Aplicacions lineals

En aquest capítol introduïm la noció d’aplicació lineal i estudiem les seues propietats bàsiques. Vorem que una aplicació lineal és la forma que tenim de transformar i comparar espais vectorials sobre el mateix cos. Comencem amb la definició d’aplicació lineal.

Definició 3.1 (Aplicació lineal) Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials. Direm que una aplicació $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ és lineal si satisfà les següents propietats, per a tot $v,w\in V_{1}$ i tot $\lambda\in\mathbb{K}$,

$f(v+w)=f(v)+f(w)$;
$f(\lambda v)=\lambda f(v)$.

Les aplicacions lineals també reben el nom d’homomorfismes. Denotem per $\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$ al conjunt de totes les aplicacions lineals de $V_{1}$ a $V_{2}$, és a dir \[ \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})=\{ f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}\mid f \mbox{ és aplicació lineal} \}. \]

Direm que una aplicació lineal $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ és un

monomorfisme si $f$ és injectiva;
epimorfisme si $f$ és sobrejectiva;
isomorfisme si $f$ és bijectiva;
endomorfisme si $V_{1}=V_{2}$;
automorfisme si $f$ és un endomorfisme bijectiu.

Exemple 3.1 Considerem els $\mathbb{R}$-espais vectorials $\mathbb{R}^{2}$ i $\mathbb{R}^{4}$ i l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} f\colon & \mathbb{R}^{2} &\longrightarrow &\mathbb{R}^{4}\\ & (x,y) &\longmapsto &(2x,-y,0,x+y) \end{array} \] aleshores $f$ és una aplicació lineal. Per a comprovar el primer ítem de la Definició 3.1, considerem dos vectors $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in\mathbb{R}^{2}$, aleshores \[ \begin{aligned} f((x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}))&=f(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\\ &=(2(x_{1}+x_{2}), -(y_{1}+y_{2}),0,x_{1}+x_{2}+y_{1}+y_{2})\\ &=(2x_{1},-y_{1},0,x_{1}+y_{1})+(2x_{2},-y_{2},0,x_{2}+y_{2})\\ &=f(x_{1},y_{1})+f(x_{2},y_{2}). \end{aligned} \]

Per a comprovar el segon ítem de la Definició 3.1, considerem un vector $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ i un escalar $\lambda\in\mathbb{R}$, aleshores \[ \begin{aligned} f(\lambda(x,y))&=f(\lambda x,\lambda y)\\ &=(2(\lambda x), -(\lambda y), 0, \lambda x+\lambda y)\\ &=\lambda (2x,-y,0,x+y)\\ &=\lambda f(x,y). \end{aligned} \] Aleshores $f$ és una aplicació lineal.

La següent proposició ens permet combinar les anteriors comprovacions en una sola.

Proposició 3.1 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació. Aleshores $f$ és una aplicació lineal si, i només si, per a tot $v,w\in V_{1}$ i tot $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$, es té que \[ f(\lambda v+\mu w)=\lambda f(v)+\mu f(w). \]

Exemple 3.2 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials, aleshores l’aplicació nul·la \[ \begin{array}{rccl} 0\colon & V_{1} &\longrightarrow &V_{2}\\ & v_{1} &\longmapsto &0 \end{array} \] és una aplicació lineal.

Exemple 3.3 Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial i $W\leq V$, aleshores l’aplicació inclusió, a esquerra, és una aplicació lineal. En particular, quan $W=V$, l’aplicació identitat, a dreta, és una aplicació lineal. \[ \begin{array}{rccl} \mathrm{in}_{W}\colon & W &\longrightarrow &V\\ & w &\longmapsto &w \end{array} \qquad\qquad\qquad\qquad \begin{array}{rccl} \mathrm{id}_{V}\colon & V &\longrightarrow &V\\ & v &\longmapsto &v \end{array} \]

A continuació provarem que la composició d’aplicacions lineals torna a ser una aplicació lineal.

Proposició 3.2 Siguen $V_{1}, V_{2}$ i $V_{3}$ tres $\mathbb{K}$-espais vectorials. Siguen $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ i $g\colon V_{2}\longrightarrow V_{3}$ dues aplicacions lineals. Aleshores la composició $g\circ f\colon V_{1}\longrightarrow V_{3}$ és una aplicació lineal.

Demostració. Siguen $v, w$ vectors en $V_{1}$ i $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$. Aleshores \[ g(f(\lambda v+\mu w))=g(\lambda f(v)+\mu f(w))=\lambda g(f(v))+ \mu g(f(w)). \] Així doncs, $g\circ f$ és una aplicació lineal.

Nota

Nota. La composició d’aplicacions lineals és associativa. A més, si $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ és una aplicació lineal, tenim que \[ \mathrm{id}_{V_{2}}\circ f=f=f\circ\mathrm{id}_{V_{1}}. \]

Presentem diferents propietats bàsiques de la definició d’aplicació lineal.

Proposició 3.3 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal, aleshores

$f(0)=0$;
$f(-v)=-f(v)$, per a tot $v\in V_{1}$;
Si $W_{1}\leq V_{1}$, aleshores $f[W_{1}]\leq V_{2}$;
Si $W_{2}\leq V_{2}$, aleshores $f^{-1}[W_{2}]\leq V_{1}$.

Demostració. Per a (i) siga $v\in V_{1}$, aleshores \[ f(v)=f(0+v)=f(0)+f(v). \] D’on es dedueix que $f(0)=0$.

Per a (ii) siga $v\in V_{1}$, aleshores \[ f(v)+f(-v)=f(v-v)=f(0)=0. \] D’on es dedueix que $f(-v)=-f(v)$.

