar \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0,1\}\), aleshores es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A})=\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

Si suposem que \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})\neq 0\), aleshores en l’anterior expressió podem dividir ambdues parts per \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})\) per a obtindre que \(\lambda=1\), contradient l’elecció de \(\lambda\). Per tant, \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})=0\).

Per al segon apartat. Suposem que per als índexs \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i\neq j\) es té que les files \(i\) i \(j\) d’\(\mathsf{A}\) són proporcionals amb un factor de proporció \(\lambda\in\mathbb{K}\). Així \(f_{i}=\lambda f_{j}\) i, per tant, en restar a la fila \(i\) la fila \(j\) multiplicada per \(\lambda\) es tindria una fila de zeros. Aleshores, per la definició d’aplicació determinant i per l’anterior apartat, es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{i-\lambda j}\mathsf{A})=0. \]

Queda així provat el corol·lari.

Proposició 5.1 Siga \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Són equivalents

\(\mathsf{A}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\), és a dir, \(\mathsf{A}\) és invertible;
\(\mathrm{Det}(\mathsf{A})\neq 0\).

Demostració. Considerem les diferents implicacions.

(i)\(\rightarrow\)(ii) Suposem que \(\mathsf{A}\) és invertible. Aleshores per la caracterització de les matrius invertibles, podem expressar \(\mathsf{A}\) com a un producte finit de matrius elementals \[ \mathsf{A}=\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l}. \] Aleshores, de la Definició 5.1, obtenim \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1})\cdots\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{l}). \] Pel Corol·lari 5.1, totes les matrius elementals tenen determinant diferent a zero. Aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})\neq 0\).
(ii)\(\rightarrow\)(i) Ho provem pel contrarecíproc. Suposem que \(\mathsf{A}\) no és invertible. Anomenem \(\mathsf{C}\) a la forma esglaonada reduïda per files d’\(\mathsf{A}\). Aleshores per la caracterització de les matrius invertibles, \(\mathsf{C}\) no té rang màxim, és a dir, \(\mathsf{C}\) necessàriament conté una fila de zeros. Així, pel Corol·lari 5.3, es té que \(\mathrm{Det}(\mathsf{C})=0\).

A més, pel mètode de Gauss-Jordan, podem trobar una seqüència finita d’operacions elementals per fila que transformen la matriu \(\mathsf{A}\) en la matriu \(\mathsf{C}\). Aquestes operacions elementals es codifiquen com una seqüència finita de matrius elementals que multipliquen a \(\mathsf{A}\) a esquerra fins obtindre \(\mathsf{C}\). És a dir, existeixen matrius elementals \(\mathsf{E}_{1},\cdots,\mathsf{E}_{l}\) de forma que \[ \mathsf{E}_{l}\cdots\mathsf{E}_{1}\mathsf{A}=\mathsf{C}. \] Per la invertibilitat de les matrius elementals, les matrius elementals són invertibles. Així, de l’anterior expressió, deduïm que \[ \mathsf{A}=\mathsf{E}_{1}^{-1}\cdots\mathsf{E}_{l}^{-1}\mathsf{C}. \] Recordem que, a més, les inverses de matrius elementals tornen a ser matrius elementals. Així, pel Corol·lari 5.1, es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1}^{-1}\cdots\mathsf{E}_{l}^{-1}\mathsf{C}) = \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1}^{-1}) \cdots \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{l}^{-1}) \mathrm{Det}(\mathsf{C})=0. \]

Queda així demostrada la proposició.

Lema 5.1 Siguen \(\mathsf{A},\mathsf{B}\) matrius en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Si \(\mathsf{A}\) no és invertible, aleshores \(\mathsf{AB}\) tampoc és invertible.

Demostració. Siga \(\mathsf{A}\) una matriu no invertible. Suposem per reducció a l’absurd que \(\mathsf{AB}\) és invertible. Aleshores existeix una matriu \(\mathsf{C}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) per a la qual \((\mathsf{AB})\mathsf{C}=\mathsf{I}_{n}\). Aleshores \[ \mathsf{A}(\mathsf{BC})=(\mathsf{AB})\mathsf{C}=\mathsf{I}_{n}. \] Aleshores arribem a la contradicció que \(\mathsf{A}\) és invertible. Per tant, \(\mathsf{AB}\) no és invertible.

Proposició 5.2 Siguen \(\mathsf{A},\mathsf{B}\) matrius en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{AB})=\mathrm{Det}(\mathsf{A})\mathrm{Det}(\mathsf{B}). \]

Demostració. Considerem dos casos.

Si \(\mathsf{A}\) és una matriu invertible, per la caracterització de les matrius invertibles, existeixen matrius elementals \(\mathsf{E}_{1},\cdots, \mathsf{E}_{l}\) de forma que \[ \mathsf{A}=\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l}. \] Aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{AB})=\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l}\mathsf{B})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1})\cdots\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{l})\mathrm{Det}(\mathsf{B})= \mathrm{Det}(\mathsf{A})\mathrm{Det}(\mathsf{B}). \]

Si \(\mathsf{A}\) no és invertible, aleshores \(\mathsf{AB}\) tampoc és invertible pel Lema 5.1. Aleshores, per la Proposició 5.1, es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})\mathrm{Det}(\mathsf{B})=0=\mathrm{Det}(\mathsf{AB}). \]

En qualsevol cas, \(\mathrm{Det}(\mathsf{AB})=\mathrm{Det}(\mathsf{A})\mathrm{Det}(\mathsf{B})\).

