Anabel Forte Deltell, Universitat de València

Com es poden guanyar 7,5 milions de corones noruegues (uns 660 000 €) amb les matemàtiques?

Si esteu pensant en alguna cosa com ara “descobrint en què falla una ruleta” o “comptant cartes”, em sap greu defraudar-vos: la probabilitat en aquests casos sol anar-nos en contra, per molt que el cinema s'encaboten a afirmar el contrari.

Potser en veure això de “corones noruegues” heu pensat en el Premi Nobel, però aquest es dona en “corones sueques” i, a més, segons sembla, Alfred Nobel tenia poc d'afecte a les matemàtiques pures i no va deixar dotació per a premiar-les. Parlem, per tant, d'un altre premi, l'Abel, atorgat per l'Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres en honor al matemàtic Niels Henrik Abel.

Enguany, 2024, el Premi Abel ha sigut atorgat al francès Michel Talagrand “per les seues contribucions pioneres a la teoria de la probabilitat i l'anàlisi funcional, amb aplicacions excel·lents en la física matemàtica i l'estadística”.

La descripció d'aquests assoliments, assenyalada en la concessió al mateix Talagrand del Premi Shaw en 2019, va ser més precisa: “pels seus treballs sobre desigualtats de concentració i suprems de processos estocàstics i pels seus rigorosos resultats per a vidres d'espín”.

La probabilitat de la moneda en els treballs de Talagrand

Aquests assoliments s’han destacat en la premsa amb un titular que ací reproduïm: “La improbabilitat que d’una moneda llançada 1 000 vegades, n’isca cara en 600”. Però com es dedueix això dels treballs pels quals ha sigut premiat Talagrand?

Dels tres assoliments que es destacaven en el Premi Shawn i que són part també del Premi Abel, dos fan referència explícitament a la probabilitat i a l'estadística, i el tercer hi està molt relacionat. En particular, tots tenen a veure amb l'estudi dels anomenats processos estocàstics, un concepte probabilístic que ens envolta sense que ens n’adonem.

Per exemple, imaginem que ens trobem en un supermercat, en la cua de la caixa. Cada cinc minuts comptarem el nombre de persones que hi ha. Aquest valor varia a cada moment i per això el “nombre de persones en la cua” l’anomenem “variable”. A més, hi posem l'adjectiu “aleatòria” perquè té darrere un comportament marcat per l'atzar en el qual uns valors es repetiran més que uns altres.

Però el que ens interessa d'aquesta cua no és tant el nombre de persones sinó comprendre com evoluciona el seu valor. Per això parlem de “procés”. I és molt revelador entendre d'on ve l'adjectiu que acompanya aquest terme: estocàstic.

Capaç d'endevinar

La paraula estocàstic té el seu origen en el grec στοχαστικός (stokhastikós), que significa “capaç d'endevinar”. Una acció, la de predir o endevinar, per a la qual la ciència compta amb l'estadística i la probabilitat.

Tornant al supermercat, suposem que el nostre interès és conèixer quantes persones hi haurà en la cua en un moment concret i així decidir amb una certa antelació quantes caixes han d'estar obertes.

Un altre exemple que sol utilitzar-se molt per a parlar de processos estocàstics és el clima. Entendre com evoluciona un temporal és fonamental per a prendre les mesures oportunes a fi d’evitar desastres.

Alguns d'aquests processos són senzills d'estudiar, i estan sustentats per regles bàsiques com les dels processos anomenats markovians (en honor al matemàtic rus Andrei Màrkov), un tipus de procés pel qual l'estat del sistema només depèn del que estava succeint en l'instant anterior. Dit amb altres paraules, el nombre actual de persones en la cua només depèn del nombre que hi havia fa cinc minuts i no pas de les que hi havia fa quinze minuts.

El moment de la incertesa

Altres processos, però, són molt més complexos i depenen del que anomenem sistemes dinàmics. En aquests es veuen involucrades equacions matemàtiques que expliquen com va canviant el sistema (com els que usem per a modelitzar epidèmies) en relació amb moltes altres variables que hi poden tenir influència.

I –compte!– perquè aquestes variables poden ser molt variables. És a dir, que les condicions sota les quals es desenvolupa un temporal, les que fan créixer un fruit o les que envolten el llançament d'una moneda poden ser extremadament canviants i difícils de controlar, i afegeixen incertesa al sistema.

Tenim, ara sí, tots els ingredients per a entendre un poc millor quines són les contribucions per les quals Talagrand ha aconseguit el Premi Abel.

Vidres d'espín

Comencem per la cosa darrera i més complexa: “els seus rigorosos resultats per a vidres d'espín” i les seues contribucions a la física, segons el Premi Abel.

Els vidres d'espín o spin glasses són un concepte que apareix dins de les teories del físic italià Giorgio Parisi, premi Nobel de Física en 2021 pel “descobriment de la interacció del desordre i les fluctuacions en els sistemes físics des d'escales atòmiques fins a planetàries”.

Es tracta d'una mena de sistema físic desordenat en què Parisi tractava d'entendre la complexa interacció entre els àtoms que el conformen. La intuïció de Parisi no disposava de formalització matemàtica (i això, a les persones que ens hi dediquem, ens posa nervioses). Però va arribar Talagrand amb els seus coneixements sobre processos estocàstics que podien aplicar-se també a aquesta mena de sistema i va aconseguir formalitzar les intuïcions de Parisi.

El màxim i el mínim d'un procés estocàstic

Respecte als “suprems de processos estocàstics”, una de les grans coses que ha aportat Talagrand ha sigut la possibilitat de delimitar quant pot arribar a valdre –valor màxim i mínim– un procés estocàstic. En els nostres exemples, ens pot dir quin serà el màxim de persones en la cua o de litres per metre quadrat que ens deixarà un temporal. No em direu que no és pràctic!

I arribem, per fi, a la primera contribució de Talagrand: les “desigualtats de concentració”, que tenen a veure directament amb la moneda del titular.

El moment de llançar la moneda a l'aire

Les desigualtats de concentració (concentration inequalities) ajuden a entendre com d'improbable és que, si tenim dades variades, ens separem molt de la cosa esperada. Amb això de “tenim dades variades” estic referint-me al fet que les nostres observacions consideren tota la variabilitat que existeix al voltant d'un procés.

En el cas de la moneda, cada vegada que la llancem ho fem amb una força i, possiblement, un estil diferent. Això fa que si esperem observar 500 cares en 1 000 llançaments (per això que la moneda té una probabilitat de cara d'un 50%), és difícil que n’observem exactament 500. Però com de difícil?

El que fan exactament aquestes desigualtats és quantificar com de difícil és allunyar-nos d'aquest 500 i, en concret, amb 1 000 llançaments.

La desigualtat de Talagrand estableix que la probabilitat de traure’n més de 600 serà d'un 1% dividit per dos milions. Això és així perquè tota la variabilitat entre les diferents forces o maneres de llançar la moneda s'anul·la, i el nombre de cares es concentrarà entre 450 i 550, amb una probabilitat del 99,7%.

En definitiva, la probabilitat pot fer guanyar diners, encara que la raó se separe molt d’allò que s'espera.

Anabel Forte Deltell, Doctora en Matemàtiques i professora en la Universitat de València, Departament d'Estadística i Investigació Operativa, Universitat de València

Aquest article es publicà originalment en The Conversation. Llegiu l'original.