Per a (iii) siga $W_{1}$ un subespai vectorial de $V_{1}$. Per a comprovar que $f[W_{1}]$ és subespai vectorial de $V_{2}$, siguen $v_{2}, w_{2}$ vectors en $f[W_{1}]$ i siguen $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$. Volem comprovar que $\lambda v_{2}-\mu w_{2}$ torna a ser un vector en $f[W_{1}]$. Com $v_{2}, w_{2}$ són vectors en $f[W_{1}]$, aleshores existeixen vectors $v_{1},w_{1}$ en $W_{1}$, de forma que $v_{2}=f(v_{1})$ i $w_{2}=f(w_{1})$, aleshores \[ \lambda v_{2}-\mu w_{2}=\lambda f(v_{1}) -\mu f(w_{1})=f(\lambda v_{1}-\mu w_{1}). \] Com que $W_{1}\leq V_{1}$, tenim que $\lambda v_{1}-\mu w_{1}$ és un vector en $W_{1}$, d’on $\lambda v_{2}-\mu w_{2}\in f[W_{1}]$.

Per a (iv) siga $W_{2}$ un subespai vectorial de $V_{2}$. Per a comprovar que $f^{-1}[W_{2}]$ és subespai vectorial de $V_{1}$, siguen $v_{1}, w_{1}$ vectors en $f^{-1}[W_{2}]$ i siguen $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$. Volem comprovar que $\lambda v_{1}-\mu w_{1}$ torna a ser un vector en $f^{-1}[W_{2}]$. Com $v_{1}, w_{1}$ són vectors en $f^{-1}[W_{2}]$, aleshores $f(v_{1})$ i $f(w_{1})$ són vectors en $W_{2}$. Notem que \[ f(\lambda v_{1}-\mu w_{1})=\lambda f(v_{1})-\mu f(w_{1}). \] Com que $W_{2}\leq V_{2}$, tenim que $f(\lambda v_{1}-\mu w_{1})$ és un vector en $W_{2}$, d’on $\lambda v_{1}-\mu w_{1}\in f^{-1}[W_{2}]$.

3.1 Imatge i nucli

Associada a una aplicació lineal tenim dos subespais associats, el nucli, subespai vectorial en el domini de l’aplicació lineal, i la imatge, subespai vectorial en el codomini de l’aplicació lineal. L’estudi d’aquests subespais permet obtindre informació sobre l’aplicació lineal associada.

Definició 3.2 (Nucli | Imatge) Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal. Definim el conjunt imatge d’$f$, denotat $\mathrm{Im}(f)$, com el conjunt \[ \mathrm{Im}(f)=\{f(v_{1})\in V_{2}\mid v_{1}\in V_{1}\}. \]

Definim el nucli d’$f$, denotat $\mathrm{Ker}(f)$, com el conjunt \[ \mathrm{Ker}(f)=\{v_{1}\in V_{1}\mid f(v_{1})=0\}. \]

Corol·lari 3.1 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal. Aleshores $\mathrm{Im}(f)$ és un subespai vectorial de $V_{2}$ i $\mathrm{Ker}(f)$ és un subespai vectorial de $V_{1}$.

Demostració. Només cal adonar-se que \[ \mathrm{Im}(f)=f[V_{1}]; \qquad\qquad\qquad\qquad \mathrm{Ker}(f)=f^{-1}[\{0\}]. \] El resultat és conseqüència directa de la Proposició 3.3.

Proposició 3.4 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal. Les següents afirmacions són equivalents.

$f$ és sobrejectiva;
$\mathrm{Im}(f)=V_{2}$.

Demostració. Per definició.

Proposició 3.5 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal. Siga $S\subseteq V_{1}$ un subconjunt de vectors en $V_{1}$. Aleshores \[ f[ \langle S\rangle ] = \langle f[S] \rangle. \]

Demostració. Notem que $\langle S\rangle$ és un subespai vectorial de $V_{1}$. Així, per la Proposició 3.3, tenim que $f[\langle S\rangle]$ és un subespai vectorial de $V_{2}$. A més, per tot $v\in S$, el vector $f(v)$ pertany a $f[S]$. D’aquests dos fets es dedueix que $\langle f[S] \rangle\subseteq f[ \langle S\rangle ]$.

Per a l’altra inclusió, notem que un vector arbitrari de $f[\langle S\rangle]$ ha de tindre la forma \[ f(\lambda_{1}v_{1}+\cdots +\lambda_{n}v_{n}), \] on $n\in\mathbb{N}$ i, per tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, $\lambda_{i}$ és un escalar en $\mathbb{K}$ i $v_{i}$ un vector en $S$. És a dir, un vector arbitrari de $f[\langle S\rangle]$ té la forma de la imatge per $f$ d’un vector arbitrari de $\langle S\rangle$. O siga, la imatge per $f$ d’una combinació lineal de vectors en $S$. Notem que, per la linealitat d’$f$, aquest vector satisfà la següent equació \[ f(\lambda_{1}v_{1}+\cdots +\lambda_{n}v_{n}) = \lambda_{1}f(v_{1})+\cdots+\lambda_{n}f(v_{n}). \] És a dir, un vector arbitrari de $f[\langle S\rangle]$ és combinació lineal dels vectors $f(v_{1}),\cdots, f(v_{n})$ i aquests vectors pertanyen a $f[S]$. Així doncs, $f[ \langle S\rangle ] \subseteq \langle f[S] \rangle$.

Proposició 3.6 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal. Les següents afirmacions són equivalents.

$f$ és injectiva;
$\mathrm{Ker}(f)=\{0\}$.