Corol·lari 5.4 Siga \(\mathsf{A}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) una matriu invertible. Aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A}^{-1})=\frac{1}{\mathrm{Det}(\mathsf{A})}. \]

Demostració. Com \(\mathsf{A}^{-1}\mathsf{A}=\mathsf{I}_{n}\) es té, per la Definició 5.1 i la Proposició 5.2, que \[ 1=\mathrm{Det}(\mathsf{I}_{n})=\mathrm{Det}(\mathsf{A}^{-1})\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \] Per altra banda, com \(\mathsf{A}\) és una matriu invertible, per la Proposició 5.1, el seu determinant no és nul. Per tant, en l’anterior expressió podem passar dividint \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})\) fins a obtindre l’expressió desitjada.

Passem a continuació a investigar la relació entre el determinant d’una matriu i el determinant de la seua matriu transposada.

Proposició 5.3 Siga \(\mathsf{E}\in\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{K})\) una matriu elemental. Aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{E})=\mathrm{Det}(\mathsf{E}^{\mathsf{t}})\).

Demostració. Per a la demostració d’aquesta proposició tindrem en compte els resultats de la proposició sobre transposades de matrius elementals, on s’especifica la forma concreta de les respectives matrius elementals. Així, considerem els diferents casos.

Siguen \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i\neq j\). Aleshores \(\mathsf{E}^{\mathsf{t}}_{ij}=\mathsf{E}_{ij}\) i el resultat se segueix de forma immediata.
Siga \(1\leq i\leq n\) i siga \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\). Aleshores \(\mathsf{E}_{\lambda i}^{\mathsf{t}}=\mathsf{E}_{\lambda i}\) i el resultat se segueix de forma immediata.
Siguen \(1\leq i,j\leq n\) i siga \(\lambda\in\mathbb{K}\). Aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{\mathsf{t}}_{i+\lambda j})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{j+\lambda i})= 1= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{i+\lambda j}). \]

Queda així demostrada la proposició.

Proposició 5.4 Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\), aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}})\).

Demostració. Considerem dos casos per a \(\mathsf{A}\): (i) que siga invertible o (ii) que no ho siga.

Si \(\mathsf{A}\) és una matriu invertible, aleshores per la caracterització de les matrius invertibles, tenim l’existència d’una seqüència finita de matrius elementals \(\mathsf{E}_{1},\cdots,\mathsf{E}_{l}\) tals que \[ \mathsf{A}=\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l}. \] Aleshores, la matriu transposada d’\(\mathsf{A}\) s’expressa com a \[ \mathsf{A}^{\mathsf{t}}=\mathsf{E}_{l}^{\mathsf{t}}\cdots\mathsf{E}_{1}^{\mathsf{t}}. \] Aleshores, emprant les Proposicions 5.2 i 5.3, arribem a que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{l}^{\mathsf{t}}\cdots\mathsf{E}_{1}^{\mathsf{t}})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{l}^{\mathsf{t}})\cdots\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1}^{\mathsf{t}})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{l})\cdots\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1})= \mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]
Si \(\mathsf{A}\) no és invertible aleshores, pel corol·lari sobre la invertibilitat de la transposada, es té que \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\) tampoc és invertible. Aleshores per la Proposició 5.1 es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}})=0=\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

En qualsevol cas, el determinant d’una matriu coincideix amb el de la seua transposada.

5.2 Existència i unicitat

En aquesta darrera secció, comprovarem l’existència i unicitat de l’aplicació determinant.

Proposició 5.5 (Unicitat de l’aplicació determinant) L’aplicació determinant és única.

Demostració. Suposem que existeixen dues aplicacions determinant \[ \mathrm{Det}\colon\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}; \qquad\qquad \mathrm{Det}'\colon\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}. \]

Aleshores, pel Corol·lari 5.1, tenim que les aplicacions \(\mathrm{Det}\) i \(\mathrm{Det}'\) coincideixen per a matrius elementals. És a dir, si \(\mathsf{E}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) és una matriu elemental, aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E})=\mathrm{Det}'(\mathsf{E}). \]

Siga \(\mathsf{A}\) una matriu qualsevol en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Volem demostrar que \(\mathrm{Det}(\mathsf{A})=\mathrm{Det}'(\mathsf{A})\). Considerem dos casos per a \(\mathsf{A}\): (i) que siga invertible o (ii) que no ho siga.

Si \(\mathsf{A}\) és una matriu invertible, aleshores per la caracterització de les matrius invertibles, tenim l’existència d’una seqüència finita de matrius elementals \(\mathsf{E}_{1},\cdots,\mathsf{E}_{l}\) tals que \[ \mathsf{A}=\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l}. \] Aleshores, emprant la Proposició 5.2, arribem a que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l})= \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{1})\cdots\mathrm{Det}(\mathsf{E}_{l})= \mathrm{Det}'(\mathsf{E}_{1})\cdots\mathrm{Det}'(\mathsf{E}_{l})= \mathrm{Det}'(\mathsf{E}_{1}\cdots\mathsf{E}_{l})= \mathrm{Det}'(\mathsf{A}). \]
Si \(\mathsf{A}\) no és invertible aleshores, per la Proposició 5.1, es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})=0=\mathrm{Det}'(\mathsf{A}). \]

En qualsevol cas, les dues aplicacions són iguals.