Demostració. Demostrarem que (i) implica (ii). Suposem que $f$ és injectiva. Siga $v\in \mathrm{Ker}(f)$, aleshores \[ f(v)=0=f(0). \] Per tant $v=0$. Així $\mathrm{Ker}(f)=\{0\}$.

Demostrarem ara que (ii) implica (i). Suposem que $\mathrm{Ker}(f)=\{0\}$. Siguen $v,w\in V_{1}$ tals que $f(v)=f(w)$, aleshores $v-w\in \mathrm{Ker}(f)$ ja que \[ f(v-w)=f(v)-f(w)=0. \] Per tant $v-w=0$. Així $v=w$, és a dir $f$ és injectiva.

Proposició 3.7 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials, $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal i $\mathcal{B}_{1}$ una base de $V_{1}$. Aleshores

$f$ és injectiva si, i només si, $f[\mathcal{B}_{1}]$ és un conjunt de vectors linealment independents en $V_{2}$;
$f$ és sobrejectiva si, i només si, $f[\mathcal{B}_{1}]$ és sistema generador de $V_{2}$;
$f$ és bijectiva si, i només si, $f[\mathcal{B}_{1}]$ és base de $V_{2}$.

Demostració. Per a (i). Suposem que $f$ és injectiva. Anem a provar que $f[\mathcal{B}_{1}]$ és linealment independent. Considerem una combinació lineal dels vectors en $f[\mathcal{B}_{1}]$ igualada a zero, és a dir \[ \lambda_{1}f(e_{1})+\cdots + \lambda_{n}f(e_{n})=0 \] on, $n\in\mathbb{N}$, i per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, $\lambda_{i}$ és un escalar en $\mathbb{K}$ i $e_{i}$ un vector en $\mathcal{B}_{1}$. Notem que, per la linealitat d’$f$, s’obté que \[ f(\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n}e_{n})=\lambda_{1}f(e_{1})+\cdots + \lambda_{n}f(e_{n})=0=f(0). \]

Com $f$ és injectiva per hipòtesi, obtenim que \[ \lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n}e_{n}=0. \]

Així, tenim una combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{1}$ igualada a zero. Com $\mathcal{B}_{1}$ és base, obtenim que, per a tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, l’escalar $\lambda_{i}$ ha de ser igual a zero. Per tant, $f[\mathcal{B}_{1}]$ és linealment independent.

Suposem ara que $f[\mathcal{B}_{1}]$ és linealment independent. Anem a provar que $f$ és injectiva. Siga $v$ un vector en $\mathrm{Ker}(f)$. Aleshores, $f(v)=0$. Per altra banda, com $\mathcal{B}_{1}$ és base, podem escriure $v$ com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{1}$. Així \[ v=\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n}e_{n} \] on, $n\in\mathbb{N}$, i per a cada $i\in\{1,\cdots, n\}$, $\lambda_{i}$ és un escalar en $\mathbb{K}$ i $e_{i}$ un vector en $\mathcal{B}_{1}$. Notem que, per la linealitat d’$f$, s’obté que \[ f(\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n}e_{n})=\lambda_{1}f(e_{1})+\cdots + \lambda_{n}f(e_{n})=0. \]

Com el conjunt de vectors $f[\mathcal{B}_{1}]$ és linealment independent, es té que, per a tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, l’escalar $\lambda_{i}$ ha de ser igual a zero. Així, $v=0$. Per tant $\mathrm{Ker}(f)=\{0\}$. Per la Proposició 3.6, l’aplicació $f$ és injectiva.

Per a (ii). Suposem que $f$ és sobrejectiva. Anem a provar que $f[\mathcal{B}_{1}]$ és sistema generador. Emprant la Proposició 3.5 i tenint en compte que $\mathcal{B}_{1}$ és sistema generador per a $V_{1}$ i que $f$ és sobrejectiva, obtenim que \[ \langle f[\mathcal{B}_{1}]\rangle = f[\langle \mathcal{B}_{1}\rangle] = f[V_{1}]=V_{2}. \]

És a dir, tot vector de $V_{2}$ pot escriure’s com a combinació lineal dels vectors en $f[\mathcal{B}_{1}]$. Per tant, $f[\mathcal{B}_{1}]$ és sistema generador.

Suposem ara que $f[\mathcal{B}_{1}]$ és sistema generador de $V_{2}$. Anem a provar que $f$ és sobrejectiva. Emprant la Proposició 3.5 i tenint en compte que $\mathcal{B}_{1}$ és sistema generador per a $V_{1}$ i que $f[\mathcal{B}_{1}]$ és sistema generador per a $V_{2}$, obtenim que \[ f[V_{1}]=f[\langle \mathcal{B}_{1}\rangle]=\langle f[\mathcal{B}_{1}]\rangle=V_{2}. \]

És a dir $f$ és sobrejectiva.

Finalment, (iii) és conseqüència directa dels ítems (i) i (ii).

3.2 Teorema d’extensió

En aquesta secció estudiarem una forma interessant de donar una aplicació lineal. El següent teorema explica que, per a donar una aplicació lineal, és suficient conéixer les imatges dels vectors d’una base del seu domini de definició.

Proposició 3.8 Siguen $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ i $g\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ dues aplicacions lineals amb el mateix domini i codomini. Si $S$ és un subconjunt de $V_{1}$ i $f_{\upharpoonright S}=g_{\upharpoonright S}$, aleshores \[ f_{\upharpoonright \langle S\rangle}=g_{\upharpoonright \langle S\rangle}. \] En particular, si $S$ és sistema generador de $V_{1}$, aleshores $f=g$.