L’existència de l’aplicació determinant es comprovarà per inducció sobre el tamany de les matrius. Per a poder definir-la necessitem introduir la noció de menor d’una matriu.

Definició 5.2 (Menor) Siga \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\) amb \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\). Siguen \(1\leq k\leq m\) i \(1\leq l\leq n\), anomenem menor \(kl\) d’\(\mathsf{A}\), denotat per \(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}\), a la matriu que resulta d’eliminar en \(\mathsf{A}\) la fila \(k\) i la columna \(l\).

Definim a continuació, per recursió sobre el tamany de la matriu, l’aplicació que després comprovarem que és una aplicació determinant.

Definició 5.3 (Desenvolupament del determinant per una fila) Si \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{1}(\mathbb{K})\), aleshores definim \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{Det}\colon&\mathrm{M}_{1}(\mathbb{K})&\longrightarrow&\mathbb{K}\\ &\mathsf{A}&\longmapsto&\alpha_{11},\qquad\mbox{on }\mathsf{A}=\begin{bmatrix} \alpha_{11} \end{bmatrix} \end{array} \]

Suposada definida l’aplicació determinant per a matrius de tamany fins a \(n-1\), siga \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) amb \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\), i siga \(1\leq k\leq n\) un índex qualsevol que quedarà fixat, aleshores definim \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{Det}\colon&\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})&\longrightarrow&\mathbb{K}\\ &\mathsf{A}&\longmapsto&\sum\limits_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}). \end{array} \]

Anomenarem a aquesta definició desenvolupament del determinant per la fila \(k\).

Exemple 5.1 Comprovarem l’expressió concreta que té l’aplicació determinant sobre matrius de tamanys \(2\) i \(3\). Per a l’exemple prendrem la convenció \(k=1\), és a dir, desenvoluparem l’expressió del determinant per la fila \(1\).

Si \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{2}(\mathbb{K})\) amb \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{12}\\ \alpha_{21}&\alpha_{22} \end{bmatrix} \]

Si \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{3}(\mathbb{K})\) amb \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\alpha_{12}&\alpha_{13}\\ \alpha_{21}&\alpha_{22}&\alpha_{23}\\ \alpha_{31}&\alpha_{32}&\alpha_{33}\\ \end{bmatrix} \]

Aleshores \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{A})&=(-1)^{1+1}\alpha_{11}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{11}})+ (-1)^{1+2}\alpha_{12}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{12}}) +(-1)^{1+3}\alpha_{13}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{13}}) \\ &=\alpha_{11}\mathrm{Det} \left( \begin{bmatrix} \alpha_{22}&\alpha_{23}\\ \alpha_{32}&\alpha_{33} \end{bmatrix} \right)- \alpha_{12}\mathrm{Det} \left( \begin{bmatrix} \alpha_{21}&\alpha_{23}\\ \alpha_{31}&\alpha_{33} \end{bmatrix} \right)+ \alpha_{13}\mathrm{Det} \left( \begin{bmatrix} \alpha_{21}&\alpha_{22}\\ \alpha_{31}&\alpha_{32} \end{bmatrix} \right) \\ &= \alpha_{11}(\alpha_{22}\alpha_{33}-\alpha_{23}\alpha_{32}) -\alpha_{12}(\alpha_{21}\alpha_{33}-\alpha_{23}\alpha_{31}) +\alpha_{13}(\alpha_{21}\alpha_{32}-\alpha_{22}\alpha_{31})\\ &=\alpha_{11}\alpha_{22}\alpha_{33}+\alpha_{12}\alpha_{23}\alpha_{31}+ \alpha_{21}\alpha_{32}\alpha_{13}- \alpha_{13}\alpha_{22}\alpha_{31}- \alpha_{21}\alpha_{12}\alpha_{33}- \alpha_{32}\alpha_{23}\alpha_{11}. \end{aligned} \]

Aquesta darrera expressió rep el nom de Regla de Sarrus per al càlcul del determinant d’una matriu en \(\mathrm{M}_{3}(\mathbb{K})\).

Per a la demostració que l’aplicació \(\mathrm{Det}\) acabada de definir és una vertadera aplicació determinant, necessitarem considerar els següents lemes previs.

Lema 5.2 Siga un índex \(1\leq i\leq n\), i siguen \(\mathsf{A}\), \(\mathsf{B}\) i \(\mathsf{C}\) les següents matrius en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \qquad \mathsf{B}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{i1}&\cdots&\beta_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \qquad \mathsf{C}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}+\beta_{i1}&\cdots&\alpha_{in}+\beta_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

Aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{C})=\mathrm{Det}(\mathsf{A})+\mathrm{Det}(\mathsf{B})\).

Demostració. Farem la demostració per inducció sobre el tamany de les matrius.

Cas base. Quan \(n=1\). En aquest cas l’únic índex possible és \(i=1\). Així es té que \[ \mathrm{Det}\left( \begin{bmatrix} \alpha_{11}+\beta_{11} \end{bmatrix} \right) =\alpha_{11}+\beta_{11} =\mathrm{Det}\left( \begin{bmatrix} \alpha_{11} \end{bmatrix} \right)+ \mathrm{Det}\left( \begin{bmatrix} \beta_{11} \end{bmatrix} \right) \]

Pas inductiu. Suposem que l’equació és certa per a matrius de tamany fins a \(n-1\). Anem a demostrar que la corresponent equació també se satisfà per a matrius de tamany \(n\).