Demostració. Siga $v\in \langle S\rangle$, aleshores existeixen vectors $e_{1},\cdots, e_{k}$ en $S$ i escalars $\lambda_{1},\cdots, \lambda_{k}$ en $\mathbb{K}$ per als quals \[ v=\lambda_{1}e_{1}+\cdots +\lambda_{k}e_{k}. \] Aleshores, es dóna la següent cadena d’igualtats \[ \begin{aligned} f(v)&=f(\lambda_{1}e_{1}+\cdots +\lambda_{k}e_{k}) &&\text{(definició de $v$)} \\ &=\lambda_{1} f(e_{1})+\cdots +\lambda_{k}f(e_{k}) &&\text{($f$ és lineal)} \\ &=\lambda_{1} g(e_{1})+\cdots +\lambda_{k}g(e_{k}) &&\text{($f_{\upharpoonright S}=g_{\upharpoonright S}$)} \\&= g(\lambda_{1}e_{1}+\cdots +\lambda_{k}e_{k}) &&\text{($g$ és lineal)} \\&= g(v). &&\text{(definició de $v$)} \end{aligned} \]

Per tant, concloem que $f_{\upharpoonright \langle S\rangle}=g_{\upharpoonright \langle S\rangle}$.

Teorema 3.1 (Teorema d’extensió) Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials. Siga $\mathcal{B}_{1}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V_{1}$ i $f\colon\mathcal{B}_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació. Aleshores existeix una única aplicació lineal $f^{\sharp}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ que satisfà $f^{\sharp}\circ \mathrm{in}_{\mathcal{B}_{1}}=f$, és a dir, el següent diagrama commuta \[ \begin{array}{ccc} \mathcal{B}_{1} & \overset{\mathrm{in}_{\mathcal{B}_{1}}}{\longrightarrow} & V_{1}\\ & \underset{f}{\searrow} & \big\downarrow{\scriptstyle f^{\sharp}}\\ & & V_{2} \end{array} \]

Demostració. Siga $v$ un vector de $V_{1}$ aleshores, com $\mathcal{B}_{1}$ és base de $V_{1}$, tenim que $v$ pot escriure’s com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{1}$, a esquerra, on, per a tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, $\lambda_{i}$ és un escalar en $\mathbb{K}$. Així, definim la imatge de $v$ per $f^{\sharp}$ com al vector següent, a dreta. \[ v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}e_{i}; \qquad\qquad\qquad f^{\sharp}(v)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}f(e_{i}). \]

Anem a demostrar que $f^{\sharp}$ és una aplicació lineal. Siguen vectors $v,w\in V_{1}$ i escalars $\lambda,\mu\in\mathbb{K}$. Escrivim els vectors $v$ i $w$ com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{1}$, a esquerra i dreta respectivament, on, per a tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, $\lambda_{i}$ i $\mu_{i}$ són escalars en $\mathbb{K}$. \[ v=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}e_{i}; \qquad\qquad\qquad w=\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}e_{i}. \]

Aleshores el vector $\lambda v+\mu w$ s’escriu com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{1}$ com segueix \[ \lambda v+\mu w = \lambda\left( \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}e_{i} \right)+ \mu\left( \sum_{i=1}^{n}\mu_{i}e_{i} \right) = \sum_{i=1}^{n}(\lambda\lambda_{i}+\mu\mu_{i})e_{i} \]

Per tant, la imatge de $\lambda v+\mu w$ per $f^{\sharp}$ ve donada pel vector \[ \begin{aligned} f^{\sharp}(\lambda v+\mu w) &= f^{\sharp}\left(\sum_{i=1}^{n}(\lambda\lambda_{i}+\mu\mu_{i})e_{i}\right)\\ &= \sum_{i=1}^{n}(\lambda\lambda_{i}+\mu\mu_{i})f(e_{i})\\ &= \lambda\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}f(e_{i}) + \mu\sum_{i=1}^{n}\mu_{i}f(e_{i})\\ &=\lambda f^{\sharp}(v)+\mu f^{\sharp}(w). \end{aligned} \]

Notem, a més, que per a tot $i\in\{1,\cdots, n\}$, el vector $e_{i}$ de $\mathcal{B}_{1}$ s’escriu com a combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}_{1}$ com a \[ e_{i}=0e_{1}+\cdots+e_{i}+\cdots +0e_{n}, \]

aleshores \[ f^{\sharp}( \mathrm{in}_{\mathcal{B}_{1}}(e_{i}))= f^{\sharp}(e_{i})=0f(e_{1})+\cdots+f(e_{i})+\cdots +0f(e_{n})=f(e_{i}). \]

La unicitat d’$f^{\sharp}$ és conseqüència de la Proposició 3.8.

Proposició 3.9 Siguen $V_{1}, V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials. Siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ un isomorfisme, aleshores $f^{-1}\colon V_{2}\longrightarrow V_{1}$ és un isomorfisme.

Demostració. Com $f$ és bijectiva, l’aplicació $f^{-1}$ és bijectiva. Només cal comprovar que és una aplicació lineal.

Siguen $v_{2}, w_{2}$ vectors en $V_{2}$ i $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$. Aleshores com $f$ és bijectiva existeixen vectors $v_{1},w_{1}$ en $V_{1}$ de forma que $f(v_{1})=v_{2}$ i $f(w_{1})=w_{2}$. A més, aquests vectors són únics. Notem que, per la linealitat d’$f$, es té que \[ f(\lambda v_{1}+\mu w_{1})=\lambda f(v_{1})+\mu f(w_{1})=\lambda v_{2}+\mu w_{2}. \]

Així, \[ f^{-1}(\lambda v_{2}+\mu w_{2})=\lambda v_{1}+\mu w_{1}=\lambda f^{-1}(v_{2})+\mu f^{-1}(w_{2}). \]

És a dir, $f^{-1}$ és una aplicació lineal.