Siga \(1\leq i\leq n\). Per a la demostració necessitarem diferenciar els casos (i) \(k=i\) i (ii) \(k\neq i\), on \(k\) és la fila per la qual desenvolupem el determinant.

Cas \(k=i\). Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), es té que \[ \mathsf{A}_{\widehat{kl}}=\mathsf{B}_{\widehat{kl}}=\mathsf{C}_{\widehat{kl}}. \]

Així, \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{C}) &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k +\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\b &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k +\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\b &=\mathrm{Det}(\mathsf{ \end{aligned} \] ii. Cas \mathsf{A}_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \xi_{11} &\cdots \vdots &\ddots \widehat{\xi_{k1}} &\cdots \vdots &\ddots \alpha_{i1} &\cdots \vdots &\ddots \xi_{n1} &\cdots \end{bmatrix} \qquad \mathsf{B}_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \xi_{11} &\cdots \vdots &\ddots \widehat{\xi_{k1}} &\cdots \vdots &\ddots \beta_{i1} &\cdots \vdots &\ddots \xi_{n1} &\cdots \end{bmatrix} \] \[ \mathsf{C}_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \xi_{11} &\cdots \vdots &\ddots \widehat{\xi_{k1}} &\cdots \vdots &\ddots \alpha_{i1}+\beta_{i1} &\cdots \vdots &\ddots \xi_{n1} &\cdots \end{bmatrix} \] +l}(\alpha_{kl}+\beta_{kl})\mathrm{Det}(\mathsf{C}_{\widehat{kl}})\\ +l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{C}_{\widehat{kl}}) eta_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{C}_{\widehat{kl}})\\ +l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}) eta_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})\\ A})+\mathrm{Det}(\mathsf{B}). \(k\neq i\). Suposem sense pèrdua de generalitat que \(k<i\). Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), els respectius menors vénen donats per les següents matrius, on l’absència d’una entrada ve marcada per \(\widehat{\cdot}\) \[ &\widehat{\xi_{1l}} &\cdots &\xi_{1n}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\xi_{kl}} &\cdots &\widehat{\xi_{kn}}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\alpha_{il}} &\cdots &\alpha_{in}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\xi_{nl}} &\cdots &\xi_{nn}\\ &\widehat{\xi_{1l}} &\cdots &\xi_{1n}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\xi_{kl}} &\cdots &\widehat{\xi_{kn}}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\beta_{il}} &\cdots &\beta_{in}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\xi_{nl}} &\cdots &\xi_{nn}\\ &\widehat{\xi_{1l}} &\cdots &\xi_{1n}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\xi_{kl}} &\cdots &\widehat{\xi_{kn}}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\alpha_{il}+\beta_{il}} &\cdots &\alpha_{in}+\beta_{in}\\ &\vdots &\ddots &\vdots\\ &\widehat{\xi_{nl}} &\cdots &\xi_{nn}\\

Aleshores, per inducció, per a tot \(1\leq l\leq n\), es té que \[\mathrm{Det}(\mathsf{C}_{\widehat{kl}}) =\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}})+\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}}).\]

D’aquesta forma, se satisfan les següents equacions \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{C})&=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\xi_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{C}_{\widehat{kl}})\\ &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\xi_{kl}\left(\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}})+\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})\right)\\ &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\xi_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}) +\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\xi_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})\\ &=\mathrm{Det}(\mathsf{A})+\mathrm{Det}(\mathsf{B}). \end{aligned} \]

En qualsevol cas, \(\mathrm{Det}(\mathsf{C})=\mathrm{Det}(\mathsf{A})+\mathrm{Det}(\mathsf{B})\).

Provarem a continuació que el determinant d’una matriu amb dues files iguals és zero.

Lema 5.3 Siga \(n\in\mathbb{N}\) amb \(n\geq 2\), si l’aplicació \(\mathrm{Det}\colon \mathrm{M}_{n-1}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}\) és una aplicació determinant i \(\mathsf{B}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) és una matriu amb dues files iguals, aleshores \(\mathrm{Det}(\mathsf{B})=0\).

Demostració. Siguen \(1\leq i,j\leq n\) índexs amb \(i<j\) i siga \(\mathsf{B}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\) tal que la fila \(i\) i la fila \(j\) coincideixen, és a dir, una matriu del tipus \[ \mathsf{B}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{i1}&\cdots&\beta_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{j1}&\cdots&\beta_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

on, per a tot \(1\leq l\leq n\), se satisfà que \(\beta_{il}=\beta_{jl}\). Anem a demostrar que \(\mathrm{Det}(\mathsf{B})=0\).

Cal diferenciar casos depenent de la relació de \(k\), l’índex pel qual desenvolupem l’expressió del determinant de \(\mathsf{B}\), i dels índexs \(i\) i \(j\). Així distingirem els casos \(k=i\), \(k=j\) i \(k\neq i,j\).