Definició 3.3 (Espais vectorials isomorfs) Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials. Direm que $V_{1}$ i $V_{2}$ són isomorfs, i ho denotarem per $V_{1}\simeq V_{2}$, si existeix un isomorfisme $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$.

Nota

Nota. Ser isomorfs és una relació binària d’equivalència. (Reflexiva) Un espai vectorial és isomorf a ell mateix mitjançant l’aplicació identitat. (Simètrica) Si un espai vectorial és isomorf a un altre mitjançant l’aplicació lineal $f$, aleshores aquest espai vectorial és isomorf al primer mitjançant l’aplicació lineal $f^{-1}$. (Transitiva) Si un espai vectorial és isomorf a un segon espai vectorial mitjançant $f$ i aquest és isomorf a un tercer espai vectorial mitjançant $g$, aleshores el primer espai vectorial és isomorf al tercer mitjançant l’isomorfisme $g\circ f$.

Teorema 3.2 (Classificació dels $\mathbb{K}$-espais vectorials finitament generats) Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat. Aleshores $V\simeq \mathbb{K}^{\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)}$.

Demostració. Siga $n=\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)$. Pel teorema d’existència de bases, siga $\mathcal{B}$ una base de $V$. Així $\left|\mathcal{B}\right|=n$.

Per altra banda, considerem la base canònica $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$ de $\mathbb{K}^{n}$. Com $\left|\mathcal{B}\right|=\left|\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\right|$, siga $h$ una aplicació bijectiva de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$. Així $f=\mathrm{in}_{\mathcal{B}_{\mathrm{c}}}\circ h$ és una aplicació de $\mathcal{B}$ a $\mathbb{K}^{n}$. \[ f\colon \mathcal{B}\overset{h}{\longrightarrow}\mathcal{B}_{\mathrm{c}}\overset{\mathrm{in}_{\mathcal{B}_{\mathrm{c}}}}{\longrightarrow}\mathbb{K}^{n} \]

Pel Teorema 3.1 existeix una única aplicació lineal $f^{\sharp}\colon V\longrightarrow \mathbb{K}^{n}$ que satisfà $f^{\sharp}\circ \mathrm{in}_{\mathcal{B}}=f$, és a dir, el següent diagrama commuta \[ \begin{array}{ccc} \mathcal{B} & \overset{\mathrm{in}_{\mathcal{B}}}{\longrightarrow} & V\\ & \underset{f}{\searrow} & \big\downarrow{\scriptstyle f^{\sharp}}\\ & & \mathbb{K}^{n} \end{array} \]

Notem que $f^{\sharp}[\mathcal{B}]=h[\mathcal{B}]=\mathcal{B}_{\mathrm{c}}$. És a dir, $f^{\sharp}[\mathcal{B}]$ és una base de $\mathbb{K}^{n}$. Per la Proposició 3.7, $f^{\sharp}$ és una aplicació bijectiva. És a dir, $f^{\sharp}$ és un isomorfisme entre $V$ i $\mathbb{K}^{n}$.

Corol·lari 3.2 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials finitament generats. Són equivalents

$V_{1}$ i $V_{2}$ són isomorfs;
$\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})$.

3.3 Matriu associada a una aplicació lineal

En aquesta secció estudiarem la matriu associada a una aplicació lineal i unes bases fixades en el domini i codomini de definició, respectivament. Estudiarem la seua utilitat i vorem com aquestes matrius són capaces de contindre tota la informació important associada a una aplicació lineal.

Definició 3.4 (Matriu associada a una aplicació lineal) Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n$ i $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m$. Siguen $\mathcal{B}_{1}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ i $\mathcal{B}_{2}=\{d_{1},\cdots, d_{m}\}$ bases de $V_{1}$ i $V_{2}$, respectivament, i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal. Definim la matriu associada a $f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$ a la matriu en $\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})$ que té, per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, com a columna $j$ les coordenades del vector $f(e_{j})$ en la base $\mathcal{B}_{2}$.

Proposició 3.10 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n$ i $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m$. Siguen $\mathcal{B}_{1}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ i $\mathcal{B}_{2}=\{d_{1},\cdots, d_{m}\}$ bases de $V_{1}$ i $V_{2}$, respectivament, i siga $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ una aplicació lineal. Siga $\mathsf{A}=(\alpha_{ij})$ en $\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})$ la matriu associada a $f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$. Aleshores, $\mathsf{A}$ és l’única matriu que satisfà que, per a tot vector $v\in V_{1}$, si $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ són les coordenades dels vectors $v$ i $f(v)$ en $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$, respectivament, aleshores \[ \mathsf{A}\mathsf{X}=\mathsf{Y}. \]

Demostració. Siga $v$ un vector en $V_{1}$ i siguen $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ les coordenades dels vectors $v$ i $f(v)$ en $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$, respectivament. Aleshores \[ v=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(e_{j}); \qquad\qquad f(v)=\mathsf{Y}^{\mathsf{t}}(d_{i}). \]

Siga $\mathsf{A}=(\alpha_{ij})$ la matriu associada a $f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$. Aleshores, les columnes de $\mathsf{A}$ tenen les coordenades dels vectors en $f[\mathcal{B}_{1}]$ en la base $\mathcal{B}_{2}$. Així, s’han de satisfer les $n$ equacions de la dreta \[ \mathsf{A}= \begin{bmatrix} \alpha_{11} & \cdots &\alpha_{1n} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots &\alpha_{mn} \\ \end{bmatrix} \qquad\qquad \begin{array}{l} f(e_{1})=\alpha_{11}d_{1}+\cdots +\alpha_{m1}d_{m}\\ \,\vdots\quad\qquad\vdots\quad\qquad\qquad\vdots\\ f(e_{n})=\alpha_{1n}d_{1}+\cdots +\alpha_{mn}d_{m}\\ \end{array} \]

Aquestes $n$ equacions queden descrites en l’expressió matricial $(f(e_{j}))=\mathsf{A}^{\mathsf{t}}({d}_{i})$.