Cas \(k=i\). En aquest cas es té que, per a tot \(1\leq l\leq n\), els menors \(kl\) i \(jl\) de la matriu \(\mathsf{B}\) venen donats per les matrius \[ \mathsf{B}_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots &\widehat{\xi_{1l}}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\beta_{k1}}&\cdots&\widehat{\beta_{kl}}&\cdots&\widehat{\beta_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{j1}&\cdots&\widehat{\beta_{jl}}&\cdots&{\beta_{jn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots &\widehat{\xi_{nl}}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \qquad \mathsf{B}_{\widehat{jl}}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots &\widehat{\xi_{1l}}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{k1}&\cdots&\widehat{\beta_{kl}}&\cdots&{\beta_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\beta_{j1}}&\cdots&\widehat{\beta_{jl}}&\cdots&\widehat{\beta_{jn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots &\widehat{\xi_{nl}}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

En aquest cas es dóna la següent igualtat \[ \mathsf{B}_{\widehat{kl}}=\mathsf{E}^{(n-1)}_{(j-2)(j-1)}\cdots\mathsf{E}^{(n-1)}_{(k+1)(k+2)}\mathsf{E}^{(n-1)}_{k(k+1)}\mathsf{B}_{\widehat{jl}}. \] És a dir, per a obtindre el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{B}\), podem partir del menor \(jl\) de la matriu \(\mathsf{B}\) i traslladar la fila \(k\), cap avall i fila per fila, fins a la posició \(j-1\). Com per hipòtesi \(\mathrm{Det}\colon\mathrm{M}_{n-1}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}\) és una aplicació determinant, es té que, per a tot \(1\leq l\leq n\), \[ \mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})=(-1)^{j-k+1}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{jl}}). \]

Aleshores es té que \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{B})&=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\beta_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})\\ &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+j-j+l}\beta_{jl}(-1)^{j-k+1}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{jl}})\\ &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{2j-2k+1}(-1)^{j+l}\beta_{jl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{jl}})\\ &=-\sum_{l=1}^{n}(-1)^{j+l}\beta_{jl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{jl}})\\ &=-\mathrm{Det}(\mathsf{B}). \end{aligned} \]

De l’expressió \(\mathrm{Det}(\mathsf{B})=-\mathrm{Det}(\mathsf{B})\), deduïm que \(\mathrm{Det}(\mathsf{B})=0\).

Cas \(k=j\). En aquest cas es té que, per a tot \(1\leq l\leq n\), els menors \(kl\) i \(il\) de la matriu \(\mathsf{B}\) venen donats per les matrius \[ \mathsf{B}_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots &\widehat{\xi_{1l}}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{i1}&\cdots&\widehat{\beta_{il}}&\cdots&{\beta_{in}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\beta_{k1}}&\cdots&\widehat{\beta_{kl}}&\cdots&\widehat{\beta_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots &\widehat{\xi_{nl}}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \qquad \mathsf{B}_{\widehat{il}}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots &\widehat{\xi_{1l}}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\beta_{i1}}&\cdots&\widehat{\beta_{il}}&\cdots&\widehat{\beta_{in}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{k1}&\cdots&\widehat{\beta_{kl}}&\cdots&{\beta_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots &\widehat{\xi_{nl}}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

En aquest cas es dóna la següent igualtat \[ \mathsf{B}_{\widehat{kl}}=\mathsf{E}^{(n-1)}_{(i+1)i}\cdots\mathsf{E}^{(n-1)}_{(k-2)(k-3)}\mathsf{E}^{(n-1)}_{(k-1)(k-2)}\mathsf{B}_{\widehat{il}}. \] És a dir, per a obtindre el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{B}\), podem partir del menor \(il\) de la matriu \(\mathsf{B}\) i traslladar la fila \(k-1\), cap amunt i fila per fila, fins a la posició \(i\). Com per hipòtesi \(\mathrm{Det}\colon\mathrm{M}_{n-1}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}\) és una aplicació determinant, es té que, per a tot \(1\leq l\leq n\), \[ \mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})=(-1)^{i-k+1}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{il}}). \] A partir d’aquest punt, el raonament és anàleg al de l’anterior cas.

Cas \(k\neq i,j\). En aquest cas es té que, per a tot \(1\leq l\leq n\), el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{B}\) ve donat per la matriu \[ \mathsf{B}_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \xi_{11}&\cdots &\widehat{\xi_{1l}}&\cdots&\xi_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{i1}&\cdots&\widehat{\beta_{il}}&\cdots&{\beta_{in}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\beta_{k1}}&\cdots&\widehat{\beta_{kl}}&\cdots&\widehat{\beta_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \beta_{j1}&\cdots&\widehat{\beta_{jl}}&\cdots&{\beta_{jn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \xi_{n1}&\cdots &\widehat{\xi_{nl}}&\cdots&\xi_{nn}\\ \end{bmatrix} \]

Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), es té que el menor \(\mathsf{B}_{\widehat{kl}}\) té dues files iguals. Pel que fa a aquesta propietat, la posició relativa de \(k\) respecte als índexs \(i\) i \(j\) és indiferent. Com per hipòtesi \(\mathrm{Det}\colon\mathrm{M}_{n-1}(\mathbb{K})\longrightarrow\mathbb{K}\) és una aplicació determinant, es té que, per a tot \(1\leq l\leq n\), \[ \mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})=0. \]

Aleshores es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{B})=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\beta_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{\widehat{kl}})=0 \]

En qualsevol cas arribem a demostrar que \(\mathrm{Det}(\mathsf{B})=0\).

Proposició 5.6 (Existència de l’aplicació determinant) L’aplicació determinant existeix. Concretament, l’aplicació \(\mathrm{Det}\) donada en la Definició 5.3 és una aplicació determinant.