Així, substituint en l’expressió coordenada de $f(v)$ en la base $\mathcal{B}_{2}$ tenim que \[ f(v)=f(\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(e_{j}))=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(f(e_{j}))=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(\mathsf{A}^{\mathsf{t}}({d}_{i}))=(\mathsf{A}\mathsf{X})^{\mathsf{t}}(d_{i}). \]

Notem que la linealitat d’$f$ s’ha fet necessària per a afirmar que $f(\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(e_{j}))=\mathsf{X}^{\mathsf{t}}(f(e_{j}))$.

Per la unicitat de les coordenades d’un vector en una base, tenim que \[\mathsf{AX}=\mathsf{Y}.\]

Siga ara $\mathsf{A}'$ una matriu en $\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})$ amb la propietat que, per a tot vector $v\in V_{1}$, si $\mathsf{X}$ i $\mathsf{Y}$ són les coordenades de $v$ i $f(v)$ en, respectivament, $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$, aleshores es té que \[ \mathsf{A}'\mathsf{X}=\mathsf{Y}. \]

Anem a provar que $\mathsf{A}'=\mathsf{A}$. Considerem, per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, el vector $e_{j}$ de la base $\mathcal{B}_{1}$. Siguen $\mathsf{X}_{j}$ i $\mathsf{Y}_{j}$ les coordenades d’$e_{j}$ i $f(e_{j})$ en, respectivament, $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$. Així, per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, es té que \[ \mathsf{A}'\mathsf{X}_{j}=\mathsf{Y}_{j}. \]

Notem que, per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, la matriu de coordenades del vector $e_{j}$ en la base $\mathcal{B}_{1}$, és a dir $\mathsf{X}_{j}$, ve donada per una matriu tota $0$ a excepció de la posició $j$, on conté un $1$. Així, per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, la multiplicació $\mathsf{A}'\mathsf{X}_{j}$ retornarà la columna $j$ de la matriu $\mathsf{A}'$. Per altra banda, la matriu de coordenades del vector $f(e_{j})$ en la base $\mathcal{B}_{2}$, és a dir $\mathsf{Y}_{j}$, és, per definició, la columna $j$ de la matriu $\mathsf{A}$. Així, en l’expressió anterior, per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, es té que la columna $j$ de $\mathsf{A}'$ ha de ser igual a la columna $j$ de la matriu $\mathsf{A}$.

Per tant $\mathsf{A}'=\mathsf{A}$.

Nota

Nota. Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial finitament generat i siguen $\mathcal{B}$ i $\overline{\mathcal{B}}$ dues bases de $V$. Per a l’aplicació lineal $\mathrm{id}_{V}\colon V\longrightarrow V$, la matriu associada a $\mathrm{id}_{V}$ de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$ coincideix amb la matriu canvi de base de $\mathcal{B}$ a $\overline{\mathcal{B}}$.

Proposició 3.11 Siguen $V_{1}, V_{2}$ i $V_{3}$ tres $\mathbb{K}$-espais vectorials finitament generats i siguen $\mathcal{B}_{1}$, $\mathcal{B}_{2}$ i $\mathcal{B}_{3}$ tres bases de, respectivament, $V_{1}$, $V_{2}$ i $V_{3}$. Siguen $f\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ i $g\colon V_{2}\longrightarrow V_{3}$ dues aplicacions lineals. Siguen $\mathsf{A}$ i $\mathsf{B}$ les matrius associades a, respectivament, $f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$ i $g$ de $\mathcal{B}_{2}$ a $\mathcal{B}_{3}$. Aleshores, $\mathsf{BA}$ és la matriu associada a $g\circ f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{3}$.

Demostració. Siga $v$ un vector de $V_{1}$ i siguen $\mathsf{X}$, $\mathsf{Y}$ i $\mathsf{Z}$ les coordenades de, respectivament, $v$ en $\mathcal{B}_{1}$, $f(v)$ en $\mathcal{B}_{2}$ i $g(f(v))$ en $\mathcal{B}_{3}$. Aleshores se satisfan les següents equacions \[(\mathsf{B}\mathsf{A})\mathsf{X}=\mathsf{B}(\mathsf{AX})=\mathsf{BY}=\mathsf{Z}.\] Per la Proposició 3.10, la matriu $\mathsf{BA}$ és la matriu associada a $g\circ f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{3}$.

Proposició 3.12 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials finitament generats i isomorfs. Siguen $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$ bases de $V_{1}$ i $V_{2}$, respectivament. Siga $f$ un isomorfisme de $V_{1}$ a $V_{2}$. Siga $\mathsf{A}$ la matriu associada a $f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$, aleshores $\mathsf{A}$ és una matriu invertible.

Demostració. Notem que en ser $V_{1}$ i $V_{2}$ isomorfs, tenen la mateixa dimensió pel Corol·lari 3.2. Així la matriu $\mathsf{A}$ és una matriu quadrada. Notem també que la matriu identitat $\mathsf{I}$ és la matriu associada a $\mathrm{id}_{V_{1}}$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{1}$. Per altra banda, si considerem $\mathsf{B}$, la matriu associada a $f^{-1}$ de $\mathcal{B}_{2}$ a $\mathcal{B}_{1}$, tenim per la Proposició 3.11 que $\mathsf{BA}$ és la matriu associada a $\mathrm{id}_{V_{1}}$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{1}$. Així, per la unicitat de la matriu associada a una aplicació lineal, demostrada a la Proposició 3.10, es dedueix que $\mathsf{BA}=\mathsf{I}$, és a dir, $\mathsf{A}$ és invertible.