Demostració. Només caldrà comprovar que se satisfan les propietats requerides en la Definició 5.1. Farem la demostració per inducció sobre el tamany de les matrius.

Cas base. Per a matrius de tamany \(1\) es té que

Siga \(\mathsf{I}_{1}\) la matriu identitat de tamany \(1\). Així \[ \mathrm{Det}(\mathsf{I}_{1})=\mathrm{Det}(\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix})=1. \]
Notem que per a matrius de tamany \(1\) no podem trobar dos índexs diferents. Aleshores la propietat ii. se satisfà de forma trivial.
Siga \(\lambda\) un escalar no nul en \(\mathbb{K}-\{0\}\). Siga \(\mathsf{A}=\begin{bmatrix} \alpha_{11} \end{bmatrix}\in \mathrm{M}_{1}(\mathbb{K})\). Aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{\lambda 1}\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\begin{bmatrix} \lambda \alpha_{11} \end{bmatrix})=\lambda \alpha_{11}=\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]
Notem que per a matrius de tamany \(1\) no podem trobar dos índexs diferents. Aleshores la propietat iv. se satisfà de forma trivial.

Pas inductiu. Suposem que les aplicacions abans definides són, efectivament, aplicacions determinant per a matrius de tamany fins a \(n-1\). Anem a demostrar que l’aplicació definida per a matrius de tamany \(n\) és, efectivament, una aplicació determinant.

Siga \(\mathsf{I}_{n}\) la matriu identitat de tamany \(n\). Així \[ \mathrm{Det}(\mathsf{I}_{n})=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}((\mathsf{I}_{n})_{\widehat{kl}}). \]

Notem que en l’anterior expressió, \(\alpha_{kk}=1\) és l’única entrada no nul·la en la fila \(k\) d’\(\mathsf{I}_{n}\). Aleshores, en l’anterior sumatori, només quedaria el terme \(l=k\). Notem també que el menor \((\mathsf{I}_{n})_{\widehat{kk}}\) és la matriu identitat de tamany \(n-1\). Així, per inducció, es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{I}_{n})=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}((\mathsf{I}_{n})_{\widehat{kl}}) =(-1)^{k+k}(1)\mathrm{Det}(\mathsf{I}_{n-1})=1. \]

Siguen índexs \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i\neq j\). Considerem la matriu elemental \(\mathsf{E}^{(n)}_{ij}\) d’intercanvi de les files \(i\) i \(j\). Notem que aquesta matriu pot expressar-se en funció de les altres operacions elementals com segueix \[ \mathsf{E}^{(n)}_{ij}=\mathsf{E}^{(n)}_{(-1)j}\mathsf{E}^{(n)}_{i+j}\mathsf{E}^{(n)}_{j-i}\mathsf{E}^{(n)}_{i+j}, \] on \(\mathsf{E}^{(n)}_{(-1)j}\) denota la matriu elemental que multiplica la fila \(j\) per \(-1\), \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+j}\) la que suma a la fila \(i\) la fila \(j\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{j-i}\) la que resta a la fila \(j\) la fila \(i\).

Per tant, si comprovem que l’aplicació determinant funciona bé amb la resta d’operacions elementals ja ho tindríem, ja que, si \(\mathsf{A}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\), es tindria que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{ij}\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{(-1)j}\mathsf{E}^{(n)}_{i+j}\mathsf{E}^{(n)}_{j-i}\mathsf{E}^{(n)}_{i+j}\mathsf{A})=-\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

Siga un índex \(1\leq i\leq n\) i un escalar no nul \(\lambda\in\mathbb{K}-\{0\}\). Considerem la matriu elemental \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\) que multiplica la fila \(i\) per \(\lambda\). Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Volem comprovar que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{\lambda i}^{(n)}\mathsf{A})=\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

Considerem diferents casos depenent de la posició relativa de l’índex \(i\) respecte a l’índex \(k\) sobre el qual desenvolupem el determinant.

Cas \(i<k\). En aquest cas, les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}\) venen donades per les matrius següents \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}; \qquad\qquad \mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda \alpha_{i1}&\cdots&\lambda \alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), les entrades \(kl\) de les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}\) són iguals. També notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}\) coincideix amb el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{A}\) en totes les files a excepció de la fila \(i\), que queda multiplicada per \(\lambda\). És a dir, per a tot \(1\leq l\leq n\), es té que \[ (\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A})_{\widehat{kl}}=\mathsf{E}^{(n-1)}_{\lambda i}\mathsf{A}_{\widehat{kl}}. \]

Aleshores, per inducció, tenim que \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}) &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\,\mathrm{Det} (( \mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A})_{\widehat{kl}})\\ &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\,\mathrm{Det} ( \mathsf{E}^{(n-1)}_{\lambda i}\mathsf{A}_{\widehat{kl}})\\ &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\,\lambda \mathrm{Det} (\mathsf{A}_{\widehat{kl}})\\ &=\lambda\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\,\mathrm{Det} (\mathsf{A}_{\widehat{kl}})\\ &=\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \end{aligned} \]

Cas \(i>k\). En aquest cas, les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}\) venen donades per les matrius següents \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}; \qquad\qquad \mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda \alpha_{i1}&\cdots&\lambda \alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), les entrades \(kl\) de les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}\) són iguals. També notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A}\) coincideix amb el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{A}\) en totes les files a excepció de la fila \(i-1\), que queda multiplicada per \(\lambda\). És a dir, per a tot \(1\leq l\leq n\), es té que \[ (\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A})_{\widehat{kl}}=\mathsf{E}^{(n-1)}_{\lambda (i-1)}\mathsf{A}_{\widehat{kl}}. \]

A partir d’ací el raonament és anàleg al de l’anterior cas.