3.4 L’espai vectorial $\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$

El conjunt d’aplicacions lineals entre dos $\mathbb{K}$-espais vectorials $V_{1}$ i $V_{2}$ té estructura de $\mathbb{K}$-espai vectorial.

Proposició 3.13 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials. Aleshores el conjunt $\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1}, V_{2})$ d’aplicacions lineals entre $V_{1}$ i $V_{2}$ amb

vector zero l’aplicació lineal nul·la, és a dir \[ \begin{array}{rccl} 0\colon&V_{1}&\longrightarrow&V_{2}\\ &v&\longmapsto&0 \end{array} \]
suma d’aplicacions lineals $f,g\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$ com segueix \[ \begin{array}{rccl} f+g\colon&V_{1}&\longrightarrow&V_{2}\\ &v&\longmapsto&f(v)+g(v) \end{array} \]
producte d’una aplicació lineal $f\in \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$ i un escalar $\lambda\in\mathbb{K}$ com segueix \[ \begin{array}{rccl} \lambda f\colon&V_{1}&\longrightarrow&V_{2}\\ &v&\longmapsto&\lambda f(v) \end{array} \]

és un $\mathbb{K}$-espai vectorial.

Proposició 3.14 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n$ i $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m$. Aleshores $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2}))=mn$.

Demostració. Siga $\mathcal{B}_{1}=\{e_{1},\cdots, e_{n}\}$ una base de $V_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}=\{d_{1},\cdots, d_{m}\}$ una base de $V_{2}$. Considerem, per a cada $i\in\{1,\cdots, m\}$ i $j\in\{1,\cdots, n\}$, l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \delta_{i,j}\colon& \mathcal{B}_{1}&\longrightarrow &V_{2}\\ &e_{k}&\longmapsto& \left\lbrace \begin{array}{ll} 0,&\mbox{si }k\neq j;\\ d_{i},&\mbox{si }k=j. \end{array} \right. \end{array} \]

Pel Teorema 3.1, aquesta aplicació s’estén a una aplicació lineal $\delta^{\sharp}_{i,j}\colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$ que satisfà \[\delta_{i,j}^{\sharp}\circ \mathrm{in}_{\mathcal{B}_{1}}=\delta_{i,j}.\]

Notem que, si $v=\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n} e_{n}$ és un vector qualsevol de $V_{1}$, aleshores \[ \delta^{\sharp}_{i,j}(v)=\delta^{\sharp}_{i,j}(\lambda_{1}e_{1}+\cdots+\lambda_{n} e_{n})=\lambda_{j}d_{i}=\lambda_{j}\delta_{i,j}(e_{j}). \]

Anem a provar que $\mathcal{B}=\{\delta_{i,j}^{\sharp}\mid i\in\{1,\cdots, m\},\, j\in\{1,\cdots, n\}\}$ és una base de $\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$. Notem que aquest conjunt té $mn$ elements.

Sistema generador.

Siga $f\in\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$ una aplicació lineal de $V_{1}$ a $V_{2}$. Siga $v\in V_{1}$, aleshores com $\mathcal{B}_{1}$ és base de $V_{1}$, podem trobar escalars $\lambda_{1},\cdots,\lambda_{n}\in\mathbb{K}$ tals que \[ v=\lambda_{1}e_{1}+\cdots+ \lambda_{n}e_{n}. \]

Així, per la linealitat d’$f$, \[ f(v)=f(\lambda_{1}e_{1}+\cdots+ \lambda_{n}e_{n}) =\lambda_{1}f(e_{1})+\cdots +\lambda_{n}f(e_{n}). \]

Per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, com $f(e_{j})$ és un vector en $V_{2}$ i $\mathcal{B}_{2}$ és una base de $V_{2}$, podem trobar escalars $\mu_{1,j},\cdots, \mu_{m,j}\in\mathbb{K}$ tals que \[ f(e_{j})=\mu_{1,j}d_{1}+\cdots +\mu_{m,j}d_{m}=\mu_{1,j}\delta_{1,j}(e_{j})+\cdots +\mu_{m,j}\delta_{m,j}(e_{j}). \]

Per tant, \[ \begin{aligned} f(v)&=\lambda_{1}f(e_{1})+\cdots +\lambda_{n}f(e_{n})\\ &=\lambda_{1}(\mu_{1,1}\delta_{1,1}(e_{1})+\cdots +\mu_{m,1}\delta_{m,1}(e_{1}))+\cdots+\lambda_{n}(\mu_{1,n}\delta_{1,n}(e_{n})+\cdots +\mu_{m,n}\delta_{m,n}(e_{n}))\\ &=\mu_{1,1}\delta^{\sharp}_{1,1}(v)+\cdots+\mu_{m,1}\delta^{\sharp}_{m,1}(v)+\cdots+ \mu_{1,n}\delta^{\sharp}_{1,n}(v)+\cdots+\mu_{m,n}\delta^{\sharp}_{m,n}(v)\\ &=(\mu_{1,1}\delta^{\sharp}_{1,1}+\cdots+\mu_{m,1}\delta^{\sharp}_{m,1}+\cdots+ \mu_{1,n}\delta^{\sharp}_{1,n}+\cdots+\mu_{m,n}\delta^{\sharp}_{m,n})(v). \end{aligned} \]

Per tant $\mathcal{B}$ és sistema generador.

Linealment independent.

Considerem una combinació lineal dels vectors en $\mathcal{B}$ igualada a zero. \[ \lambda_{1,1}\delta_{1,1}^{\sharp}+\cdots+\lambda_{m,1}\delta^{\sharp}_{m,1}+\cdots+\lambda_{1,n}\delta_{1,n}^{\sharp}+\cdots+\lambda_{m,n}\delta_{m,n}^{\sharp}=0. \]

Considerem, per a cada $j\in\{1,\cdots, n\}$, el vector $e_{j}\in\mathcal{B}_{1}$ aleshores, en fer actuar les dues aplicacions anteriors sobre $e_{j}$, obtenim \[ \begin{aligned} 0&=0(e_{j})\\ &=(\lambda_{1,1}\delta_{1,1}^{\sharp}+\cdots+\lambda_{m,1}\delta^{\sharp}_{m,1}+\cdots+\lambda_{1,n}\delta_{1,n}^{\sharp}+\cdots+\lambda_{m,n}\delta_{m,n}^{\sharp})(e_{j})\\ &=\lambda_{1,j}d_{1}+\cdots+\lambda_{m,j}d_{m} \end{aligned} \]

Com $\mathcal{B}_{2}$ és una base obtenim que, per a cada $j\in\{1,\cdots,n\}$, es té que $\lambda_{1,j}=\cdots=\lambda_{m,j}=0$.

Per tant $\mathcal{B}$ és un conjunt de vectors linealment independent.

Proposició 3.15 Siguen $V_{1}$ i $V_{2}$ dos $\mathbb{K}$-espais vectorials amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{1})=n$ i $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V_{2})=m$. Siguen $\mathcal{B}_{1}$ i $\mathcal{B}_{2}$ bases de $V_{1}$ i $V_{2}$, respectivament. Aleshores l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \varphi\colon& \mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})&\longrightarrow& \mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})\\ &f&\longmapsto&\mathsf{A}, \mbox{ matriu associada a }f\mbox{ de }\mathcal{B}_{1} \mbox{ a }\mathcal{B}_{2} \end{array} \] és un isomorfisme de $\mathbb{K}$-espais vectorials.

Demostració. Anem a demostrar que $\varphi$ és una aplicació lineal. Siguen $f$ i $g$ aplicacions lineals en $\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$ i siguen $\lambda,\mu$ escalars en $\mathbb{K}$. Volem comprovar que \[ \varphi(\lambda f+\mu g)=\lambda\varphi(f)+\mu\varphi(g). \] Denotem per

$\mathsf{A}$ a la matriu associada a $f$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$;
$\mathsf{B}$ a la matriu associada a $g$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$.

Aleshores se satisfà que, per a tot vector $v\in V_{1}$, si

$\mathsf{X}$ són les coordenades de $v$ en $\mathcal{B}_{1}$;
$\mathsf{Y}$ són les coordenades d’$f(v)$ en $\mathcal{B}_{2}$;
$\mathsf{Z}$ són les coordenades de $g(v)$ en $\mathcal{B}_{2}$;

les següents equacions se satisfan \[ \mathsf{AX}=\mathsf{Y}; \qquad\qquad \mathsf{BX}=\mathsf{Z}. \]

De les anteriors equacions es dedueix que \[ (\lambda\mathsf{A}+\mu\mathsf{B})\mathsf{X}=\lambda\mathsf{A}\mathsf{X}+\mu\mathsf{BX} =\lambda\mathsf{Y}+\mu\mathsf{Z}. \]

És a dir, la matriu $\lambda\mathsf{A}+\mu\mathsf{B}$ transforma les coordenades del vector $v$ en la base $\mathcal{B}_{1}$ en les coordenades del vector $\lambda f(v)+\mu g(v)$ en la base $\mathcal{B}_{2}$. Per tant, $\lambda\mathsf{A}+\mu\mathsf{B}$ és la matriu associada a $\lambda f+\mu g$ de $\mathcal{B}_{1}$ a $\mathcal{B}_{2}$.

Aleshores \[ \varphi(\lambda f+\mu g)=\lambda\mathsf{A}+\mu\mathsf{B} =\lambda\varphi(f)+\mu\varphi(g). \] És a dir $\varphi$ és una aplicació lineal.

Notem ara que $\mathrm{Ker}(\varphi)=\{0\}$, ja que l’única aplicació lineal que té a $\mathsf{0}$ com a matriu associada és l’aplicació nul·la. Així $\varphi$ és un monomorfisme. Com $\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})$ i $\mathrm{M}_{mn}(\mathbb{K})$ tenen la mateixa dimensió, per la Proposició 3.14, es dedueix que $\varphi$ és un isomorfisme.

Nota

Nota. Siga $V$ un $\mathbb{K}$-espai vectorial amb $\mathrm{dim}_{\mathbb{K}}(V)=n$ i siga $\mathcal{B}$ una base de $V$. Denotem per $\mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V)=\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V,V)$ al conjunt d’endomorfismes de $V$. Aleshores l’aplicació \[ \begin{array}{rccl} \varphi\colon& \mathrm{End}_{\mathbb{K}}(V)&\longrightarrow& \mathrm{M}_{n}(\mathbb{K})\\ &f&\longmapsto&\mathsf{A}, \mbox{ matriu associada a }f\mbox{ de }\mathcal{B} \mbox{ a }\mathcal{B} \end{array} \] és un isomorfisme de $\mathbb{K}$-espais vectorials i un isomorfisme d’anells.

Torna a dalt

3.1 Imatge i nucli

3.2 Teorema d’extensió

3.3 Matriu associada a una aplicació lineal

3.4 L’espai vectorial \(\mathrm{Hom}_{\mathbb{K}}(V_{1},V_{2})\)