Cas \(i=k\). En aquest cas, les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda k}\mathsf{A}\) venen donades per les matrius següents \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}; \qquad\qquad \mathsf{E}^{(n)}_{\lambda k}\mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \lambda\alpha_{k1}&\cdots&\lambda\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), l’entrada \(kl\) de la matriu \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda k}\mathsf{A}\) és \(\lambda\) vegades l’entrada \(kl\) de la matriu \(\mathsf{A}\). També notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), els menors \(kl\) de les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda k}\mathsf{A}\) coincideixen. Aleshores, \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda k}\mathsf{A}) &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\lambda \alpha_{kl}\,\mathrm{Det} (( \mathsf{E}^{(n)}_{\lambda k}\mathsf{A})_{\widehat{kl}})\\ &=\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\lambda \alpha_{kl}\,\mathrm{Det} (\mathsf{A}_{\widehat{kl}})\\ &=\lambda\sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\,\mathrm{Det} (\mathsf{A}_{\widehat{kl}})\\ &=\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \end{aligned} \]

En qualsevol cas, queda demostrat que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{\lambda i}\mathsf{A})=\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

Siguen índexs \(1\leq i,j\leq n\) amb \(i< j\) i un escalar \(\lambda\in\mathbb{K}\). Considerem la matriu elemental \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\) que suma a la fila \(i\) la fila \(j\) multiplicada per \(\lambda\). Siga \(\mathsf{A}\) una matriu en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Volem comprovar que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}_{i+\lambda j}^{(n)}\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

Considerem diferents casos depenent de la posició relativa dels índexs \(i\) i \(j\) respecte a l’índex \(k\) sobre el qual desenvolupem el determinant.

Cas \(k=i\). En aquest cas, les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{k+\lambda j}\mathsf{A}\) venen donades per les matrius següents \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}; \qquad\qquad \mathsf{E}^{(n)}_{k+\lambda j}\mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}+\lambda \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{kn}+\lambda \alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), l’entrada \(kl\) de la matriu \(\mathsf{E}^{(n)}_{k+\lambda j}\mathsf{A}\) coincideix amb l’entrada \(kl\) d’\(\mathsf{A}\) més \(\lambda\) vegades l’entrada \(jl\) d’\(\mathsf{A}\). També notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), els menors \(kl\) de les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{k+\lambda j}\mathsf{A}\) coincideixen.

Aleshores \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{k+\lambda j}\mathsf{A}) &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}(\alpha_{kl}+\lambda\alpha_{jl})\mathrm{Det}((\mathsf{E}^{(n)}_{k+\lambda j}\mathsf{A})_{\widehat{kl}})\\ &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}(\alpha_{kl}+\lambda\alpha_{jl})\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}})\\ &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}) +\lambda \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{jl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}) \\ &= \mathrm{Det}(\mathsf{A}) +\lambda \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{jl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}). \end{aligned} \]

Notem que el terme \(\sum^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{jl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}})\) es correspon al determinant, desenvolupat per la fila \(k\), de la següent matriu \[ \mathsf{B}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix} \] És a dir, per a la matriu \(\mathsf{B}\), que coincideix amb \(\mathsf{A}\) en totes les files a excepció de la fila \(k\), on trobem una còpia de la fila \(j\) d’\(\mathsf{A}\). Pel Lema 5.3 es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{B})=0. \]

Aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{k+\lambda j}\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

Cas \(k=j\). En aquest cas, les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A}\) venen donades per les matrius següents \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}; \qquad \mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}+\lambda \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{in}+\lambda \alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), l’entrada \(kl\) de la matriu \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A}\) coincideix amb l’entrada \(kl\) d’\(\mathsf{A}\). També notem que, per a tot \(1\leq l\leq n\), els menors \(kl\) de les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A}\) venen donats per les següents expressions \[ \mathsf{A}_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\widehat{\alpha_{1l}}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&\widehat{\alpha_{il}}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\alpha_{k1}}&\cdots&\widehat{\alpha_{kl}}&\cdots&\widehat{\alpha_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\widehat{\alpha_{nl}}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}; \qquad \left(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A}\right)_{\widehat{kl}}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\widehat{\alpha_{1l}}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}+\lambda\alpha_{k1}&\cdots&\widehat{\alpha_{il}+\lambda \alpha_{kl}}&\cdots&\alpha_{in}+\lambda\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\alpha_{k1}}&\cdots&\widehat{\alpha_{kl}}&\cdots&\widehat{\alpha_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\widehat{\alpha_{nl}}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Per a cada \(1\leq l\leq n\), considerem la matriu de tamany \(n-1\) donada per \[ \mathsf{B}_{l}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\widehat{\alpha_{1l}}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\widehat{\alpha_{kl}}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \widehat{\alpha_{k1}}&\cdots&\widehat{\alpha_{kl}}&\cdots&\widehat{\alpha_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\widehat{\alpha_{nl}}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}, \] és a dir, la matriu que resulta de substituir, en el menor \(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}\), la fila corresponent a la fila \(i\) d’\(\mathsf{A}\) per la fila \(k\) d’\(\mathsf{A}\) (sense l’entrada \(l\)).

Així, per a tot \(1\leq l\leq n\), pel Lema 5.2 i per inducció arribem a que \[ \mathrm{Det}\left( \left(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A}\right)_{\widehat{kl}} \right) = \mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}})+\lambda\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{l}). \]

Aleshores \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A}) &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}((\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A})_{\widehat{kl}})\\ &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\left(\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}})+\lambda \mathrm{Det}(\mathsf{B}_{l})\right)\\ &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}) + \lambda \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{l}) \\ &= \mathrm{Det}(\mathsf{A}) + \lambda\sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{l}). \end{aligned} \]

Notem que el terme \(\sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\alpha_{kl}\mathrm{Det}(\mathsf{B}_{l})\) es correspon al determinant, desenvolupat per la fila \(k\), de la següent matriu de tamany \(n\) \[ \mathsf{C}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&{\alpha_{1l}}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&{ \alpha_{kl}}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ {\alpha_{k1}}&\cdots&{\alpha_{kl}}&\cdots&{\alpha_{kn}}\\ \vdots&\ddots&\vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&{\alpha_{nl}}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}, \] és a dir, la matriu \(\mathsf{C}\) que coincideix amb \(\mathsf{A}\) en totes les files a excepció de la fila \(i\), on trobem una còpia de la fila \(k\) d’\(\mathsf{A}\). Notem que \(\mathsf{C}_{\widehat{kl}}=\mathsf{B}_{l}\). Pel Lema 5.3 es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{C})=0. \]

Aleshores \[ \mathrm{Det}(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda k}\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{A}). \]

Cas \(k\neq i,j\). En aquest cas, les matrius \(\mathsf{A}\) i \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\mathsf{A}\) venen donades per les matrius següents \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}&\cdots&\alpha_{in}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}; \qquad \mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11}&\cdots&\alpha_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{i1}+\lambda \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{in}+\lambda \alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{k1}&\cdots&\alpha_{kn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{j1}&\cdots&\alpha_{jn}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \alpha_{n1}&\cdots&\alpha_{nn}\\ \end{bmatrix}. \]

Notem que per a tot \(1\leq l\leq n\) l’entrada \(kl\) de la matriu \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\mathsf{A}\) coincideix amb l’entrada \(kl\) de la matriu \(\mathsf{A}\). A més, el menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\mathsf{A}\) ve donat pel menor \(kl\) de la matriu \(\mathsf{A}\) més una operació elemental de tipus iii., on sumem una fila a una altra multiplicada per un escalar. Pel que fa a aquestes propietats, la posició relativa de \(k\) respecte als índexs \(i\) i \(j\) és indiferent. Per inducció es té que, per a tot \(1\leq l\leq n\), \[ \mathrm{Det}\left(\left(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\mathsf{A}\right)_{\widehat{kl}}\right)= \mathrm{Det}\left(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}\right). \]

Aleshores \[ \begin{aligned} \mathrm{Det}\left(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\mathsf{A}\right) &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\,\alpha_{kl}\,\mathrm{Det}\left(\left(\mathsf{E}^{(n)}_{i+\lambda j}\mathsf{A}\right)_{\widehat{kl}}\right)\\ &= \sum\limits^{n}_{l=1}(-1)^{k+l}\,\alpha_{kl}\,\mathrm{Det}\left(\mathsf{A}_{\widehat{kl}}\right)\\ &= \mathrm{Det}(\mathsf{A}). \end{aligned} \]

Hem comprovat que les propietats que defineixen una aplicació determinant són satisfetes per l’aplicació donada en la Definició 5.3. Queda demostrada l’existència de l’aplicació determinant.

Corol·lari 5.5 L’aplicació determinant pot desenvolupar-se tant per files com per columnes. Tots els desenvolupaments són iguals.

Demostració. De la demostració de la Proposició 5.6 es dedueix que l’elecció de la fila no importa.

Per a les columnes, siga un índex \(1\leq k\leq n\) qualsevol. Siga \(\mathsf{A}\) una matriu qualsevol en \(\mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\). Recordem que, per la Proposició 5.4, el determinant d’\(\mathsf{A}\) (desenvolupat per la fila \(k\)) coincideix amb el determinant d’\(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}\) (desenvolupat per la fila \(k\)). Recordem que si \(\mathsf{A}=(\alpha_{ij})\), aleshores \(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}=(\alpha_{ji})\).

Així es té que \[ \mathrm{Det}(\mathsf{A})=\mathrm{Det}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}})= \sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{lk}\mathrm{Det}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}_{\widehat{kl}})= \sum_{l=1}^{n}(-1)^{k+l}\alpha_{lk}\mathrm{Det}(\mathsf{A}_{\widehat{lk}}), \] on en l’última igualtat hem emprat que \((\mathsf{A}^{\mathsf{t}})_{\widehat{kl}}=(\mathsf{A}_{\widehat{lk}})^{\mathsf{t}}\) i, de nou, la Proposició 5.4.

És a dir, el determinant d’\(\mathsf{A}\) desenvolupat per la fila \(k\) és igual al determinant d’\(\mathsf{A}\) desenvolupat per la columna \(k\).

Nota

Nota. La fórmula que dóna el desenvolupament per fila o columna del determinant d’una matriu s’anomena l’expansió de Laplace per al determinant.

Torna a dalt